[PDF] L3 - Analyse complexe 2012-2013 : TD 5 Lemme de Schwarz M

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L3 - Analyse complexe 2012-2013 : TD 5

Lemme de Schwarz

M. Triestino, A. VaugonCorrigéExercice 1. Lemme de Schwarz.

1. Soitf:D1(0)!D1(0) une fonction holomorphe telle quef(0)=0.

(a) Montrer que la fonction

1(z) :=8

>><>>:f(z)z siz,0 f

0(0) sinon

vérifie sup

Dr(0)j1j 1r

pour toutr<1. (b) En déduire les inégalitésjf(z)j jzjpour toutz2D1(0) etjf0(0)j 1. (c) On suppose qu"il existez02D1(0) tel quej1(z0)j=1. Montrer quefest une rotation centrée en 0.

2. Soitf:D1(0)!D1(0) une fonction holomorphe propre (i.e.limjzj!1jf(z)j=1) telle quef1(0)=f0get 0

est le seul point critique def. Montrer qu"il existen2Net2R=Ztels quef(z)=e2izn.

3. Soitw2D1(0); on définitTw:D1(0)!Cpar

T w(z)=wz1wz (a) Montrer queTwest un biholomorphisme deD1(0) qui échange 0 etw. (b) Montrer qu"il y a un seul biholomorphisme qui échange 0 etw. En particulierTwest d"ordre 2.

4. Soit'2Aut(D1(0)). Montrer qu"il existew2D1(0),2R=Z, tels que'(z)=e2iTw(z).

5. Soit'2Aut(D1(0) f0g). Montrer que'est une rotation.

Solution.

1. (a) La fontion1est holomorphe. Soitr2]0;1[. Sijzj=ralorsj1(z)j 1r

. Par le principe du maximum, on obtient sup

Dr(0)j1j 1r

(b) Soitz2D1(0). Pour toutr2]jzj;1[, on ajf(z)j 1r jzj. En faisant tendrervers 1, on obtientjf(z)j jzj.

De plus,f0(0)=limz!0f(z)z

. Par conséquentjf0(0)j 1. (c) Soitz02D1(0)telquej1(z0)j=1.Parlaquestionprécédentej1(z)j 1surD1(0).Donc,parleprincipe du maximum,1est constante de module 1 surD1(0). On a doncf(z)=e2izetfest une rotation centrée en 0.

2. Soitnl"ordre defen 0. On pose

1(z) :=8

>><>>:f(z)z nsiz,0 n!f(n)(0) siz=0

Commefne s"annule qu"en 0,1est non nulle surD1(0). Comme dans la question précédente, on montre

quej1j 1 surD1(0). Commefest propre limjzj!1j1(z)j=1. Par le principe du maximum appliqué à11 ,1 est constante etf(z)=e2izn.

3. (a)Twest un biholomorphisme deCnn1w

odansCnn1w od"inverseTw. De plusTw(S1(0))=S1(0) doncTw

échange les composantes connexes deCnn1w

o. CommeTw(0)=w,Twest un biholomorphisme de D 1(0). (b) Soitfun biholomorphisme qui échange 0 etw,0. Alors1=fTwest un biholomorphisme de D

1(0) qui fixe 0 etw. On aj1(w)j=jwj. On applique la question précédente,1est une rotation qui

fixewdonc c"est l"identité etf=T1w=Tw.

4. Soit'2Aut(D1(0)). Alors pourw='(0), l"application'Twest un biholomorphisme deD1(0) qui fixe

0. Donc c"est une rotation. Par conséquent'Tw(z)=e2izd"où'(z)=e2iTw(z).

5. Soit'2Aut(D1(0) f0g). La singularité en 0 est eaçable, on obtient'2Aut(D1(0)) qui fixe 0 et on

applique la question précédente.

Exercice 2.

1

1. On définit:z7!ziz+i. Montrer queest une application biholomorphe de H :=f=mz>0gdansD1(0).

2. Soitf:D1(0)!H==mz>0une fonction holomorphe telle quef(0)=i. Montrer que pour tout

z2D1(0)

1 jzj1+jzj jf(z)j 1+jzj1 jzj

et en plusjf0(0)j 2.

Solution.

1.est un biholomorphisme deCn figdansCn f1gd"inversez7!iz+1z1. De plus(R)=S1n figet(i)=0.

Par conséquentest un biholomorphisme deHdansD1(0).

2. Soitf:D1(0)!Htelle quef(0)=i. Alors1= fest holomorphe deD1(0) dansD1(0) qui fixe 0. Par

le lemme de Schwarz f(z)if(z)+1 jzj:

Par inégalité triangulaire, on obtient

jf(z)j 1 jzj(jf(z)j+1) et jf(z)j+1 jzj(jf(z)j+1)

D"où1 jzj1+jzj jf(z)j 1+jzj1 jzj:

De plusj10(0)j 1. Or10(0)=f0(0)0(i) et0(i)=i2

. Ainsijf0(0)j 2.

Exercice 3. Lemme de Schwarz-Pick.

1. Soitdla fonction définie surD1(0)D1(0) par

d(w;z) :=jwzjj1wzj; soitf:D1(0)!D1(0) holomorphe. Montrer que pour tousw;z2D1(0), d(f(w);f(z))d(w;z); avec égalité si et seulement sifest biholomorphe. Montrer quef:D1(0)!D1(0) est biholomorphe si et seulement s"il existew;z2D1(0) distincts tels que d(f(w);f(z))=d(w;z):

2. Soitf:D1(0)!D1(0) holomorphe etz2D1(0). Montrer que

jf0(z)j1 jf(z)j211 jzj2

et que s"il existeztel qu"on a l"égalité, alors on a l"égalité pour tout point enD1(0) et en faitfest

biholomorphe.

Solution.

1. Soit1w=Tf(w)fTw. On a1w(0)=0. Par le lemme de Schwarz, pour toutz2D1(0), on a

j1w(z)j jzj:

Par conséquent, pour toutz2D1(0),

jTf(w)f(z)j jTw(z)j carT2w=Id. On obtient doncd(f(w);f(z))d(w;z). Si estfest biholomorphe alors1waussi et on applique l"exercice 1 pour obtenirj1w(z)j=jzjet donc d(f(w);f(z))=d(w;z) pour tousw;z2D1(0). Sid(f(w);f(z))=d(w;z) pour tousw;z2D1(0), alorsj1w(z)j=jzjet1west une rotation. Doncfest un biholomorphisme. 2

2. On reprend les notations de la question précédente. On a

1

0w(0)=f0(w)1 jwj21 jf(w)j2:

Par le lemme de Schwarz,j10w(0)j 1 et s"il y a égalité1west une rotation. On obtient donc le résultat

voulu. Exercice 4.Soitf:D1(0)!D1(0) une fonction holomorphe, continue jusqu"au bord. On suppose quef s"annule ena1;:::;an2D1(0) avec multiplicitém1;:::;mn. Montrer qu"on ajf(0)j ja1jm1janjmn. Indication : de première approche, on voudrait écriref(z)=(za1)m1(zan)mn1(z)avec1:D1(0)!C holomorphe, mais cela n"amène nulle part. On pourra alors essayer avec les fonctionsTai. Solution.On écritf(z)=(Ta1(z))m1(Tan(z))mn1(z). La fonction1est holomorphe et ne s"annule pas. De plus sup jzj=1j1(z)j 1. Doncj1(0)j 1 par le principe du maximum. CommeTai(0)=ai, on obtient l"inégalité cherchée. 3quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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