Chapitre I: Introduction à la thermodynamique: les outils PDF

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Chapitre I: Introduction à la thermodynamique: les outils

Exercice.1 : Calculer les dérivées partielles secondes et mixtes de la fonction Les bases de la thermodynamique cours et exercices corrigés; Auteurs :.

ChapitreI:

mathmatiquesethistorique

AhmedAamouche

CP1,Semestre2 ,ModuleThermodynamiqu e

ENSAMarra kech

UniversitCadiAyyad

Avril2017

AhmedAamouche (ENSA,UCA)ChapitreI:Introductionlathermodynamique:le soutilsma thmatiquesethisto riqueAvril20171/2 3

Outline

1Di↵rentielle?

2I.Di↵rentielledÕunefonctiondÕune variable

3II.Foncti ondeplusieursvariables

4III.For mesdi↵rentielles

5IV.Histori que

6Bibliographie

AhmedAamouche( ENSA,UCA)ChapitreI:Introductionlathermodynamique:le soutilsma thmatiquesethisto riqueAvril20172/2 3

Di↵rentielle?

DÞnition:Drivesim ple

Ladri veaupoint(f(x

0 ),x 0 )delafo nction f(x)quiest@c ontinueet drivable@estdÞniepar: f (x)=lim x0@0 f(x+x 0 )↵f(x) x+x 0 ↵x =lim x0@0 f(x+x 0 )↵f(x) x 0 (1) Ladri veenunpointdÕunef onction estunn ombre.CÕestler apportdela hauteurf(a+h)↵f(a)surlalar geu rh.CÕ estdonclatangen tedelÕanglequ efait latange ntelafonctionf(x)aupo int(f(a),a)aveclÕhor izontale.

DÞnition:Di↵rentielle

Ladi↵rentielleaupoint(f(a),a)delafo nction festdÞniep ar: df(a)=f (a)dx(2) olano tation@ d@deLeibnizsigniÞed i↵rentielleoupetite diffrence.

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I.Di ↵rentielledÕune fonctiondÕunevariable

Exemple1.

Fonctionf+ga.ff(g)f.g

1 f f g

Drivef

+g a.f g f (g)f .g+f.g f f 2 f gf.g f 2 dem me:

Fonctionf

fe f ln(f)

Drive↵f

↵1 f ↵f 2 f f e ff f Dansunplan (x,y)ou(x,f(x)),le svaleursde f(x)dcriventunecourbe(C) unedimens ion.Danscecasladrivedef(x)parrappo rtxaupo intP,sÕcrit: f (x)| P df dx P ↵f ↵x P (3) CÕestlapentedel acourb eCencepo intP( tangentelacourbe (C) aupoint P).

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I.Di ↵rentielledÕune fonctiondÕunevariable Dansunplan (x,y)ou(x,f(x)),le svaleursde f(x)dcriventunecourbe(C) unedimens ion.Danscecasladrivedef(x)parrappo rtxaupo intP,sÕcrit: f (x)| P df dx P ↵f ↵x P (4) CÕestlapentedel acourb eCencepo intP( tangentelacourbe (C) aupointP).

Physiquement:

Ladri vedef(x)parrapport xmesu reletauxde variationd ef(x)sousun changementdex.Cetauxestinstantan ouloca l.

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II.Fonc tiondeplusieursvariable s

1.DÞnition

Soientnvariablesrellesindpend antesx

1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n ffonctiondesnvariablesrellesassoci (x 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n )dans$ n unnomb re relf(x 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n )dans$.

Caslepluss imple: n=2

f:f onc tionde2variablesrelle sxety (x,y)%$ 2 ↵&f(x,y)=z%$(5)

Exemple.1

f(x,y)=4x+3y,f(x,y)=sin(xy),f(x,y)=log( x y )(6)

Casde3vari ables: n=3

f(x,y,z)=x+y↵z,f(x,y,z)=sin(xy)'e z (7)

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II.Fonc tiondeplusieursvariable s

2.Drivespa rt ielles

Onappe lledrivepartielledÕu nefonctionparrappo rtlÕunedesvariablesx,la autresvariablesco mmedesconstantes.Soit: f (x,y)=lim x0@0 f(x+x 0 ,y)↵f(x,y) x+x 0 ↵x (8)

Oubien:

f x (x,y)=lim x0@0 f(x+x 0 ,y)↵f(x,y) x+x 0 ↵x (9) CÕestladrivepa rtielle defparrappo rtxaupoin t(x,y)onlanote: F (x)= @f(x,y) @x y=conts (10)

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II.Fonc tiondeplusieursvariable s

f x (x,y)=lim x0@0 f(x+x 0 ,y)↵f(x,y) x+x 0 ↵x (11) CÕestladrivepa rtielle defparrappo rtxaupoin t(x,y)onlanote: F (x)= @f(x,y) @x y=conts (12)

Exemple.2

f(x,y)=x 2 sin(y)↵y(13)

Commexetysontin dp endan ts:

@f(x,y) @x y=conts =2xsin(y)(14) @f(x,y) @y x=conts =x 2 cos(y)↵1(15)

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II.Fonc tiondeplusieursvariable s

3.Drivespa rt iellessecondes

g(x,y)=2xsin(y),eth(x,y)=x 2 cos(y)↵1 Onpeut drivernouve aucesfonctionsparr app ortxety. @g @x y @x @f @x 2 f @x 2 =2sin(y)

Dem me:

@h @y x @y @f @y 2 f @y 2 =↵x 2 sin(y)

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II.Fonc tiondeplusieursvariable s

3.Drivespa rt iellessecondes

g(x,y)=2xsin(y),eth(x,y)=x 2 cos(y)↵1 Onpeut drivernouvea ucesfonctionsparra ppo rtxety. @g @x y @x @f @x 2 f @x 2 =2sin(y)

Dem me:

@h @y x @y @f @y 2 f @y 2 =↵x 2 sin(y)

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II.Fonc tiondeplusieursvariable s

3.Drivespa rt iellessecondes

g(x,y)=2xsin(y),eth(x,y)=x 2 cos(y)↵1 Onpeut drivernouvea ucesfonctionsparra ppo rtxety. @g @x y @x @f @x 2 f @x 2 =2sin(y)

Dem me:

@h @y x @y @f @y 2 f @y 2 =↵x 2 sin(y)

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II.Fonc tiondeplusieursvariable s

4.Drivespa rt iellesmixtes

Drivonsmaintenantg(x,y)parrappo rtyeth(x,y)parrapp ortxonaura donc: @x @f @y 2 f @x@y =2xcos(y) @y @f @x 2 f @y@x =2xcos(y) Exercice.1:Ca lculerlesdrivespartiell essecond esetmixtesdelafonction suivante: f(x,y)=x 3 e y +sin 2 (y)+3x. 2 f @x 2 2 f @y 2 2 fquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] Chapitre I: Introduction à la thermodynamique: les outils

ChapitreI:

AhmedAamouche

CP1,Semestre2 ,ModuleThermodynamiqu e

ENSAMarra kech

UniversitCadiAyyad

Avril2017

Outline

1Di↵rentielle?

2I.Di↵rentielledÕunefonctiondÕune variable

3II.Foncti ondeplusieursvariables

4III.For mesdi↵rentielles

5IV.Histori que

6Bibliographie

Di↵rentielle?

DÞnition:Drivesim ple

Ladri veaupoint(f(x

DÞnition:Di↵rentielle

Exemple1.

Fonctionf+ga.ff(g)f.g

Drivef

Fonctionf

Drive↵f

Physiquement:

II.Fonc tiondeplusieursvariable s

1.DÞnition

Soientnvariablesrellesindpend antesx

Caslepluss imple: n=2

Exemple.1

Casde3vari ables: n=3

II.Fonc tiondeplusieursvariable s

2.Drivespa rt ielles

Oubien:

II.Fonc tiondeplusieursvariable s

Exemple.2

Commexetysontin dp endan ts:

II.Fonc tiondeplusieursvariable s

3.Drivespa rt iellessecondes

Dem me:

II.Fonc tiondeplusieursvariable s

3.Drivespa rt iellessecondes

Dem me:

II.Fonc tiondeplusieursvariable s

3.Drivespa rt iellessecondes

Dem me:

II.Fonc tiondeplusieursvariable s

4.Drivespa rt iellesmixtes

UniversitCadiAyyad

1Di↵rentielle?

2I.Di↵rentielledÕunefonctiondÕune variable

4III.For mesdi↵rentielles

Di↵rentielle?

DÞnition:Drivesim ple

Ladri veaupoint(f(x

DÞnition:Di↵rentielle

Drivef

Drive↵f

1.DÞnition

Soientnvariablesrellesindpend antesx

2.Drivespa rt ielles

Commexetysontin dp endan ts:

3.Drivespa rt iellessecondes

Dem me:

3.Drivespa rt iellessecondes

Dem me:

3.Drivespa rt iellessecondes

Dem me:

4.Drivespa rt iellesmixtes