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Pour calculer la VAN, On appellera (I) le montant du capital investi en début de période 1 et (CF) les flux de trésorerie nets générés par le projet. La VAN correspond à la différence entre la somme des flux de trésorerie actualisés et l'investissement en début de période 1 .C'est quoi tir en comptabilité ?
Le TIR est le taux d'actualisation pour lequel : la somme des flux nets de trésorerie est égale au montant de l'investissement. la valeur actuelle nette est égale à zéro (VAN = 0).- Le calcul TRI permet ainsi de calculer la rentabilité de l'investissement en comparant les dépenses initiales de CAPEX et les excédents de trésorerie perçus. Notez que le TRI est le taux qui annule la VAN (c'est-à-dire que la VAN est égale à zéro).
Introduction : à la lecture du tableau ci-dessous, le projet RIC n'est pas un un projet simple : il existe plus d'un retournement de signes dans les flux nets de trésorerie.
AnnéeFNT(t)
0-300,00
1650,00
2-570,00
3200,00
4250,00
A] Détermination du taux interne de rentabilité du projet RIC1) Méthode linéaire
TIR ( r )VAN ( r )
0%230,0000
50%-11,3580
Avec le système d'équations des différences premières, r - 0% <=> VAN(r) - VAN(0%)50 % - 0% <=>VAN(50%) - VAN(0%)
Dans un cadre où la variation des taux internes de rentabilité (TIR) est proportionnelle à la variation de la valeur actuelle nette (VAN), on a un TIR = r = 47,647%
Le poids croissant de l''actualisation étant supérieur au poids constant de la proportionnalité, la proportionalité de la variation du TIR à la variation de la VAN conduit
toujours, pour le taux interne de rentabilité calculé sur la base de la proportionalité, à une valeur actuelle nette négative comme ici où la VAN est égale à-6,4886
L'association d'un coefficient correcteur au taux interne de rentabilité permet de corriger ce biais. Encore faut-il associer le bon coefficient correcteur, c'est-à-dire
un coefficient correcteur faible (entre 0% et 10%) quand une des VAN précédentes est relativement proche de 0 (ici, quand r =50%) et un coefficient correcteur
plus élevé (entre 10% et 20%) quand aucune des VAN précédentes n'est proche de zéro. En appliquant cette règle, on obtient un taux interne de rentabilité r =42,882%
Au début de la troisième étape, on a doncTIR ( r )VAN( r )
50,0000%-11,3580
42,8824%4,2646
Et, si nous supposons que la variation relative du taux interne de rentabilité est proportionnelle à la variation relative de la valeur actuelle nette.
Variation du TIR Variation de la VAN
50,00%-42,8824% =7,1176% VAN(50,00%) - VAN(42,8824%) =-15,62
r - 42,8824% =r - 42,882%VAN (r ) - VAN(42,8824%) =-4,26 on obtient, au terme de la troisième étape, un taux interne de rentabilité r = 44,8253% Cas RIC (Auteur du corrigé : Jean-François Gueugnon)2 Au début de la quatrième étape, on a doncTIR ( r )VAN( r )
44,8253%-0,2747
42,8824%4,2646
Et, si nous supposons que la variation relative du taux interne de rentabilité est proportionnelle à la variation relative de la valeur actuelle nette,
Variation du TIR Variation de la VAN
44,8253% - 42,8824% =1,9430% VAN(44,8253%) - VAN(44,8824%) =-4,54
r - 42,8824% =r - 42,8824%VAN (r ) - VAN(44,8824%) =-4,26 on obtient, au terme de la quatrième étape, un taux interne de rentabilité r = 44,7077% Au début de la cinquième étape, on a doncTIR ( r )VAN( r )
44,8253%-0,2747
44,7077%-0,0063
Et, si nous supposons que la variation relative du taux interne de rentabilité est proportionnelle à la variation relative de la valeur actuelle nette,
Variation du TIR Variation de la VAN
44,8253% - 44,7077% =0,1176% VAN(44,8253%) - VAN(44,7077%) =-0,27
r - 44,7077% =r - 44,6762%VAN (r ) - VAN(44,7077%) =0,01 on obtient, au terme de la cinquième étape, un taux interne de rentabilité r = 44,7050%2) Méthode quadratique de Newton
TIR =44,7050%VAN (vérification) =0,00
Cas RIC (Auteur du corrigé : Jean-François Gueugnon)3 B] Analyse de la pureté du projet d'investissement à l'aide des balances simples du projet RICLa balance simple de projet S(t,r) est égale, par définition, au cumul des flux nets de trésorerie capitalisés au TIR à la date t.
Chaque année t, on a une balance S(t,r) = somme des (FNT(p).(1+r)^p)) de l'année p=0 à l'année t
Chaque balance simple de projet S(t,r) peut encore s'écrire comme : S(t,r) = (1+r) . S(r,t-1) + FNT(t)
AnnéeBalance simpleCommentaire
0-300,00Balance simple négative
1215,89Balance simple positive
2-257,60Balance simple négative
3-172,77Balance simple négative
40,00Balance simple nulle
Conclusion : Le projet RIC est un projet mixte avec plusieurs TIR car au moins une des balances simples avant terme est positive ou nulle.
-400,00 -300,00 -200,00 -100,00 0,00100,00
200,00
300,00
00,511,522,533,544,5
Balances simples
TempsBalances simples successives du projet RIC
Balances
Cas RIC (Auteur du corrigé : Jean-François Gueugnon)4 C] Détermination du véritable taux de rentabilité du projet d'investissement RIC A l'échéance T, on a une balance double S(T,r',k)=0 avec k =10%avec S(t,r',k) = (1+r') . S(t-1,r',k) +FNT(t) si la balance précédente est négative (le projet est en position débitrice vis à vis de la firme)
S(t,r',k) = (1+k) . S(t-1,r',k) +FNT(t) si la balance précédente est positive (le projet est en position créditrice vis à vis de la firme)
Sur cette base, on peut calculer par itérations le véritable RIC' en commençant par cadrer dans une première phase le taux r' recherché avant de le préciser dans une seconde phase.
1. Première phase de cadrage
à l'étape i = 1, nous posons r' =0%puis nous calculons les balances doubles annuelles dans le tableau ci-dessous.
à l'étape i = 2, nous posons r' =50%puis nous calculons les balances doubles annuelles dans le tableau ci-dessous.
Itération i =12
RIC = r ' = 0,0000%50,0000%
Balance double de l'année 0 =-300,00-300,00
Balance double de l'année 1 =350,00200,00
Balance double de l'année 2 =-185,00-350,00
Balance double de l'année 3 =15,00-325,00
Balance double de l'année 4 =266,50-237,50
2. Deuxième phase
Au début de l'étape i = 3, nous appliquons la méthode des différences premières sur la base des balances doubles obtenues précédemment à l'échéance T en posant
r' - 0% < - >-266,5050% - 0% < - >-504,00
Sans tenir compte de la capitalisation des flux nets de trésorerie annuels, nous obtenons alors, dans cette troisième étape, un taux de rentabilité r' =26,4385%
En appliquant un coefficient correcteur de 20% pour tenir compte du phénomène de capitalisation des flux, nous avons un taux de rentabilité r' =32,4000%
Au terme de l'étape i=3, on a (comme le montre la deuxième colonne du tableau ci-dessous) une balance double à l'échéance T égale à
Au début de l'étape i = 4, nous appliquons de nouveau la méthode des différences premières sur la base des balances doubles obtenues précédemment à l'échéance T en posant
r' - 32,40% < - >-3,0750% - 32,40 % < - >-240,57
Compte tenu que le niveau de la balance double à l'échéance à l'étape précédente ne nécessite aucun coefficient correcteur, on a un un taux de rentabilité r' =32,6247%
Au terme de l'étape i=4, on a (comme le montre la troisième colonne du tableau ci-dessous) une balance double à l'échéance T égale à
Cas RIC (Auteur du corrigé : Jean-François Gueugnon)5Au début de l'étape i = 5, nous appliquons de nouveau la méthode des différences premières sur la base des balances doubles obtenues précédemment à l'échéance T en posant
r' - 32,6247 % < - >-0,4832,4000% - 32,6247 % < - >2,59
Compte tenu que le niveau de la balance double à l'échéance T à l'étape précédente ne nécessite aucun coefficient correcteur, on a un un taux de rentabilité r' =32,6661%
Au terme de l'étape i=5, on a (comme le montre la quatrième colonne du tableau ci-dessous) une balance double à l'échéance T égale à
Itération i =345
RIC = r ' = 32,4000%32,6247%32,6661%
Balance double de l'année 0 =-300,00-300,00-300,00 Balance double de l'année 1 =252,80252,13252,00 Balance double de l'année 2 =-291,92-292,66-292,80 Balance double de l'année 3 =-186,50-188,14-188,44Balance double de l'année 4 =3,070,480,00
Conclusion : le RIC du projet est supérieur ou égal au taux d'actualisation. Le projet RIC est admissible
D] Calcul de la valeur actuelle nette et de la valeur actuelle intégrée du projet d'investissement
Taux d'actualisation =10%Taux de placement =14%
AnnéeFlux net de trésorerieFlux nets de trésorerie capitalisés0-300,00-
1650,00963,00
2-570,00-689,70
3200,00228,00
4250,00250,00
VAN = VANI (ou VANG) =positif. Le projet d'investissement est donc admissible.TIRI (ou TIRG) =25,798%supérieur au taux d'actualisation. Le projet d'investissement est admissible.
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