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RÉPUBLIQUEALGÉRIENNEDÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE

Ministère de l"Enseignement Supérieur et de la Recherche ScientifiqueUniversité Abou Bekr Belkaid Tlemcen

Exercices corrigés pour l"analyse

complexeSabri BENSID

Abdennassser CHEKROUN

Mohamed Brahim ZAHAF

Exercices corrigés pour l"analyse complexe

Sabri BENSID

Abdennasser CHEKROUN

Mohamed Brahim ZAHAF

25 août 2021

Préface

propriétés. L"analyse complexe est un outil extrêmement puissant et nombreuses sont les applications pratiques destinées à la résolution de problèmes physiques. L"intégration de contour, par exemple, fournit une méthode de calcul d"intégrales difficiles. Ce livre est un recueil d"exercices et de problèmes mathématiques d"analyse com- Nous avons privilégier d"exposer l"application des méthodes de calcul (théorèmes, propositions,..) sans énoncer quoi que ce soit. Notre but est d"offrir aux lecteurs des exercices avec des solutions détaillées et quelques exercices supplémentaires donnés sans solutions pour examiner les capacités des lecteurs. Nous les invitons cependant à chercher eux même les résolutions. Dans ce livre, nous fournissons une introduction à l"analyse complexe qui est la théorie des fonctions complexes d"une variable complexe. Le premier chapitre rap- pelle les nombres complexes et les différentes régions du plan complexe telles que le cercle, disque et autres. Le second chapitre initie le lecteur aux fonctions à va- riable complexe en se focalisant principalement sur la notion d"holomorphie (dé- rivabilité) de ces fonctions. Le troisième chapitre est consacré aux int

´grales curvi-

lignes et aux formules int ´grales de Cauchy. Le chapitre quatre est reservé aux séries de Laurent, classification des sngularités et théorie des résidus. Le dernier chapitre établie quelques applications sur les résidus sous forme des intégrales impropres.

Table des matières

Préface i

1

Nombr escomplexes

1 1.1

Ex ercicescorrigés

1 1.2

Ex ercicessupplémentaires

15 2

F onctionscomplexes

21
2.1

Ex ercicescorrigés

21
2.2

Ex ercicessupplémentaires

30
3

Intégration complexe

33
3.1

Ex ercicescorrigés

33
3.2

Ex ercicessupplémentaires

59
4

Séries de Laur entet résidus

63
4.1

Ex ercicescorrigés

63
4.2

Ex ercicessupplémentaires

71
5

A pplicationdes résidus

77
5.1

Ex ercicescorrigés

77
5.2

Ex ercicessupplémentaires

89

Bibliographie 90

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Chapitre 1

Nombres complexes

Sommaire1.1Exer cicescorrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2

Exer cicessupplémentair es

15 1.1Exer cicescorrigés

Exercice1.1.Ecrivez les nombres complexes suivants sous la forme algé- brique (1 +i)9(1i)7et1 +i2+ (21)i; 2R:S o l u t i o n

1/ Nous réécrivons la fraction sous cette forme

(1 +i)9(1i)7= (1 +i)21 +i1i 7

Ce qui implique que

(1 +i)9(1i)7= (1 +i)2(1 +i)(1 +i)2 7 = 2i(2i)72

7= 2i8= 2:

2Nombr escomplexes

Par conséquent,

Re (1 +i)9(1i)7 = 2et Img(1 +i)9(1i)7 = 0:

2/ Nous avons

1 +i2+ (21)i=i(i+)i(2i+21):

On obtient donc

1 +i2+ (21)i=(i)(i)2=1i:

Par conséquent,

1 +i2+ (21)i=+i+i(i)=

2+ 1+i1

2+ 1:Exercice1.2.Mettre sous la forme trigonométrique les nombres complexes

suivants

1ip3;1 +ip3

1i:S o l u t i o n

1/ Soitz= 1ip3. La forme trigonométrique est donnée par

z=rei; avecr:=jzj, ce qui donne r=q1

2+ (p3)

2= 2; et:=arg(z)vérifiant cos() =Re(z)r =12 etsin() =Img(z)r =p3 2

Par conséquent,

z= 2exp 3 i+ 2ki ; k2Z:

1.1.Exer cicescorrigés 3

2/ Soit

z=1 +ip3 1i:

Nous pouvons raisonner directement comme ça

jzj=j1 +ip3jj1ij=2p2 et arg(z) =arg(1 +ip3)arg(1i) =3 +4 =712 :Exercice1.3.Ecrire sous la forme exponentielle les nombres complexes sui- vants : z

1= 1i; z2= 5i; z3=4; z4= sin(x) +icos(x); x2R:S o l u t i o n

Le module dez1est donné par

jz1j=p1

2+ (1)2=p2:

L"argument satisfait

cos() =1p2 ;sin() =1p2

Donc,==4. Ainsi,

z

1=p2ei=4:

De la même façon on trouve

z

2= 5ei=2;

et z

3= 4ei:

Soit maintenantz4= sin(x) +icos(x); x2R. Nous utilisons le fait que sin 2 x = cos(x);

4Nombr escomplexes

et cos2 x = sin(x):

On obtient donc

z

4= exp2

x :Exercice1.4.Déterminer la forme algébrique du nombre complexe suivant p3 +i)6:S o l u t i o n C"est plus pratique de passer par la forme trigonométrique, c"est-à-dire, pourz2 C, z=jzjexp(iarg(z)):

Donc, la puissance se traduit comme suit

z =jzjexp(iarg(z)); 2R:

Nous avons

p3 +i= 2ei=6: Donc, (p3 +i)6= 26ei=64:Exercice1.5.Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants i;5 + 12i:S o l u t i o n

1/ Soitz=a+ib(dans notre cas,aetbsont supposés êtrea= 0etb= 1). On

posew=x+iyavecx;y2Rqui désigne les racines dez. Nous avons la relation

1.1.Exer cicescorrigés 5

suivante w 2=z:

Ce qui implique que

(x+iy)2=a+ib:

Ceci, nous ramène au système suivant

8>< :x

2y2=a;

x

2+y2=pa

2+b2;

2xy=b:

Après calcul, les racines carrées deisont

p2 2 +ip2 2 etp2 2 ip2 2

2/ De la même façon, en appliquant le même raisonnement, nous obtenons

3 + 2iet32i:

comme racines carrées de5 + 12i.Exercice1.6.On considère la fonctionfdeCdansCdéfinie par

8z2C; z6=i; f(z) =z2z+i:

Déterminer l"ensemble des points tels quef(z)2Rpuis déterminer l"en- semble des points tels quef(z)2iR:S o l u t i o n Nous allons essayer d"écrirefsous sa forme algébrique. Pour cela, on posez= x+iyavecx;y2R. Ainsi, nous obtenons, pourz6=i, f(z) =z2z+i=x+iy2x+iy+i=x2 +iyx+i(y+ 1): En multipliant par le conjugué du dénominateur, on obtient f(z) =(x2 +iy)(xi(y+ 1))x

2+ (y+ 1)2:

6Nombr escomplexes

Après calcul, nous aurons

Re(f(z)) =x22x+y2+yx

2+ (y+ 1)2et Img(f(z)) =2yx+ 2x

2+ (y+ 1)2:

Dans ce cas, l"ensemble des points vérifiantf(z)2Rimplique forcement

2yx+ 2 = 0:

Par conséquent, l"ensemble des points est la droitey=12 x1privée du point (0;1).

L"ensemble des points tel quef(z)2iRvérifie

x

22x+y2+y= 0:

Cette équation doit être réécrite comme suite x

22x+ 1 +y2+y+14

= 1 +14 et du rayon 14 (x1)2+ y+12 2 =54 :Exercice1.7.Résoudre l"équation z

2z+ 1i= 0:S o l u t i o n

Pour résoudre cette équation du second degré, on calcule le discriminant =b24ac= (1)241(1i) = (1 + 2i)2: Automatiquement les solutions sont données par la formule z

1;2=b+p

2a:

1.1.Exer cicescorrigés 7

A noter qu"ici

preflète deux valeurs. Nous obtenons donc z

1=1(1 + 2i)2

=i; et z

2=1 + (1 + 2i)2

= 1 +i:Exercice1.8.Montrer que (jzj= 1etz6= 1))iz+ 1z1

2R:S o l u t i o n

Posant, pourz6= 1,

w:=iz+ 1z1 Nous allons vérifier quew=wet dans ce cas forcémentw2R. On aw=iz+ 1z1

En utilisant le fait quejzj= 1, on obtientw=i0

B @1z + 11 z 11 C

A=iz+ 1z1

=w:

Donc,w=w:

Ceci implique que, pourjzj= 1etz6= 1,

i z+ 1z1 2R:

8Nombr escomplexes

Exercice1.9.Soit2Ret considérons un nombre complexe z= cos2() +isin()cos():

1) Déterminertel quez= 0:

2) Siz6= 0;calculerz1en fonction de.S o l u t i o n

1/ Déterminonstel quez= 0, c"est-à-dire,

cos

2() +isin()cos() = 0:

Autrement dit,

cos()[cos() +isin()] = 0:

Puisquecos() +isin() =ei6= 0, alors

cos() = 0)=2 + 2k; k2Z:

2/ Siz6= 0;calculantz1. On a

z

1= [cos()ei]1=eicos()= 1itan():Exercice1.10.Soitzun nombre complexe vérifiantjzj= 1:Montrer que

Arg z1z+ 1 =8 :2 ;si Img(z)>0; 2 ;si Img(z)<0:S o l u t i o n

On posez=x+iypourx;y2R. On a

z1z+ 1=x1 +iyx+ 1 +iy=(x1 +iy)(x+ 1iy)(x+ 1 +iy)(x+ 1iy):

1.1.Exer cicescorrigés 9

Après calcul, on trouve

z1z+ 1=x2+y21(x+ 1)2+y2+i2y(x+ 1)2+y2:

En utilisant le fait quejzj= 1, alors

x

2+y2= 1:

Par conséquent,

z1z+ 1=i2y(x+ 1)2+y2: Ainsi, ce complexe est purement imaginaire. Il est donc clair que Arg z1z+ 1 =8 :2 ;si Img(z) =y >0; 2 ;si Img(z) =y <0:Exercice1.11.Monter que, pour toutz2C, 1z =1z :S o l u t i o n

Pour toutz2C, on a

1z =z zz

Puisquezz=jzj2, alors

1z =z jzj2 =1jzj2(z) =1jzj2z:

Par conséquent,

1z =1zz z=1z

10Nombr escomplexes

Exercice1.12.1) Résoudre dansC, l"équation suivante

2z+iz= 3:

2) En utilisant le logarithme complexe, résoudre dansC, l"équation suivante

e z1=ie3:S o l u t i o n

1) Soientz=x+iyetz=xiy;alors l"équation2z+iz= 3devient

2x+ 2iy+ix+y= 3;

)2x+y+i(2y+x) = 3:

Par identification, on a

8< :2x+y= 3;

2y+x= 0;)8

:x= 2; y=1:

2) On a

e z1=ie3:

En utilisant le logarithme complexe, nous avons

ln(ez1) = ln(ie3); qui implique que z1 = ln(i) + ln(e3):

Sachant que

ln(z) = ln(jzj) +iArg(z); alors nous obtenonsln(i) = ln(1)i2 :Ainsi, z1 =i2 + 3)z=i2 + 4:

1.1.Exer cicescorrigés 11

Exercice1.13.1. Résoudre l"équation suivante z

4i= 0; z2C:

2. Trouver les solutions de l"équation suivante :

ie izieiz= 1; z2C:S o l u t i o n complexei. Les racines sont données, pourk= 0;1;2;3, par w k=4p1 cos=2 + 2k4 +isin=2 + 2k4

Par conséquent,

w 0=h cos8 +isin8 i w 1= cos58 +isin58 w 2= cos98 +isin98 et w 3= cos138 +isin138

2/ L"équation est équivalente à

i(eiz)2eizi= 0; z2C:

On poseX=eizet on obtient

iX

2Xi= 0; X2C:

On calcule le discriminent

= 14i(i) =3 = 3i2:

12Nombr escomplexes

Les solution sont données par

X

1=1ip3

2ietX2=1 +ip3

2i:

Une réécriture conduit à

X 1=ip3 2 etX2=i+p3 2

La résolution en terme de la variablezdonne

z 1=1i ln ip3 2 etz2=1i ln i+p3 2 :Exercice1.14.Résoudre dansC;l"équation suivante :

2cos(z)eiz= 1 + 2i:S o l u t i o n

Par définition, nous avons

cos(z) =eiz+eiz2

Par conséquent,

2cos(z)eiz= 1 + 2i)2eiz+eiz2

eiz= 1 + 2i:

On obtient

e iz= 1 + 2i:

Ce qui implique que

e iz= 1 + 2i)iz=log(1 + 2i); )z=1i log(1 + 2i) =1iquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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