[PDF] Limites Limite et dérivée

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Rappel historique

André Lévesque 1-1

Limites 1

La notion de limite est la première notion que nous aurons à approfondir. Ceconcept permettra d"aboutir à celui de la

dérivée. Limite et dérivéeconstituent le fondement de ce qu"on appelle le calcul différentiel. Bien quela notion de limite fasse appel à l"intuition, elle est néanmoins d"uneconception particulièrement formelle. Par souci de clarté nous réserverons àun cours plus avancé cette formalisation.

Qu"entendons-nous par le mot "limite» ? Le Petit Robert donne la définitionsuivante à ce mot: "grandeur fixe dont une grandeur variable peut approcherindéfiniment sans l"atteindre" .

Prenons par exemple un carré dont la mesure ducôté est de 1 cm. L"aire du carré pourrait être

obtenue en utilisant le raisonnement suivant. On divise le carré en deux régions d"aires égales puis, une des deux régions est divisée à nouveau en deux. On continue de la même façon ce découpage indéfiniment.1 cm A 1 A 2 A 3 A4 Il paraît évident que la somme des aires des régions ainsi obtenues s"approche de l"aire du carré. Bien que la somme en question ne sera jamais égale à l"aire du carré, on dira néanmoins que cette somme sera à la limite, l"aire du carré. Ainsi une grandeur fixe (l"aire du carré) est approchée indéfiniment sans jamais être atteinte, à l"aide d"une grandeur variable (la somme des aires des régions tracées).

Signalons qu"Archimède (287-212 avant J.-C.) s"estservi d"une technique semblable pour calculer lacirconférence du cercle en fonction de son diamètre.

À l"époque on savait calculer le périmètre despolygones réguliers à n côtés. En augmentantindéfiniment le nombre de côtés d"un polygonerégulier, on obtient toujours un polygone qui à la

limite devient un cercle. Ainsi lorsque le nombre de côtés d"un polygone régulier augmente le périmètre des polygones s"approche indéfiniment de la circonférence du cercle. On dira que la limite des périmètres des polygones correspond à la

circonférence du cercle.Un des cas les plus importants où s"applique la notion de limite estcelui des fonctions.

Rappel historique

André Lévesque 1-2

Rappel historique

Augustin Cauchy

(1789-1857) tiré en partie du livre "Le calcul différentiel et intégral par la résolution de problèmes" de Neal Reid.

Le calcul différentiel et intégral fut inventé au dix-septième siècle, maiscent cinquante années s"écoulèrent avant que les mathématiciens endéveloppent les bases modernes fondées sur le concept de limite. Danstrois ouvrages publiés dans les années 1820, le mathématicien français Au-gustin-Louis Cauchy présenta le résultat de ses recherches qui marquèrentle début d"une nouvelle ère dans l"histoire de l"analyse.

À la fin du dix-huitième siècle, les mathématiciens orientèrent de plus enplus leurs recherches vers un fondement logiquement solide du calculdifférentiel et intégral. À cette époque, on considérait ce calcul comme unensemble d"opérations sur des formules produisant des résultatsacceptables ou comme une analyse de la géométrie des courbes intuitive-ment satisfaisante.

Cauchy s"intéressa au problème du fondement du calcul différentiel etintégral alors qu"il était jeune assistant à l"École polytechnique. Il réalisaqu"il devait s"appuyer sur les concepts de limite et de continuité, qu"ilformula clairement pour la première fois. En partant de ces notions, ildéveloppa systématiquement une théorie des fonctions dérivables et inté-grables d"une variable réelle. En respectant une logique rigoureuse et enbasant le calcul différentiel et intégral sur la continuité des nombres réels,il inaugura une nouvelle ère en analyse mathématique. Cauchy fut, à justetitre, consacré premier mathématicien "moderne».

De lui, on compte plus de 700 mémoires. Ses plus grandes contributions àla science mathématique sont généralement incorporées dans trois grandstraités: "Cours d"analyse de l"École Polytechnique» (1821); "Le calculinfinitésimal» (1823); "Leçons sur les applications du calcul infinitésimalà la géométrie» (1826-1828);

En plus de ses travaux sur le calcul différentiel et intégral, il apporta descontributions fondamentales à la théorie des fonctions d"une variablecomplexe, à la théorie de l"élasticité et à l"algèbre. Les principes et théo-rèmes portant le nom de Cauchy sont plus nombreux que ceux de toutautre mathématicien.

∞ pour infiniment grand positif - ∞ pour infiniment grand négatif. R_ ∞-∞Mentionnons que pour ce chapitre, seules les fonctions réelles de type algébrique seront considérées.

De plus, nous travaillerons sur un ensemble élargi des nombres réels.L"ensemble sera constitué des nombres réels ( R ) ainsi que dessymboles ± ∞ . Ces deux symboles ne font pas partie de l"ensembledes nombres réels mais, joints à cet ensemble, ils en constituent uneextension que l"on note

R_ = R ? { - ∞

1,1 approche intuitive de la notion de limite

André Lévesque 1-3

1.1 Approche intuitive de la notion de limite

évaluation d"unelimite à l"aide d"unecalculatriceConsidérons la fonction ƒ définie par l"équation y = 3x + 5.Étudions le comportement des images de cette fonction pour desvaleurs de x de plus en plus près de 2.

x y

1,8 10,4

1,9 10,7

1,95 10,85

1,999 10,997

1,9999 10,9997On constate que plus la variable x prenddes valeurs près de 2 (tout en demeurantinférieures à 2), plus les images de lafonction ƒ s"approchent de la valeur 11.Nous dirons que lorsque la valeur de lavariable x s"approche de 2

par la gauche, la fonction présente des images de plus en plus près de la valeur 11.

D"une façon plus concise, on écrira

lim x→ 2

ƒ(x) = 11

x y

2,2 11,6

2,1 11,3

2,05 11,15

2,001 11,003

2,0001 11,0003De même, on constate que plus lavariable x prend des valeurs près de 2(tout en demeurant supérieures à 2), plusles images de la fonction ƒ s"approchentde la valeur 11. Nous dirons que lorsquela valeur de la variable x s"approche de 2

par la droite, la fonction présente des images de plus en plus près de la valeur

11. D"une façon plus concise, on écrira

lim x→ 2

ƒ(x) = 11

Notons que,

lim x→ 2

ƒ(x) = 11

lim x→ 2

ƒ(x) = 11

Lorsque dans les deux cas, la valeur obtenue est la même , on écrit lim x→ 2

ƒ(x) = 11

1,1 approche intuitive de la notion de limite

André Lévesque 1-4proposition 1.1.1

symbole utilisé ? : si et seulement si lim x→ a

ƒ(x) = b ?

lim x→ a

ƒ(x) = b

lim x→ a

ƒ(x) = b où a et b dans

R

De plus,

a) si lim x→ a

ƒ(x) ≠ lim

x→ a

ƒ(x) alors lim

x→ a

ƒ(x) n"existe pas ,

b) si lim x→ a

ƒ(x) n"existe pas ou lim

x→ a

ƒ(x) n"existe pas

ou ces deux limites n"existent pas alors lim x→ a

ƒ(x) n"existe pas ,

c) la limite d"une fonction en une valeur donnée est unique lorsqu"elle existe.

évaluation d"unelimite à l"aide d"ungraphiqueÉvaluer une limite sur une fonction devient un jeu d"enfant lorsqu"onconnaît le graphique de cette fonction. La fonction utilisée dansl"exemple précédent est définie par l"équation

y = 3x + 5.

Son graphique correspond à une droite.

2 11 lim x→ 2

ƒ(x) = 11

2 11 lim x→ 2

ƒ(x) = 11

? lim x→ 2

ƒ(x) = 11

1,1 approche intuitive de la notion de limite

André Lévesque 1-5

exemple 1.1.1Considérons maintenant la fonction ƒ définie par l"équation y = ⎷‾x - 1 x - 1

À partir des tableaux ci-dessous, évaluer si possible les différenteslimites et images.____________

x y

0,8 0,52786

0,9 0,51316

0,95 0,50641

0,995 0,50062

0,9995 0,50006 x y

1,2 0,47723

1,1 0,48809

1,05 0,49390

1,005 0,49938

1,0005 0,49994

a) lim x→ 1

ƒ(x)

b) lim x→ 1

ƒ(x)c) lim

x→ 1

ƒ(x)

d) ƒ(1) x y -0,05 - -0,005 - -0,0005 - -0,00005 - -0,000005 - x y

0,05 0,81725

0,005 0,93395

0,0005 0,97812

0,00005 0,99298

0,000005 0,99776

e) lim x→ 0

ƒ(x)

f) lim x→ 0

ƒ(x)

g) lim x→ 0

ƒ(x)

h) ƒ(0) x y

8,8 0,25211

8,9 0,25105

8,95 0,25052

8,995 0,25005

8,9995 0,25001 x y

9,2 0,24795

9,1 0,24897

9,05 0,24948

9,005 0,24995

9,0005 0,24999

i) lim x→ 9 - ƒ(x) j) lim x→ 9

ƒ(x)

k) lim x→ 9

ƒ(x)

l) ƒ(9) =

1,1 approche intuitive de la notion de limite

André Lévesque 1-6

convenons que pour désigner plus l"infini on

écrira simplement

tandis que pour désigner moins l"infini on écrira x y

1 000 0,03065

10 000 0,00990

100 000 0,00315

1 000 000 0,00099

10 000 000 0,00003

m) lim x→ ∞

ƒ(x) =

Lorsqu"on évalue la limite suivante

lim x→ a

ƒ(x)

on étudie le comportement des images de la fonction pour des valeurs de x

très près de a. La valeur de a n"est jamais considérée dans notre étude. Iln"est donc pas nécessaire que cette valeur fasse partie du domaine de lafonction pour que la limite existe.

Ainsi dans l"exemple précédent,

ƒ(1) n"existe pas ( ?/ ) mais lim

x→ 1

ƒ(x) = 1

2 . On aura souvent l"occasion de constater que lorsque la variable x prend des valeurs près de a, la fonction s"approche de ƒ(a) l"image de a. Si on se réfère à l"exemple précédent

ƒ(9) =

1 4 et lim x→ 9

ƒ(x) =

1 4 Il sera toujours tentant lorsque l"image de la fonction existe en a de considérer l"image ƒ(a) comme valeur limite. Attention ce n"est pas toujoursle cas !

Toujours dans l"exemple qui précéde

ƒ(0) = 1 mais lim

x→ 0

ƒ(x) ?/ ,

Finalement dans le dernier exemple, on a obtenu lim x→ ∞

ƒ(x) = 0.

Cette limite est différente des précédentes. On utilise le symbole ∞

poursignifier que la variable x prend des valeurs toujours de plus en plus grandespositivement. Étant donné que ∞ n"est pas un nombre réel, ƒ(∞) n"a aucunsens pas plus que

lim x→ ∞

ƒ(x) ou lim

x→ ∞

ƒ(x)

1,1 approche intuitive de la notion de limite

André Lévesque 1-7

Examinons maintenant le graphique associé à la fonction définie par y = ⎷‾x - 1 x - 1 y x 191
0,5

0,250,25

En examinant ce graphique, il paraît évident que: a) lim x→ 1quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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