Calculs de primitives et dintégrales PDF

— Calculs dintégrales

Exercice 2. Pour chaque intervalle I et chaque fonction f calculer toutes les primitives de f sur I (si possible) 1. 2.1 I =

primitives exercices corriges

EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Dérivée et primitives. 1) Calculez la Exercice n°11 à 16 – Primitives utilisant les fonctions logarithmes et exponentielles.

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Exo7

Calculs de primitives et d"intégrales

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :

1)1x

3+12)x2x

3+13)x5x

3x2x+14)1x(x2+x+1)55)1x(x2+1)2

6)x2+xx

6+17)1x

4+18)1(x4+1)29)1x

8+x4+110)x(x4+1)3

11)1(x+1)7x71

Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :

4x+sin4x9)sinxsin(2x)sin

4x+cos4x+110)tanx1+sin(3x)

16)thx1+chx17)1sh

5x18)11chx

Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :

1)1px

2+2x+5etpx

2+2x+5 2)1p2xx23)p1+x6x

4)1p1+x+p1x5)qx+1x1

6)x2+1x

4x2+17)q1pxpx

8)11+p1+x29)3px

3+1x 2et13 px

3+110)1px+1+3px+1

Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :

11)arctanxpx

12)xex(x+1)213) (xe

)xlnx14)xnlnx(n2N)15)eaxcos(ax) ((a;a)2(R)2)

16)sin(lnx)et cos(lnx)17)px

n+1x

18)x2exsinx

Exercice 5

Calculer les intégrales suivantes (a,bréels donnés,petqentiers naturels donnés) 1)Ra

1=alnxx

2+1(0
02cos(px)cos(qx)dxetRp

02cos(px)sin(qx)dxetRp

02sin(px)sin(qx)dx
3)Rb ap(xa)(bx)dx4)R2
2(jx1j+jxj+jx+1j+jx+2j)dx
5)R2
1=21+1x

2arctanx dx6)R1

1p1+jx(1x)jdx
7)Rp
0xsinx1+cos2x8)Rx

1(lnt)ndt(n2N)

Condition nécessaire et suffisante sura,b,cetdpour que les primitives de(xa)(xb)xc)2(xd)2soient rationnelles (a,b,
cetdréels donnés).
Etude def(x) =R1

1sinx12tcosx+t2dt.

Etude def(x) =R1

0Max(x;t)dt.

0sinnx dx.
1. Calculer W0etW1. Déterminer une relation entreWnetWn+2et en déduireW2netW2n+1en fonction den. 2. Etudier les v ariationsde la suite (Wn)et en déduire limn!+¥Wn+1W n. 3.
Montrer que la suite (nWnWn1)n2Nest constante. En déduire limn!+¥Wn, puis un équivalent simple de
W n. En écrivantRp=2 0=Ra 0+Rp a2, retrouver directement limn!+¥Wn. 4.
Montrer que lim
n!+¥n1:3::::(2n1)2:4::::(2n) 2=1p . (Formule de WALLIS)
Pournentier naturel, on poseIn=Rp=4

0tannx dx.
1. Calculer I0etI1. Trouver une relation entreInetIn+2. En déduireInen fonction den. 2.
Montrer que Intend vers 0 quandntend vers+¥, et en déduire les limites des suites(un)et(vn)définies
par :un=ånk=1(1)k1k (n2N) etvn=ånk=1(1)k12k1.
Correction del"exer cice1 N1.Iest l"un des deux intervalles]¥;1[ou]1;+¥[.fest continue surIet admet donc des primitives
surI. 1X
3+1=1(X+1)(X+j)(X+j2)=aX+1+bX+j+b
X+j2; oùa=13(1)2=13 etb=13(j)2=j3 . Par suite, 1X
3+1=13
(1X+1+jX+j+j2X+j2) =13 (1X+1+X+2X
2X+1) =13
(1X+112 2X1X
2X+1+32
1X 2X+1) 13 (1X+112 2X1X
2X+1+32
1(X12 )2+(p3 2 )2):
Mais alors,
Z 1x
3+1dx=13
(lnjx+1j12 ln(x2x+1)+32 2p3 arctanx12p3 2 ) =16 ln(x1)2x
2x+1+1p3
arctan2x1p3 +C:
2.Iest l"un des deux intervalles]¥;1[ou]1;+¥[. SurI,Rx2x

3+1dx=13
ln(x3+1)+C.
3.X3X2X+1=X2(X1)(X1) = (X21)(X1) = (X1)2(X+1). Donc, la décomposition
en éléments simples def=X5X
3X2X+1est de la formeaX2+bX+c+d1X1+d2(X1)2+eX+1.
Détermination dea,betc. La division euclidienne deX5parX3X2X+1 s"écritX5= (X2+X+
2)(X3X2X+1)+2X2+X2. On a donca=1,b=1 etc=2.
e=limx!1(x+1)f(x) =(1)5(11)2=14 . Puis,d2=limx!1(x1)2f(x) =151+1=12 . Enfin,x=0 fournit
0=cd1+d2+eet donc,d1=212
+14 =94 . Finalement, X 5X
3X2X+1=X2+X+294

1X1+12

1(X1)214
1X+1; et donc,Idésignant l"un des trois intervalles]¥;1[,]1;1[ou]1;+¥[, on a surI Z x5x
3x2x+1dx=x33
+x22 +2x12(x1)14 lnjx+1j+C: 4.
Sur R,
Z
1x(x2+x+1)5dx=12
Z
2x+1(x2+x+1)5dx+32
Z
1(x2+x+1)5dx=18(x2+x+1)4+32
Z
1((x+12
)2+34 )5dx
18(x2+x+1)4+32
Z 1(( p3 2 u)2+34 )5p3 2 du(en posantx+12 =up3 2
18(x2+x+1)4+28p3
3 4Z
1(u2+1)5du:
Pourn2N, posons alorsIn=Rdu(u2+1)n. Une intégration par parties fournit 3 I et donc,In+1=12n u(u2+1)n+(2n1)In . Mais alors, I 5=18 u(u2+1)4+78 I4=18 u(u2+1)4+78:6u(u2+1)3+7:58:6I3 18 18
2+1+7:5:3:18:6:4:2I1
18
2+1+7:5:3:18:6:4:2arctanu+C:

Maintenant,
u
2+1= (2p3
(x+12 ))2+1=43 x2+43 x+13 +1=43 (x2+x+1):
Par suite,
2 8p3 3 4Z
1(u2+1)5du=28p3
3 4 18 3 44
42p3
(x+12 )(x2+x+1)4+78:63 34
32p3
(x+12 )(x2+x+1)3+7:58:6:43 24
22p3
(x+12 )(x2+x+1)2
7:5:38:6:4:234
2p3 (x+12 )x
2+x+1+7:5:3:18:6:4:2arctan2x+1p3
+C! 18
2x+1(x2+x+1)4+736

2x+1(x2+x+1)3+35108

2x+1(x2+x+1)2+3554
2x+1x 2+x+1 70p3
81
arctan2x+1p3 +C; (il reste encore à réduire au même dénominateur). 5.
On pose u=x2et doncdu=2xdx
Z
1x(x2+1)2dx=Zxx

2(x2+1)2dx=12
Z duu(u+1)2=12 Z (1u
1u+11(u+1)2)du
12 (lnjujlnju+1j+1u+1)+C 12 (lnx2x
2+1+1x

2+1)+C:
6.
Rx2+xx

6+1dx=Rx2x

6+1dx+Rxx

6+1dx.

Ensuite, en posantu=x3et doncdu=3x2dx,
Z x2x
6+1dx=13
Z 1u
2+1du=13
arctanu+C=13 arctan(x3)+C; et en posantu=x2et doncdu=2x dx, 4 Z xx
6+1dx=12
Z 1u
3+1du=16
ln(u1)2u
2u+1+1p3
arctan2u1p3 +C(voir 1)) 16 ln(x21)2x
4x2+1+1p3
arctan2x21p3 +C
Finalement,
Z x2+xx
6+1dx=13
arctan(x3)+16 ln(x21)2x
4x2+1+1p3
arctan2x21p3 +C: 7. 1X
4+1=å3k=0l
kXzkoùzk=ei(p4 +kp2 ). De plus,lk=14z3k=zk4z4k=zk4 . Ainsi, 1X
4+1=14
=14 p2X2X
2p2X+1p2X+2X

2+p2X+1!
Mais, p2X2X
2p2X+1=1p2
2Xp2 X
2p2X+11(X1p2
)2+(1p2 )2; et donc, Z p2x2x
2p2x+1dx=1p2
ln(x2p2x+1)p2arctan(p2x1)+C; et de même, Z p2x+2x
2+p2x+1dx=1p2
ln(x2+p2x+1)+p2arctan(p2x+1)+C:
Finalement,
Z 1x
4+1dx=1p2
lnx2p2x+1x
2+p2x+1p2(arctan(p2x1)+arctan(p2x+1))+C:
8.
Une intégration par parties fournit
Z 1x
4+1dx=xx

4+1+Z4x4(x4+1)2dx=xx

4+1+4Zx4+11(x4+1)2dx
xx
4+1+4Z1x

4+1dx4Z1(x4+1)2dx

Et donc,
Z
1(x4+1)2dx=14
(xx
4+1+3Z1x

4+1dx) =:::
5
9.Posons R=1X

8+X4+1.
X
8+X4+1=X121X
= (Xeip=6)(Xeip=6)(X+eip=6)(X+eip=6)(Xj)(Xj2)(X+j)(X+j2):
Rest réelle et paire. Donc,

R=aXj+a

Xj2aX+ja

X+j2+bXeip=6+b

Xeip=6bX+eip=6b

X+eip=6:
et donc, aXj+a
Xj2=112
(12jXj+12j2Xj2) =14 1X
2+X+1=14

1(X+12
)2+(p3 2 )2; et par parité, aXj+a
Xj2aX+ja

X+j2=14
(1(X+12 )2+(p3 2 )2+1(X12 )2+(p3 2 )2): =eip=6(2j)12 =2eip=6i12 , et donc, bXeip=6+b
Xeip=6=112
(2eip=6iXeip=6+2eip=6+iXeip=6) =112
2p3X+3X

2p3X+1=14
p3 2Xp3 X
2p3X+1:

Par parité,
bXeip=6+b
Xeip=6bX+eip=6b

X+eip=6=14
p3 2Xp3 X
2p3X+1+14
p3 2X+p3 X
2+p3X+1:

Finalement,
Z 1x
8+x4+1=12
p3 (arctan2x1p3 +arctan2x+1p3 )+14 p3 lnx2+p3x+1x
2p3x+1+C:
10. En posant u=x2et doncdu=2x dx, on obtientRx(x4+1)3dx=12 R
1(u2+1)3.
Pourn>1, posonsIn=R1(u2+1)ndu. Une intégration par parties fournit : I u(u2+1)n+2n(InIn+1); et donc,8n>1;In+1=12n(u(u2+1)n+(2n1)In).
On en déduit que
I 3=14 (u(u2+1)2+3I2) =u4(u2+1)2+38(u2+1)+38 arctanu+C; 6 et finalement que Z x(x4+1)3dx=116quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Calculs de primitives et d"intégrales

3+12)x2x

3+13)x5x

3x2x+14)1x(x2+x+1)55)1x(x2+1)2

6)x2+xx

6+17)1x

4+18)1(x4+1)29)1x

8+x4+110)x(x4+1)3

11)1(x+1)7x71

4x+sin4x9)sinxsin(2x)sin

4x+cos4x+110)tanx1+sin(3x)

16)thx1+chx17)1sh

5x18)11chx

2+2x+5etpx

2+2x+5 2)1p2xx23)p1+x6x

4)1p1+x+p1x5)qx+1x1

6)x2+1x

4x2+17)q1pxpx

8)11+p1+x29)3px

3+110)1px+1+3px+1

11)arctanxpx

12)xex(x+1)213) (xe

16)sin(lnx)et cos(lnx)17)px

18)x2exsinx

Exercice 5

1=alnxx

02cos(px)cos(qx)dxetRp

02cos(px)sin(qx)dxetRp

02sin(px)sin(qx)dx

2(jx1j+jxj+jx+1j+jx+2j)dx

1=21+1x

2arctanx dx6)R1

1p1+jx(1x)jdx

0xsinx1+cos2x8)Rx

1(lnt)ndt(n2N)

Etude def(x) =R1

1sinx12tcosx+t2dt.

Etude def(x) =R1

0Max(x;t)dt.

0sinnx dx.

Montrer que lim

Pournentier naturel, on poseIn=Rp=4

0tannx dx.

3+1=1(X+1)(X+j)(X+j2)=aX+1+bX+j+b

3+1=13

2X+1) =13

2X+1+32

2X+1+32

Mais alors,

3+1dx=13

2x+1+1p3

2.Iest l"un des deux intervalles]¥;1[ou]1;+¥[. SurI,Rx2x

3+1dx=13

3.X3X2X+1=X2(X1)(X1) = (X21)(X1) = (X1)2(X+1). Donc, la décomposition

3X2X+1est de la formeaX2+bX+c+d1X1+d2(X1)2+eX+1.

2)(X3X2X+1)+2X2+X2. On a donca=1,b=1 etc=2.

0=cd1+d2+eet donc,d1=212

3X2X+1=X2+X+294

1X1+12

1(X1)214

3x2x+1dx=x33

Sur R,

1x(x2+x+1)5dx=12

2x+1(x2+x+1)5dx+32

1(x2+x+1)5dx=18(x2+x+1)4+32

1((x+12

18(x2+x+1)4+32

18(x2+x+1)4+28p3

1(u2+1)5du:

2+1+7:5:3:18:6:4:2I1

2+1+7:5:3:18:6:4:2arctanu+C:

Maintenant,

2+1= (2p3

Par suite,

1(u2+1)5du=28p3

7:5:38:6:4:234

2+x+1+7:5:3:18:6:4:2arctan2x+1p3

2x+1(x2+x+1)4+736

2x+1(x2+x+1)3+35108