Intégration numérique
On considère les formules d'intégrations suivantes (dites simples):. • Formule du rectangle (ou point milieu):. Ipm(f)=(b ? a)f „.
Intégration numérique
Méthode du point milieu. La formule classique du point milieu (ou du rectangle) est obtenue en remplaçant f par sa valeur au milieu de l'intervalle [ab].
Chapitre I Int?gration Num?rique
Ces deux formules (point milieu et trap`eze) sont exactes si ?2?4 est un polyn?me de degr? ?? . Les noyaux de Peano pour la formule du point milieu sont.
Chapitre 5 - Méthodes dintégration numérique
5.1.3 Méthode du point milieu (p = 0). Cette méthode utilise également le polynôme constant pour approximer la fonction f. Cependant elle exploite mieux
Méthodes Numériques Ia 1 Méthodes composites pour le calcul de ?B
et on approche chacune des intégrales par la formule du point milieux : de l'intégrale de f sur rA Bs par la méthode composite des points milieux.
Chapitre 7 Formules de quadrature
formule du point milieu. Ij ? hjf( aj + aj+1. 2. ) h. 3 j. 24 f”(?j). La méthode de Simpson utilise l'interpolation dans P2 aux points aj
Analyse Numérique
La fonction q est le polynôme d'interpolation de Lagrange de f aux points aa + h. D'o`u ? = b?a et la formule du point milieu (2) est exacte pour les ...
Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique
la méthode de Simpson et par la méthode du point milieu (en fonction de n). Interpréter. Exercice - 3 Ordre d'une formule de quadrature et formules de
?%Q ?%P = ?Q/Q ?P/P = ?Q ?P × P Q
Exemple de calcul Méthode du point milieu. • Calculons E p si le prix passe de 4$ à 5$ ... à tous les points de la courbe (demande linéaire).
Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique
la méthode de Simpson et par la méthode du point milieu (en fonction de n). Interpréter. Exercice - 3 Ordre d'une formule de quadrature et formules de
[PDF] Chapitre 5 - Méthodes dintégration numérique
Dans ces formules il y a 3 coefficients différents : 1/3 pour les points du bord 4/3 pour le points internes impairs et 2/3 pour les points internes pairs
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La convergence de la formule du point milieu composée est quadratique EXERCICE 3 Formule de Simpson a Déterminer la formule de quadrature suivante ? 1
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La méthode du point milieu nécessite deux calculs des dérivées (fonction f) à chaque pas de temps C'est deux fois plus que la méthode d'Euler mais ces calculs
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Méthode du point milieu La formule classique du point milieu (ou du rectangle) est obtenue en remplaçant f par sa valeur au milieu de l'intervalle [ab]
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Les formules de Newton-Cotes ouvertes ne sont utilisées que dans le cas du point- milieu On définit l'ordre r des formules de Newton-Cotes comme le plus grand
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En notant xk le point utilisé dans chaque intervalle [ykyk+1] pour k = 0 ··· n ? 1 Considérons par exemple la formule du point milieu : I(f) := ?
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où les xi sont des points de [a b] et wi des réels donnés Une telle formule est appelée formule de quadrature méthode du point milieu : ?i =
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f(x)dx On considère les formules d'intégrations suivantes (dites simples): • Formule du rectangle (ou point milieu): Ipm(f)=(b ? a)f „
[PDF] Intégration numérique
30 mar 2015 · Méthode du point milieu Méthode des trap`ezes 3 Calculs d'erreurs Rectangles Trap`ezes Majoration de l'erreur théorique
Intégration numérique
Prof. A. Quarteroni
Int´egration - p. 1/22
Exemples et motivationsL'intégration est un des problèmes les plus importants que l'on rencontre en
analyse. En effet, on rencontre souvent des intégrales dontle calcul par des méthodes analytiques est très compliqué ou même impossible, car il n'existe pas d'expression analytique de la primitive de la fonction àintégrer. Voici quelques exemples: Z 1 0 e-x2dx,Z 2 0p1 + cos2xdx,Z
1 0 cosx2dx. Dans ces cas, on peut appliquer des méthodes numériques pourévaluer la valeur de l'intégrale donnée.Int´egration - p. 2/22
Exemple 1.Si on consid`ere une tr`es grande population deMindividus et on mesure la hauteur de chaque sujet, la distributionN(h) de ces donn´es (telle que le nombre ΔNd"individus avec hauteur comprise entrehet h+ ΔhsoitN(h)Δh) peut ˆetre repr´esent´ee par une fonction "cloche", d´efinie par sa valeur moyenne het sa d´eviation standardσ:N(h) =M
2πexp"
-(h- h)22σ2"
Int´egration - p. 3/22
Par exemple, dans le cas de la figure suivante (M= 100 individus, h= 1.7 m`etres,σ= 0.1 m`etres), l"aire rouge repr´esente le nombre d"individusqui ont une hauteurhcomprise entre 1.8 et 1.9 m`etres. 1 1.5 1.7 1.8 1.9 2 2.5050100150200250300350400
Hauteurh[m`etres]
DistributionN(h) [individus/m`etre]
Int´egration - p. 4/22
Formules d'intégrationsimples
(Sec. 4.2 du livre) Soitf: [a,b]→Rune fonction continue donnée sur un intervalle[a,b]?R. On se propose de calculer numériquement la quantitéI(f) =Z
b a f(x)dx. On considère les formules d'intégrations suivantes (ditessimples):Formule du rectangle (ou point milieu):
Ipm(f) = (b-a)f"a+b
2" (1)Formule des trapèzes:
It(f) = (b-a)f(a) +f(b)
2 (2)Formule de Simpson:
Is(f) =b-a
6» f(a) + 4f"a+b 2" +f(b)- (3)Int´egration - p. 5/22
Formule du rectangle (ou point milieu)
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 00.050.10.150.20.250.30.350.4
fΠ0f (a+b)/2a bInt´egration - p. 6/22
Formule du trapèze
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 00.050.10.150.20.250.30.350.4
f 1f a b (a+b)/2Int´egration - p. 7/22
Formule de Simpson
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10102030405060708090100
f 2f a b(a+b)/2Int´egration - p. 8/22
Formules d'intégrationcompositesOn va considerer lesMsous-intervallesIk= [xk-1,xk]
,k= 1,...,M, où x k=a+kHetH= (b-a)/M. Comme on aI(f) =MXk=1Z
I kf(x)dx, sur chaque sous-intervalleIkon peut calculer une approximation de l'intégrale exacte defavec l'intégrale d'un polynôme fapprochantfsurIk, c.-à.d.: I(f) approchée par MX k=1Z I kΠ nf(x)dx=Z b aΠHnf(x)dx.
Int´egration - p. 9/22
1. La formule composite du rectangle
(ou du point milieu) Cette formule est obtenue en remplaçant, sur chaque sous-intervalleIk, la fonctionfpar un polynôme constantΠ0fégal à la valeur defau milieu deIk (voir figure suivante) : on obtient la formule composite du rectangle (ou du point milieu)Icpm(f)
=HMXk=1f( xk), (4) où xk=xk-1+xk 2.Int´egration - p. 10/22
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 00.050.10.150.20.250.30.350.4
f H 0f x0=axM=b
Int´egration - p. 11/22
2. La formule du trapèzeSi sur chaque intervalleIkon remplacefpar le polynôme d'interpolationf= Π1fde degré 1 aux noeudsxk-1etxk, on obtient la
formule composite du trapèzeIct(f)
=H 2M X k=1[f(xk) +f(xk-1)] =H2[f(a) +f(b)] +HM-1Xk=1f(xk).
(5)Int´egration - p. 12/22
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 00.050.10.150.20.250.30.350.4
f H 1f x0=axM=b
Int´egration - p. 13/22
Exemple 2.On consid`ereI(f) =R1
0f(x)dxo`uf(x) = cos(x2): la figure
suivante montre l"erreur d"int´egration|Icpm(f)-I(f)|(formule composite duquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] calculer la vergence d'une lentille
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