[PDF] primitives et calcul intégral





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— Calculs dintégrales

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Cours et exercices de mathématiques. M. CUAZ http://mathscyr.free.fr. Page 1/12. PRIMITIVES. EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Dérivée et primitives.



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Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l'une de ses bornes. Savoir calculer une primitive une intégrale de. Riemann.



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EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL

EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL. Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. EXERCICE 01 : Trouver une primitive de chacune des fonctions 



Intégration et primitives - Lycée dAdultes

Exercices. 10 mars 2016. Intégration et primitives. Notion d'intégrale. Exercice 1. Pour chaque fonction affine définie par morceaux f 

primitives et calcul intégral

Table des matières

1 introduction

2

2 primitives d"une fonction

4

2.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4

2.2 corrigés activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 9

2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 11

2.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 12

3 intégrale d"une fonction

13

3.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13

3.2 corrigés activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 18

3.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 19

3.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 travaux pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 32

3.6.1 algorithme et calcul d"aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 32

3.7 évaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 36

3.8 corrigé devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 47

3.8.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 48

3.8.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 51

1

1 introduction

1. en un certain lieu, soit????f(x) =x+ 1la valeur de la température en degrés mesurée à l"heurexoux?[0;7]

par exemple : ?à la datex= 1il faitf(1) = 1 + 1 = 2degrés

à la datex= 6il faitf(6) = 6 + 1 = 7degrés

01234567

0 1 2 3 4 5 6

Cf

2. on cherche à déterminer la valeur de

???Vm(f),????température moyenne entre les heuresx= 1etx= 6 graphiquement on peut estimer que la valeur moyenne vaut ???Vm(f)?4

01234567

0 1 2 3 4 5 6A BCDC

f

3. par définition, la valeur moyenne cherchée est telle que

l"aire sous la courbe entrex= 1etx= 6notéeA=? 6 1 f(x)dx("intégrale de1à6defdex,dx") est égale à l"aire du rectangleABCDde même largeur ( entrex= 1etx= 6) soitlargeur×hauteur= (6-1)×Vm(f) ce qui donne 6 1 f(x)dx= (6-1)×Vm(f) donc :

Vm(f) =16-1×?

6 1 f(x)dx, il reste à déterminer???? ?6 1 f(x)dx("intégrale de1à6defdex,dx")

01234567

0 1 2 3 4 5 6A BCDC

f01234567

0 1 2 3 4 5 6

Cf

4. pour cela on utilise le théorème?

?b a f(x)dx=F(b)-F(a)où? ???Fest une primitive def sachant que ???Fest une primitive def??F?(x) =f(x) il suffit alors de trouver une primitive defoùf(x) =x+ 1 orF(x) =1 2x2+x est telle queF?(x) =1

2×2x+ 1 =x+ 1 =f(x)

donc

F(x) =12x2+xest une primitive de????f(x) =x+ 1

on a donc : 6 1 f(x)dx=F(6)-F(1)avec???????F(6) =1

2×62+ 6 = 18 + 6 =????24

F(1) =1

2×12+ 1 = 0,5 + 1 =????1,5

soit : 6 1 f(x)dx= 24-1,5 =? ???22,5 ce qui signifie que l"aire sous la courbe defpourxallant de1à6est de? ???22,5unités d"aires( on peut dénombrer 22,5 carrés d"une unité d"aire sous la courbe) finalement

Vm(f) =1

6-1×?

6 1 f(x)dx=15×22,5 = 4,5 la valeur moyenne defpour allant de1à5est donc d"exactement? ???4,5 ce qui est cohérent avec le résultat évalué graphiquement graphiquementVm(f)?4et algébriquementVm(f) = 4,5

01234567

0 1 2 3 4 5 6

Cf

5. synthèse :(sous certaines conditions vues dans le cours)

valeur moyenne defpourxcompris entreaetb=Vm(f) =1b-a? b a f(x)dx intégrale defpourxcompris entreaetb=I=? b a f(x)dx=F(b)-F(a) ???Fest une primitive def??F?(x) =f(x)

2 primitives d"une fonction

2.1 activités

activité 1 soientF1etfles fonctions respectivement définies surRpar :?F1(x) = 5x3+ 10x2-5x f(x) = 15x2+ 20x-5

1. montrer queF?1(x) =f(x)(on dit sous cette condition queF1est une primitive def)

2. montrer queF2définie surRparF2(x) = 5x3+ 10x2-5x+ 1est aussi une primitive def

3. que dire deFdéfinie parF(x) = 5x3+ 10x2-5x+koùk?Rest un réel quelconque?

4. combien la fonctionfadmet-elle de primitives?

5. soitGune primitive quelconque def, on cherche à quoi ressemble nécessairementG.

pour cela, on considère la fonctionHdéfinie parH(x) =G(x)-F1(x) (a) montrer queH?(x) = 0 (b) en déduire queH(x) =k= constante pour toutx?R (c) en déduire queG(x) =F1(x) +kpour toutx?R (d) quelle est nécessairement la forme d"une primitive def? (e) en déduire la seule et unique primitiveFdeftelle queF(0) = 10 activité 2 soit la fonctionftellef(x) = 1 +x+ex-1x2+1xdéfinie surR?

1. montrer queF1telle queF1(x) =x+x2

2+ex+1x+lnxest une primitive def

2. trouver une autre primitiveF2def

3. trouver la primitiveFdefqui vaut 0 pourx= 1

activité 3 donner une primitive dans chaque cas en utilisant le tableaudes dérivées

1.f(x) = 0a par exemple pour primitive : ...

2.f(x) = 10a par exemple pour primitive : ...

3.f(x) =xa par exemple pour primitive : ...

4.f(x) =x2a par exemple pour primitive : ...

5.f(x) =x3a par exemple pour primitive : ...

6.f(x) =1

xa par exemple pour primitive : ...

7.f(x) =1

x2a par exemple pour primitive : ...

8.f(x) =1

x3a par exemple pour primitive : ...

9.f(x) =exa par exemple pour primitive : ...

activité 4 démontrer chaque proposition

1. siFetGsont des primitives respectives defetgalorsH=F+Gest une primitive deh=f+g

2. siFest une primitive defetk?Rest un réel alorsH=kFest une primitive deh=kf

2.2 corrigés activités

corrigé activité 1 soientF1etfles fonctions respectivement définies surRpar :?F1(x) = 5x3+ 10x2-5x f(x) = 15x2+ 20x-5

1.F?1(x) = 15x2+ 20x-5etf(x) = 15x2+ 20x-5

F ?1(x) =f(x) F

1est donc une primitive def

2.F?2(x) = 15x2+ 20x-5etf(x) = 15x2+ 20x-5

F ?2(x) =f(x) F

2est donc aussi une primitive def

3.Fdéfinie parF(x) = 5x3+ 10x2-5x+koùk?Rest aussi une primitive defcar

F ?(x) =f(x)

4. la fonctionfadmet alors une infinité de primitives

5. soitGune primitive quelconque def, on cherche à quoi ressemble nécessairementG.

pour cela, on considère la fonctionHdéfinie parH(x) =G(x)-F1(x) a.H(x) =G(x)-F1(x) H ?(x) =G?(x)-F?1(x)

H(x) =f(x)-f(x) = 0

H ?(x) = 0 b.Hest une fonction constante car sa dérivée est nulle pour toutx?R

H(x) =k= constante pour toutx?R

c.H(x) =G(x)-F1(x) =kpour toutx?R

G(x) =F1(x) +kpour toutx?R

d. une primitive defest nécessairement la formeF(x) =F1(x) +k e. la seule et unique primitiveFdeftelle queF(0) = 10est telle que

F(x) =F1(x) +kavecF(0) = 10

F(x) = 15x2+ 20x-5 +kavecF(0) = 10

F(0) = 15×02+ 20×0-5 +k= 10

-5 +k= 10??k= 15

F(x) = 15x2+ 20x-5 + 15

F(x) = 15x2+ 20x-10

corrigé activité 2 soit la fonctionftellef(x) = 1 +x+ex-1x2définie surR?

1.F1telle queF1(x) =x+x2

2+ex+1xest une primitive def, en effet :

F ?1(x) = 1 +1

2×2x+ex+-1x2

F ?1(x) = 1 +x+ex-1 x2=f(x)

2. une autre primitiveF2defest :F2(x) =x+x2

2+lnx+1x+koùk?R

3. primitiveFdefqui vaut 0 pourx= 1

F(1) = 0etF(x) =x+x2

2+ex+1x+k

F(1) = 1 +12

2+e1+11+k= 0

1 + 1

2+e+ 1 +k= 0

k=-5 2-e

F(x) =x+x2

2+lnx+1x-52-e

corrigé activité 3 donner une primitive dans chaque cas en utilisant le tableaudes dérivées (a)f(x) = 0a par exemple pour primitive :F(x) =k (b)f(x) = 10a par exemple pour primitive :F(x) = 10x+k (c)f(x) =xa par exemple pour primitive :F(x) =x+k (d)f(x) =x2a par exemple pour primitive :F(x) =x3 3+k (e)f(x) =x3a par exemple pour primitive :F(x) =x4 4+k (f)f(x) =1 xa par exemple pour primitive :F(x) =ln(x) +k (g)f(x) =1 x2a par exemple pour primitive :F(x) =-1x+k (h)f(x) =1 x3a par exemple pour primitive :F(x) =-12x2+k (i)f(x) =exa par exemple pour primitive :F(x) =ex+k corrigé activité 4 démontrons chaque proposition

1. siFetGsont des primitives respectives defetgalorsH=F+Gest une primitive deh=f+g

H=F+G H ?=F?+G? H ?=f+g H ?=h

H=F+Gest une primitive deh=f+g

2. siFest une primitive defetk?Rest un réel alorsH=kFest une primitive deh=kf H=kF

H ?=kF? H ?=kf H ?=h

H=kFest une primitive deh=kf

2.3 à retenir

définition 1 (primitive d"une fonction) SoientfetFdeux fonctions définies sur un intervalleI ???Fest une primitive defsurI??????F?(x) =f(x)pour toutx?I exemple : avecF(x) =x2+ 3xetf(x) = 2x+ 3on aF?(x) =f(x)doncFest une primitive def remarque : "Fest une primitive def" équivaut à "fest la dérivée deF" propriété 1 (forme générale des primitives) (1) toute????fonction continue sur un intervalleIdeR????admet des primitives sur cet intervalle (2) SoientfetFdeux fonctions définies sur un intervalleI?????si ???Fest une primitive defsurI alors ???toutes les primitives defsont de la forme????F+koùk?R exemple : avecF(x) =x2+3xetf(x) = 2x+3, toutes les primitives defsont de la formeF(x) =x2+3x+k oùkest un nombre réel quelconque remarque : si on connaît une primitive defalors on en connaît une infinité propriété 2 (tableau des primitives usuelles)

F(x)f(x)

k?R0 x+k1 2x+k2 -3x+k-3 ax+ka?R 1

2x2+kx

1

3x3+kx2

1

4x4+kx3

1

α+ 1xα+1+kxαoùα?R- {-1}

2⎷x+k1⎷x

ln(x) +k1 x ln(ax+b) +ka ax+b -1 x+k 1 x2 -1 2x2+k 1 x3 -1 (n-1)xn-1+k 1 xnoùn?Netn >1 exex 1 aeax+beax+b propriété 3(primitives et opérations) (1) siFetGsont des primitives respectives defetgsurIalors????F+Gest une primitive def+gsurI (2) siFest une primitive defsurIetk?Ralors????kFest une primitive dekfsurI exemple : une primitive def(x) =x2+ 5x3estF(x) =13x3+ 5×14x4=13x3+54x4 propriété 4quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
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