[PDF] Chapitre I Int?gration Num?rique

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ChapitreI

Int

´egrationNum´erique

encoreettoujours`al'envahisseur(exemples ??????);denombreuxcalculsenastronomie raison,nouscommenc¸onsparcesujet. oncherche`acalculerl'int´egrale (0.2)

Bibliographiesurcechapitre

vol.1.[MA65/210] [MA65/89]

I.1Formulesdequadratureetleurordre

sous-intervalles( ???)etonutiliselefaitque (1.1)

2Int´egrationNum´erique

del'intervallepar

Notonsenfin?

(1.2)

Exemples.1.Laformuledupointmilieu

012

2.Laformuledutrap`eze

012 ?estunpolynˆomededegr´e? ?)parles troispoints ???etsil'onapproche 012 012 ?parles?points´equidistants

Cotes1711).Pour

?????.Sionveutaugmenterla D

´efinition1.1Uneformuledequadrature`a

?´etagesestdonn´eepar ???(1.3) Les ??ensontlespoids.

Int´egrationNum´erique3

TAB.I.1:FormulesdeNewton-Cotes

?ordrepoids ??nom 22
??trap`eze 3 4 ??Simpson 4 4 ??Newton 5

6?????

????Boole 6 6 7 8? ?Weddle -1010 s = 3 -1010 s = 4 -1010 s = 5 -1010 s = 6 -1010 s = 7 -101 -1012 s = 9 -101 -1012 s =11 -101 -1012 s =13 -101 -1012 s =15 -101 -1012 s =17 ?bethesumofthefirstandthefourth,?the sumofthesecondandthird,and D ?,silaformuleestexacte pourtouslespolynˆomesdedegr´e ?,c.-`a-d., ??(1.4) ?.LaformuledeNewton-

Cotes`a

4Int´egrationNum´erique

Th ?sietseulementsi ?pour ?(1.5) D ?estunecombinai- sonlin´eairede ???etquel'int´egrale ainsiquel'expression ?sont lin´eairesen

Enfixantlesnoeuds

????(distincts),lacondition(1.5)avec? ??estunsyst`emelin´eaire pour ?(1.6) nousdonneuneformuledequadratured'ordre remarquequ'ellesatisfaitaussi(1.5)pour ?Elleestdoncd'ordre sym´etrique. mˆeme Th ????pour tout degr´e D ?peutˆetre

´ecritsouslaforme

o`u? ?estdedegr´e? ?.Ilsuffitalorsdemontrer qu'uneformulesym´etriqueestexactepour ???????.A

Donc,l'approximationnum´eriquede??

est´egalementz´ero.

Int´egrationNum´erique5

I.2Etudedel'erreur

Prenonsunefonction

??????,d´efiniesur

´equidistants(

?(2.1) ??????;onafe ?pour ?????)obtenus et 10-12 10-9 10-6 10-3 100

10110210310-12

10-9 10-6 10-3 100

101102103

feerreur feerreur trap`eze(ordre

Simpson(ordre

Newton(ordre

?)Boole(ordre ???(ordre

Weddle(ordre

?lenombredechiffresexacts,donn´epar ?,d´ependlin´eairementde ?fe ?lapentedechaquedroiteest ??(o`u?estl'ordredelaformule);

Explicationdesr´esultatsdelafig.I.4.

?(2.2)

6Int´egrationNum´erique

Ensupposant

?et ?parles ???),etonobtientainsi ??(2.3) ?maispasl'ordre? ?).La constante ?(2.4) ?soitpetitdemani`ere`acequeleterme ?????,alorsonobtient etfe ??,nousavons ?fe ?et ?fe ?,etaussilefaitque lapentesoitde

Estimationrigoureusedel'erreur.

Th ?etunentier?satisfaisant?????. Si (2.5) o `u ?,lenoyaudePeano,estdonn´epar ???o`u ???si ?si D ?(2.6) danslaformule(2.2)pour ?.Enutilisant inMathematics,Springer.

Int´egrationNum´erique7

?????),nousobtenons ?etunnombre?satisfaisant a) ????pour??? ?(pour ???????si? b) ???pour??? ?si c) ???pour??? ?si d) ???(constantedel'erreur(2.4)); e) ????estlin´eaireparmorceaux,depente ?etavecdessautsdehauteur ??auxpoints 01

FIG.I.5:LenoyaudePeano?

??????d'uneformuledequadrature ?si si ????si si ???),ilssontdessin´esdanslafig.I.7. entier ??????),notonsl'erreurpar ???(2.7)

8Int´egrationNum´erique

Th´eor`eme2.3Soit

dequadrature´egal`a (2.8) o `u D

´emonstration.Laformule(2.5)donne

cequimontrel'assertion(2.8),car

Exemples.Pourlaformuledupointmilieu,ona

pourlaformuledutrap`eze pourlaformuledeSimpson

Int´egrationNum´erique9

pourlaformuledeNewton-Cotes(

Lecalculde

muledeNewton-Cotes( ???).Onconstateque

I.3Formulesd'unordresup´erieur

Sil'onfixelesnoeuds

?unique, ayantunordre ?????.Onobtientlespoids parlaformuledel'exercice1.

Question.Ya-t-ilunchoixdes

??permettantd'avoirunordresup´erieur? Th

´eor`eme3.1Soit

???(3.1)

Alors,l'ordreest

?sietseulementsi pourtoutpolynˆome? ?dedegr´e? ?.(3.2) D

´emonstration.Soit

?unpolynˆomededegr´e??? ?.L'id´ee,due`aJacobi(1826),estde diviser ?par ?etd'´ecrire ?souslaforme o`udeg ?etdeg??? satisfont

Commelaformuledequadratureestexactepour

?(l'ordreest???parhypoth`ese),elleest exactepour ?sietseulementsi

10Int´egrationNum´erique

??´etagesaitunordre? ?,ilfautque cequiest´equivalent`a ??´etagesetessayonsded´eter- minerles ????pourquel'ordresoit? ???.Parleth´eor`eme3.1,ilfautque (3.3)

Cesyst`emeestnonlin´eaireen

??et ??,quisontlescoefficientsdupolynˆome

Enr´esolvantlesyst`eme(3.3)pour

????,onobtient ???et

Parchance,lepolynˆome

???avecseulement? ??´etages: ?(3.4) D ?.Alors,l'int´egrale dans(3.2)estnullepourtoutpolynˆome ?dedegr´e???.Cecicontreditlefaitque

I.4PolynˆomesorthogonauxdeLegendre

??avec? ?????,onpeutenprincipefaire ?etdonnebeaucoupdecomprehension

Int´egrationNum´erique11

?quitransformel'intervalle ?enl'intervalle ???????pour ?,unpolynˆome?? ?dedegr´e?telque sideg????? ??(4.1)

Onsaitquelesfonctions

(O.Bonnet,J.d.math.vol.17,1852,p.265) ???pour? ???,o`u ??joueralerˆolede Th ?,d´efinipar ????(4.2) D

´emonstration.Soit

?unpolynˆomededegr´e??? ?.Ilsuffitdemontrerquelepolynˆome, d´efinipar(4.2),satisfait car? ???,cequid´emontrel'affirmation(4.1).

Enconsid´erantlas´eriedeTaylorde

?autourde ????,onvoitque

Lespremiersdecespolynˆomessont

(4.3) ??si?estpair ??si?estimpair.(4.4)

12Int´egrationNum´erique

FIG.I.8:PolynˆomesdeLegendre

Th

´eor`eme4.2Touteslesracinesde

D´emonstration.Notonspar

?????lesracines de ?quisontr´eelles,dans ??????eto`u?? changedesigne.Lebutestdemontrer ??.Sup- posons,parl'absurde,quequotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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