[PDF] LIMITES – EXERCICES CORRIGES ( )

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Page 1/18 LIMITES - EXERCICES CORRIGESExercice n°1.Déterminer la limite éventuelle en

de chacune des fonctions suivantes : 1) f xx( )132) f x x( )43) f xx( )31Déterminer la limite éventuelle en

de chacune des fonctions suivantes : 4) f x x( )35) f xx( ) 516) f x x( )Déterminez les limites suivantes 7) lim( )xxx2 118) lim( )xxxx002419) lim( )xx x2310) 43limxx11) 2lim32x

12) lim 1xx x13)

lim 3 4tt t 14) 1lim 3xxx Etudier le comportement de florsque xtend vers aavec : 15) f xxa( ) ,12216) f xxa( ) ,

23317) f xxa( ) , 102Exercice n°2.Déterminer les limites de )2)(1()(xxxxfen x = 2 et x = -1 . Exercice n°3.Déterminez les limites suivantes1) xxxf12)(2en 2) xxg1cos)(en

Exercice n°4.Vrai ou Faux ? 1) Si une fonction fest strictement croissante et positive sur 0; , alors lim ( )xf x

2) Si une fonction fa pour limite 0 en , alors, à condition de prendre xsuffisamment grand, tous les nombres réels f(x)sont de même signe 3) Si une fonction fa pour limite -1 en , alors, à condition de prendre xsuffisamment grand, tous les nombres réels f(x) sont de même signe Exercice n°5.

est une fonction numérique dont l'expression est 2( )f x ax b . Déterminer aet bsachant que 3lim ( )xf x et 5lim ( ) 11xf x

Exercice n°6.Déterminez les limites suivantes : 1) 1023lim2xxx2) 254lim3xxx3)limxxx x 3 41224) limxxx8 14 1635)limxx xx 2222 6)2212 3lim2 1xx xx x

7) 93lim9xxx

Exercice n°7.Trouver deux fonctions fet g telles que lim ( )xf x et lim ( )xg x et telles que : 1) lim ( ) ( ) 1xf x g x2) ( )lim 7( )xf xg x

Page 2/18 Exercice n°8.Déterminez les limites suivantes : 1) xxx3lim2))2(34lim2xxxxExercice n°9.1) Soit fune fonction telle que pour tout x>1,22 2( )f x

x . Déterminer lim ( )x x2) Soitfune fonction telle que pour toutx>1,2 3 3( )2f x x . Déterminer lim ( )x xLes propriétés suivantes permettent-elles de conclure concernant lim ( )x xet lim ( )x

x? 3) ( ) 2 3f x x 4) 2( ) 3f x x Exercice n°10.On considère la fonction définie sur ;0par 4)(xxxf1) Montrer que pour tout

;0xxxf3)(2) Déterminer )(limxfxExercice n°11.Soit la fonction fdéfinie sur

0;D par ( ) 2

x x x 1) Démontrer que, pour tout xde D, on a : 2( )2f x x . 2) Démontrer que, pour tout 0;x: 20 ( )f x

3) En déduire la limite de la fonction fen . Exercice n°12.On considère la fonction numérique fdéfinie par ( ) 2 sin

x x x

1) Montrer que pour tout xréel 2 1 ( ) 2 1

f x x

2) En déduire les limites de florsque xtend vers

et lorsque xtend vers Exercice n°13.Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les limites en et en de chacune des fonctions fsuivantes (si elles existent): 1) 1 cos( ) f x

2) 2sin( )1

xf xx ; Exercice n°14.On veut trouver la limite en de xxxf²1:1) Montrer que pour x>0 , 22 21 1

x x 2) En déduire pour x>0 un encadrement de f(x). 3) En déduire la limite de fen . Exercice n°15.Soit xun réel de 0;2

. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct ; ;O i j

, on considère les points A(1;0), M(cos x;sin x), P(cos x;0) et T(1;tan x). Soit A1 l'aire du triangle OAM, A2 l'aire du secteur de disque OAM et A3 l'aire du triangle OAT. 1) En comparant ces aires, prouver que : sin xxtan x. 2) En déduire que cos x< sin

< 1. 3) Déterminer la limite de sin en 0 (étudier les cas x0 et x0).

Page 3/18 Exercice n°16.En utilisant le résultat limsinxxx01(cf exercice précédent), étudiez les limites en 0 des fonctions : 1) xxxsin522) xxxsin33) xxxsinsin544) xxxtanExercice n°17.En utilisant la définition du nombre dérivé, déterminer36 3lim3xxx

0sinlimx

2coslim2x

x

Exercice n°18.Déterminer 0tanlimx

11lim1xxx62cos2 1lim6x

x Exercice n°19.Retrouver les limites de f(x) à partir du graphique connaissant les asymptotes

Exercice n°20.Dans chacun des cas ci-dessous, on donne trois fonctions et la représentation graphique C de l"une d"entre elles. Retrouver celle qui est représentée, en justifiant (qu'est-ce qui permet d'éliminer les 2 autres ?) 1ercas 11( )1 2f xx x ou 21( )1 2f xx x

ou 31( )1 2f xx x

2èmecas 121( )2g xxou 221( ) 1( 2)g xxou 321( )2g xx

Exercice n°21.Rechercher les asymptotes parallèles aux axes que peuvent présenter les courbes des fonctions suivantes : 1) 3 1( )

f x

2) 21( )f x

3) 1( )2f xx

4) 21( )4f xx

5) 2 1( )² 3 2xf xx x

Page 4/18 Exercice n°22.Soit fla fonction 21( ) 2 1f x x . Etudier le comportement de fen 0, et

, en précisant les asymptotes à la courbe représentative de fet les positions relatives de la courbe et de chaque asymptote. Exercice n°23.Soit fla fonction f xx xx( )2 3 1221) Déterminez trois nombres réels a,bet ctels que f x ax bcx( ) 2pour 2

x2) Etudier le comportement de fen(limite, asymptote sur la courbe). Exercice n°24.Montrer que la droite d"équation y = xest asymptote en

à la courbe représentative de la fonction fdéfinie parf xxx( )321Exercice n°25.Montrer que la droite d"équation

2est asymptote pour

à la courbe représentative de la fonction définie sur par f x x x( ) 21Exercice n°26.On considère la fonction fdéfinie par 3 23 4 20( )3x x xf xx 1) Quel est l"ensemble de définition D de f? 2) Déterminez trois réels a, bet ctels que pour tout x de D, on ait :f x ax bcx( ) 233) Déterminer : lim ( )xf x; lim ( )xf x; lim ( )xxf x33; lim ( )xxf x33; lim( ( ) ( ))xf x ax b24) Soit gla fonction numérique définie par : 2( ) 4g x x

. Etudier le signe de f x g x( ) ( )

suivant les valeurs de x. En déduire les positions relatives des courbes suivant les valeurs de x. Exercice n°27.Pour tout réel xnon nul, on considère la fonction fdéfinie par

2202050 2500( )xf xxA l"aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant :

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,01 Valeur approchée de ( )

x1) Peut-on conjecturer la limite de fen zéro ? 2) En développant 22050x, simplifier l"expression de f(x)pour

0. Calculer alors la limite de fen zéro. Surprenant, non ? Exercice n°28.Déterminer les limites suivantes : 1)

2lim lnx

x2) lim 1 lnx x3) lim ln2 3lnx 4)

0lim 4 lnx

x5) 2lim lnx

6) 0lnlimx

7) lim lnx

x8) 1lim ln 1xx (Poser 1)X

9) 0ln(1 2 )limx

x(Poser 2 ) x Exercice n°29.Déterminer les limites suivantes : 1) 2limxx e2) lim 4xx e3) 1lim 3xxex

Page 5/18 Exercice n°30.Etudiez les limites de la fonction fdonnée aux bornes de son ensemble de définition D, et trouver les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de f. 1) ( ) 4xf x e2) 3( )1xf xe3)( ) 2x

x x xe4)1( )1xf xeExercice n°31.On considère la fonction numérique fdéfinie sur par f(x) = eexx

1. 1) Déterminer la limite de f(x) quand xtend vers - . 2) Montrer que f(x)=xe11, et calculer la limite de f(x) quand xtend vers + . 3) En déduire l'existence de deux asymptotes de la courbe C.

Page 6/18 LIMITES - CORRECTIONExercice n°11) 3limxx donc par quotient 31lim 0xx, c'est à dire lim ( ) 0xf x

2) 4limxx donc par multiplication 4limxx, c'est à dire lim ( )xf x

ne pas confondre 4 et 44 x ) 3)1lim 0xxdonc par somme1lim 3 3xx , c'est à dire lim ( ) 3xf x

4) 3limxxdonc par produit 3limxx , c'est à dire lim ( )xf x

5) 1lim 0xxdonc par somme 1lim 5 5xx , c'est à dire lim ( ) 5xf x

6) limxx donc par composition avec la fonction racine, limxx

, c'est à dire lim ( )xf x 7) lim 2 1xx et 1lim 0xxdonc par somme 1lim 2 1xxx

8) 200lim 4 0 4 4xxxet 001limxxx

donc par somme 2001lim( 4 )xxxx

9)2limxxet lim 3xxdonc par somme2lim ( 3)xx x

10) lim 4xxdonc par quotient,3lim 04xx

11) 3lim 0xxdonc 3lim 2 2xx . De plus 2limxx

. Par quotient, 2lim32xxx

12) limxx et lim 1xx donc par produit

lim 1xx x

13) lim 3tt et lim 4ttdonc par produit

lim 3 4tt t

14) limxxet 1lim 3 3xx (car 1lim 0xx) donc par produit 1lim 3xxx

15) 22lim 2 0xxx(car 2 2 0x x) donc par quotient, 221lim2xxx

. De la même manière 22lim 2 0xxx

(car2 2 0x x) donc par quotient, 221lim2xxx. Les limites " à gauche » et " à droite » de 2 diffèrent. 16) 33lim 3 0xxx (car 3 3 0x x ) donc par quotient (attention à la règle des signes !), 332lim3xxx

. De la même manière 33lim 3 0xxx

(car 3 3 0x x ) donc par quotient, 332lim3xxx . 17) Puisque pour tout réel xon a 20x, on a donc 200lim 0xxx

ainsi que 200lim 0xxx donc 2001limxxx ainsi que 2001limxxx . Les limites à gauche et à droite de 0 sont ici identiques. Page 7/18 Exercice n°2Il est clair que 1lim( 1)( 2) 0xx xainsi que 2lim( 1)( 2) 0xx x

, mais encore faut-il connaître le signe de l'expression ( ) ( 1)( 2)D x x x . Un tableau de signes nous fournit : ( ) 0D xsi 1;2x( ) 0D xsi

; 1 2;xAinsi, 11lim( 1)( 2) 0xxx x. Comme 11lim 1xxx, on conclut, par quotient, que 11lim( 1)( 2)xxxx x11lim( 1)( 2) 0xxx x, donc par quotient, 11lim( 1)( 2)xxxx x

. 22lim( 1)( 2) 0xxx x. Comme 22lim 2xxx, on conclut, par quotient, que 22lim( 1)( 2)xxxx x

22lim( 1)( 2) 0xxx x, donc par quotient, 22lim( 1)( 2)xxxx x

Exercice n°31) 2 22 1 2lim lim lim 2x xxx xxx x . En notant 22 1xu on a donc limxu et puisque limuu , en composant, on obtient 22 1limxxx 2) 1lim 0xx. En notant 1u on a donc lim 0xuet puisque

0limcos 1uu

, en composant, on obtient 1lim cos 1xx Exercice n°41) FAUX. Par exemple, la fonction définie sur 0; par 1( ) 21f x est strictement croissant sur 0;, positive, et pourtant lim ( ) 2xf x

2) FAUX. Par exemple, la fonction définie sur

0; par cos( ) f x vérifie lim ( ) 0xf x(par encadrement, voir exercice n°), et pourtant sa courbe

C" oscille » autour de 0. Cela signifie que les nombres réels f(x) ne sont pas tous de même signe 3) VRAI. Si lim ( ) 1xf x, cela signifie que tout intervalle centré en -1 contiendra toutes les valeurs de f(x) pour xsuffisamment grand. Ainsi, pour xsuffisamment grand, on aura, par exemple 1,5 ( ) 0,5f x

donc les nombres f(x)seront tous de même signe Exercice n°5Puisque 32lim ( ) 33xf x ab , pour avoir 3lim ( )xf x

, il est nécessaire d'avoir 32limxx b , c'est-à-dire 3lim 0xx b, donc 3b. Ainsi, pour tout 3x, 2( )3f x axx

et l'information 5lim ( ) 11xf xfournit l'indication 2(5) 11 5 11 5 1025 3f aa a Page 8/18 Exercice n°61) Puisque 2lim 3xx et lim 2 10xx

, on est en présence d'une forme indéterminée " » Il existe (au moins) deux manières de rédiger : 1èremanière :Puisque

, on peut supposer 0xAlors 2 222 222 10 2 103 2 10 33xx x xx

x x x (factorisation par le terme de plus haut degré puis simplification). Puisque 2lim 0xxet 210lim 0xx, on a, par somme 22 10lim 3 3xx x

, et puisque 2limxx , on conclut, par produit, que 222 10lim 3xxx x , c'est à dire 2lim 3 2 10xx x

Remarque : Plutôt que de mettre 2

en facteur dans l'expression 23 2 10x x , on aurait pu mettre 23 en facteur, de sorte que 2222 222 10 2 103 2 10 3 13 13 3 3 3xx x xx x x x . On raisonne de la même manière, à savoir 2lim 03xx et 210lim 03xxdonc 22 10lim 1 13 3xx x , et puisque 2lim 3xx , on conclut, par produit, que 222 10lim 3 13 3xxx x , c'est à dire 2lim 3 2 10xx x

2èremanière :On utilise un résultat du cours stipulant que " la limite en

ou en

d'un polynôme est la même que celle de son terme de plus haut degré ». On écrit donc22lim 3 2 10 lim 3xxx x x 2) Puisque 3lim 4xx et lim 5 2xx, on se retrouve dans le cas d'une forme indéterminée " ». Le résultat du cours nous indique que 33lim 4 5 2 lim 4xxx x x 3) On examine les numérateurs et dénominateurs. On trouve 2lim 3 4xx

et 2lim 1xx x . On se trouve dans le cas d'une forme indéterminée "

». Il existe (au moins) deux manières de rédiger : 1èremanière :Factorisation des deux membres par leur terme de plus haut degré : Puisque

, on peut supposer 0xAlors 22222222222 224 443 333 41 11 1 1111 1x xxx xxxx xx x xx x x x . Puisque 24lim 3 3xx (par somme), et 21 1lim1 1xx x

(par somme), on déduit, par quotient, que 22433lim 31 111xxx x c'est à dire 223 4lim 31xxx x

2èremanière :On utilise un résultat du cours stipulant que " la limite en

ou en

d'une fraction rationnelle (quotient de deux polynômes) est la même que celle du quotient simplifié de leurs termes de plus haut degrés respectifs » On écrit donc 22223 4 3lim lim 31xxx xx xx

Page 9/18 4) Puisque 3lim 8 1xx et lim 4 16xx , on se retrouve dans le cas d'une forme indéterminée "

». Le résultat du cours nous indique que 3 23228 1 8lim lim lim24 16 4xxxx xxx x

5) Puisque 22lim 2 0xx x et 2lim 2 0xx, on se retrouve dans le cas d'une forme indéterminée " 00 ». Il va falloir transformer l'écriture de 222x xx pour "résorber » la forme indéterminée. Pour tout 2x, grâce au calcul de 21 4 1 2 9 on détermine les racines du trinôme : 11 912x

et 21 922x . La forme factorisée du trinôme nous permet de simplifier la fraction : 22 2 1x x x x donc

22 1212 2x xx x

x x On conclut que 2222lim lim 1 32xxx xxx 6) Puisque 21lim 2 3 0xx xet 21lim2 1 0xx x , on se retrouve dans le cas d'une forme indéterminée " 00 ». Grâce aux calculs des discriminants, on peut factoriser numérateur et dénominateur : Pour tout 1

, 221 32 331 12 12 1 22 2x xx xxx xx x x donc 22222 3 3 5lim lim11 12 12 2 22 2xxx x xx xx

7) Puisque 9lim 3 0xxet 9lim 9 0xx

, on se retrouve dans le cas d'une forme indéterminée " 00 ». Il va falloir transformer l'écriture de 39xxpour "résorber » la forme indéterminée. Pour tout 2x, 223 33 1933 33x xxxxx xx

, donc 9 93 1 1lim lim9 63x xxxx . Exercice n°71) On peut par exemple prendre ( ) 1 x x et ( ) x x

2) On peut par exemple prendre ( ) 7

x xet ( ) x x

Exercice n°81) Puisque lim 3xx et limxx, on est en présence d'une forme indéterminée " » Pour résorber cette forme indéterminée, on utilise la technique de multiplication par la quantité conjuguée : Pour tout 0;x,

2 23 333 33 333 33 33

x x xx xx x x xx x xxx xx xx x x xx x Puisque lim 3xx et limxx , on déduit que lim 3xx x

, et par quotient, 3lim 03xx x ,c'est à dire lim 3 0xx x Page 10/18 2) Puisque 2lim 4 3xx x (car 2lim 4 3xx x ) et lim ( 2)xx

, on est en présence d'une forme indéterminée " ». Pour résorber cette forme indéterminée, on utilise la technique de multiplication par la quantité conjuguée : Pour tout 0;x, 22222222222 22224 3 24 3 2 4 324 3 24 3 2 4 324 3 24 3 24 3 4 44 3 2 43 214 3 2x x xx x x xx xx x xx x x xx xx x xx x xx x x xx x x xx xx x x

Puisque 2lim 4 3xx x et lim 2xx , on déduit que 2lim 4 3 2xx x x , et par quotient, 21lim04 3 2xx x x , c'est à dire 2lim 4 3 2 0xx x x

Exercice n°91) Puisque22lim 0xxet2lim 0xx

, d'après le théorème d'encadrement " des gendarmes » , on a lim ( ) 0xf x

2) Puisque 2lim 0xxet 3lim 0xx, d'après le théorème d'encadrement " des gendarmes » , on a 3 3lim ( ) 0 lim ( )2 2xxf x f x3) Si ( ) 2 3f x x , puisque lim 2 3xx , on en conclut, par utilisation du théorème de minoration, que lim ( )xf x . On ne peut rien conclure de plus. 4) Si2( ) 3f x x , puisque 2lim 3xx , on en conclut, par utilisation du théorème de minoration, que lim ( )xf x . On peut également utiliser ce théorème lorsque

. En effet puisque 2lim 3xx , on en conclut, par utilisation du théorème de minoration, que lim ( )xf x . On ne peut rien conclure de plus.Exercice n°101) Pour tout 0;x, on calcule

2( ) 3 4 34 4 2f x x x x xx x x . Un carré étant toujours positif ou nul, on en déduit que pour tout

;0x( ) 3 0 ( ) 3

x xf x x 2) Puisque lim 3xx , on en conclut, par utilisation du théorème de minoration, que lim ( )xf x . Exercice n°111) Par multiplication par la quantité conjuguée, pour tout

D , 2 22( ) 2 222 22222 22 2 xf x x x xx x x x x xx x x xx xx x x x Page 11/18 2) Pour tout 0;x, on a clairement 2( ) 02f xx x car 2 0x x . De plus, 1 1 222 0 22 22( )x x xx

x x x x xf xx 3) Puisque 2lim 0xx, en application du théorème d'encadrement " des gendarmes », on a lim ( ) 0xf xExercice n°121) Pour tout xréel 1 sin 1 1 sin1 1 ( ) 1

x x x x xf x x 2) Puisque lim 1xx , on conclut, en utilisant le théorème de minoration, que lim ( )xf x . Puisque lim 1xx , on conclut, en utilisant le théorème de minoration, que lim ( )xf x. Exercice n°131) Puisque pour tout réel x, on a 1 cos 1

, alors pour tout x>0, on a 1 1 1 cos 1 1 0 1 cos 2x x , et par division par qui est >0, on déduit que 0 1 cos 2 1 cos20x x

x x xx . Puisque 2lim 0xx, en application du théorème d'encadrement " des gendarmes », on a lim ( ) 0xf x2) Commençons par la limite lorsque

. On peut donc supposer que x>0. Puisque pour tout réel x, on a 1 sin 1 , alors pour tout x>0, on a 2 22sin1 1 1 x x xx x x Puisque 2 21lim lim lim 01x xxx xx x x , et puisque 2 21lim lim lim 01x xxx xx x x

, en application du théorème d'encadrement dit " des gendarmes », on conclut que lim ( ) 0xf x

La limite lorsque

se traite à l'identique : on peut donc supposer que x<0. Puisque pour tout réel x, on a 1 sin 1

, alors pour tout x<0, on a 2 22sin1 1 1 x x xx x x

(l'inégalité est en sens inverse de la prcédente) Puisque 2 21lim lim lim 01x xxx xx x x , et puisque 2 21lim lim lim 01x xxx xx x x

, en application du théorème d'encadrement dit " des gendarmes », on conclut que lim ( ) 0xf x

Exercice n°141) Pour x>0 2 20 1 1

x . De plus 22 21 1 2 1

x x x car x>0. L'encadrement est ainsi démontré. 2) La fonction racine étant strictement croissante sur

0; , on déduit de l'encadrement 22 21 1 x x que 22 221 1 11 x x x xx Puisque x>0 et 1+x>0, on a donc 21 1 x x , et enfin par division par x, 21 111 ( ) 1x x xf x x xx

3) Puisque 1lim1 1xx , en application du théorème " des gendarmes », on conclut que lim ( ) 1xf x

Ne pas oublier que 2

x

Page 12/18 Exercice n°151) On a clairement 1 2 3A A A On calcule : 11 sin2 2OA PM xA , puis par proportionnalité de l'aire et de la mesure du secteur angulaire, 22

A (car un angle de 2 rad correspond à une aire de 2 2r cm , donc un angle de rad correspond à une aire de 2 2quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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