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On peut écrire: = 1 l1 avec: = angle unitaire de torsion (rad/mm). 1 = angle de rotation (S1)/(S0) (en rad). En un point M, la contrainte de torsion M est proportionnelle à la distance de ce point à la ligne moyenne. M: contrainte tangentielle due à la torsion (MPa).Comment calculer la contrainte de torsion ?
Contraintes tangentielles de torsion
A partir de la relation « ? = G ? » obtenue au chapitre « Cisaillement », on montre que la contrainte ?M, en un point M quelconque de la coupure (S) est proportionnelle à la distance ? = GM, entre le point et la ligne moyenne.Comment dimensionner un arbre de transmission ?
· Pour les arbres de transmission la fl?he maximale doit être < 0,08 % de la portée entre les supports . · Pour les arbres de renvoi la fl?he maximale doit être < 0,015 % de la portée entre les supports . · Aussi la variation de fl?he de part et d'autre d'un engrenage doit être < 0,005 % .- En introduisant le moment d'inertie de surface : on exprime la variation de courbure due au moment fléchissant par 1/? = M/EI. La contrainte s'en déduit immédiatement par la relation ? = ? (M/I)y.
CACHANCACHANIUT Cachan
Génie Mécanique et Productique
Première année
FichesF112etF213
Cours de Dimensionnement des Structures
Résistance des Matériaux
Pierre-Alain Boucard
http://meca.iutcachan.free.fr " Se permettre de tout penser serait manquer de savoir vivre : les meilleures preuves de respect qu"on puisse donner à l"intelligence du lecteur, c"est de lui laisser quelque chose à penser. » Lawrence Sterne- Nouvelliste et humoriste irlandaisTable des matières
Table des matières
Introduction 1
1 Hypothèses de la Résistance des Matériaux 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Un peu d"histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3 Le solide étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.3.1 Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.3.2 Restriction au cas des poutres droites à plan moyen . . . . . .
51.4 Hypothèses sur le matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.4.1 Homogénéité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.4.2 Isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.4.3 Élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81.5 Hypothèses fondamentales de laRdM. . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.5.1 Principe de Saint-Venant et conséquences . . . . . . . . . . . .
91.5.2 Hypothèse de Navier-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.6 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101.6.1 Efforts extérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101.6.2 Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.7 Ce qu"il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132 Torseur des efforts intérieurs - Notion de contrainte 15
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162.2 Torseur des efforts intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162.2.1 Bilan et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182.3 Dénomination des composantes et des sollicitations associées . . . . .
212.4 Diagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
232.5 Notion de contrainte - Vecteur contrainte . . . . . . . . . . . . . . . .
242.5.1 Contraintes normale et tangentielle . . . . . . . . . . . . . . .
242.5.2 Intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.6 Ce qu"il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273 Sollicitation élémentaire : la traction 29
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303.2 Relation contrainte/effort normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313.3 L"essai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323.4 Relation contrainte/déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.5 Relation déformation/déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.6 Critère de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38 Cours de Dimensionnement des Structures i
Table des matières
3.7 Bilan des relations entre grandeursglobalesetlocales. . . . . . . . .38
3.8 Ce qu"il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
414 Sollicitation élémentaire : la torsion 43
4.1 Hypothèse complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444.3 Relation contrainte/moment de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . .
504.4 Relation contrainte/déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
514.5 Relation déformation/rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
514.6 Critère de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
524.7 Bilan des relations entre grandeursglobalesetlocales. . . . . . . . .52
4.8 Ce qu"il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
555 Sollicitation élémentaire : la flexion 57
5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
585.2 Relation effort tranchant/moment fléchissant . . . . . . . . . . . . . .
585.3 Relation contrainte normale/moment fléchissant . . . . . . . . . . . .
605.4 Équation de la déformée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
615.5 Contraintes tangentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
635.6 Ordre de grandeur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
655.7 Critère de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
665.8 Bilan des relations entre grandeursglobalesetlocales. . . . . . . . .66
5.9 Ce qu"il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
696 Concentration de contraintes 71
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
726.2 Mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
726.3 Coefficient de concentration de contraintes . . . . . . . . . . . . . . .
756.4 Abaques, formules approchées et logiciels . . . . . . . . . . . . . . . .
766.5 Ce qu"il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
797 Le flambage 81
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
827.2 Flambage d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
847.3 Dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
877.4 Ce qu"il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89 ii Cours de Dimensionnement des Structures
Table des figures
1.1 Vue de la cathédrale Saint-Guy à Prague . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2 Poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.3 Exemple de poutre à section variable (utilisée à l"Université de Jussieu
pour supporter les étages) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Poutre droite à plan moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61.5 Ligne moyenne et repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61.6 Vues à différentes échelles d"un béton . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.7 Courbes effort/déplacement pour différents ressorts . . . . . . . . . .
81.8 Visualisation de l"hypothèse de Navier-Bernoulli . . . . . . . . . . . .
91.9 Exemples d"actions extérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.10 Les trois liaisons usuelles du modèle poutre . . . . . . . . . . . . . . .
122.1 Poutre étudiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162.2 Poutre séparée en deux parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172.3 Moteur hydraulique Poclain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192.4 Modélisation de l"arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192.5 Premier tronçon isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202.6 Deuxième tronçon isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212.7 Diagrammes de l"effort tranchantTyet du moment fléchissantMfz. .23
2.8 Zoom local sur un pointMde la coupure . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.9 Projection du vecteur contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253.1 Photos de la grille avant (à gauche) et après (à droite) déformation .
303.2 Vue de la grille avant et après déformation . . . . . . . . . . . . . . .
313.3 Répartition des contraintes en traction . . . . . . . . . . . . . . . . .
333.4 Éprouvette de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333.5 CourbeN/Lpour l"essai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . .34
3.6 Courbe/pour l"essai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
3.7 Petit tronçon de poutre en traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373.8 Relations globales/locales en traction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
394.1 Photos de la "grille" avant (à gauche) et après (à droite) déformation
444.2 Vue "3D" idéalisée de la grille avant et après déformation . . . . . . .
454.3 Vue idéalisée de la grille avant et après déformation . . . . . . . . . .
454.4 Cylindres tournant les uns par rapport aux autres et vecteur contrainte
464.5 Isolement d"un disque de longueurdx. . . . . . . . . . . . . . . . . .47
4.6 Déformations longitudinale/transverse = t, et de cisaillement
. . .474.7 Repère local et contraintes dans la section droite . . . . . . . . . . . .
494.8 Répartition des contraintes dans la section droite . . . . . . . . . . .
494.9 Élément de surfacedSen coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . .50 Cours de Dimensionnement des Structures iii
Table des figures
4.10 Relations globales/locales en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
535.1 Tronçon de poutre isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
585.2 Tronçon de poutre avant et après déformation . . . . . . . . . . . . .
595.3 Paramétrage des sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
615.4 Répartition linéaire des contraintes normales dans l"épaisseur . . . . .
625.5 Déformée de la ligne moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
625.6 Répartition des contraintes tangentielles dans la largeur . . . . . . . .
635.7 Isolement d"un petit bout de poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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