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Exo7

Développements limités

Corrections d"Arnaud Bodin.

1 Calculs

Exercice 1Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cos xexpxà l"ordre 3

2.(ln(1+x))2à l"ordre 4

3. shxxx

3à l"ordre 6

4. e xp sin(x)à l"ordre 4 5. sin

6(x)à l"ordre 9

6. ln cos(x)à l"ordre 6 7.

1cosxà l"ordre 4

8. tan xà l"ordre 5 (ou 7 pour les plus courageux)

9.(1+x)11+xà l"ordre 3

10. arcsin ln(1+x2)à l"ordre 6 1. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de f(x) =px. 2. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de g(x) =epx 3.

Dév eloppementlimité à l"ordre 3 en

p3 deh(x) =ln(sinx).

Donner un développement limité à l"ordre 2 def(x) =p1+x21+x+p1+x2en 0. En déduire un développement à

l"ordre 2 en+¥. Calculer un développement à l"ordre 1 en¥.

2 Applications

Exercice 4Calculer les limites suivantes

lim x!0e x2cosxx

2limx!0ln(1+x)sinxx

limx!0cosxp1x2x 4

Étudier la position du graphe de l"applicationx7!ln(1+x+x2)par rapport à sa tangente en 0 et 1.

Déterminer:

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x

2. lim x!0+(arctanx)1x 2 3. lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx

Exercice 7Soitfl"application deRdansRdéfinie parf(x) =x31+x6:Calculerf(n)(0)pour toutn2N:

Soitaun nombre réel etf:]a;+¥[!Rune application de classeC2. On supposefetf00bornées ; on pose

M 0=sup x>ajf(x)jetM2=sup x>ajf00(x)j. 1. En appliquant une formule de T aylorreliant f(x)etf(x+h), montrer que, pour toutx>aet touth>0, on a :jf0(x)j6h2 M2+2h M0. 2.

En déduire que f0est bornée sur]a;+¥[.

3.

Établir le résultat sui vant: soit g:]0;+¥[!Rune application de classeC2à dérivée seconde bornée et

telle que limx!+¥g(x) =0. Alors limx!+¥g0(x) =0.

4 DL implicite

Exercice 9tan(x) =x1.Montrer que l"équation tan x=xpossède une unique solutionxndansnpp2 ;np+p2 (n2N). 2.

Quelle relation lie xnet arctan(xn)?

3. Donner un DL de xnen fonction denà l"ordre 0 pourn!¥. 4.

En reportant dans la relation trouvée en

2 , obtenir un DL dexnà l"ordre 2.

Exercice 10Recherche d"équivalentsDonner des équivalents simples pour les fonctions suivantes :

1.

2 exp1+4xp1+6x2, en 0

2.(cosx)sinx(cosx)tanx, en 0

3. arctan x+arctan3x 2p3 , enp3 4. px

2+123px

3+x+4px

4+x2, en+¥

5. ar gch

1cosx, en 0

cosx1+ax21+bx2 soit uno(xn)en 0 avecnmaximal.

Calculer

`=limx!+¥ ln(x+1)lnx x

Donner un équivalent de

ln(x+1)lnx x lorsquex!+¥.

Indication pourl"exer cice1 N1.cos xexpx=1+x13

x3+o(x3)

2.(ln(1+x))2=x2x3+1112

x4+o(x4) 3. shxxx 3=13! +15! x2+17! x4+19! x6+o(x6) 4. e xp sin(x)=1+x+12 x218 x4+o(x4) 5. sin

6(x) =x6x8+o(x9)

6. ln (cosx) =12 x2112 x4145 x6+o(x6) 7.

1cosx=1+12

x2+524 x4+o(x4) 8. tan x=x+x33 +2x515 +17x7315 +o(x7)

9.(1+x)11+x=exp11+xln(1+x)=1+xx2+x32

+o(x3) 10. arcsin ln(1+x2)=x2x42 +x62

+o(x6)Indication pourl"exer cice2 NPour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poserh=x1 et considérer un

dl au voisinage deh=0.Indication pourl"exer cice3 NEnx=0 c"est le quotient de deux dl. Enx= +¥, on poseh=1x

et on calcule un dl enh=0.Indication pourl"exer cice4 NIl s"agit bien sûr de calculer d"abord des dl afin d"obtenir la limite. On trouve :

1. lim x!0ex2cosxx 2=32 2. lim x!0ln(1+x)sinxx =0 3. lim x!0cosxp1x2x 4=16

Indication pour

l"exer cice

5 NFaire un dl enx=0 à l"ordre 2 cela donnef(0),f0(0)et la position par rapport à la tangente donc tout ce qu"il

faut pour répondre aux questions. Idem enx=1.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de faire un dl afin de trouver la limite.

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x= +¥

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x=32

2. lim x!0+(arctanx)1x 2=0 4 3.lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx=2Indication pourl"exer cice7 NCalculer d"abord le dl puis utiliser une formule de Taylor.

Indication pour

l"exer cice

8 N1.La formule à appliquer est celle de T aylor-Lagrangeà l"ordre 2.

2.

Étudier la fonction f(h) =h2

M2+2h

M0et trouver infh>0f(h).

3.

Il f autchoisir un a>0 tel queg(x)soit assez petit sur]a;+¥[; puis appliquer les questions précédentes

àgsur cet intervalle.Indication pourl"exer cice11 NIdentifier les dl de cosxet1+ax21+bx2enx=0.Indication pourl"exer cice12 NFaites un développement faisant intervenir desxet des lnx. Trouvez`=1.5

Correction del"exer cice1 N1.cos xexpx(à l"ordre 3).

Le dl de cosxà l"ordre 3 est

cosx=112! x2+e1(x)x3:

Le dl de expxà l"ordre 3 est

expx=1+x+12! x2+13! x3+e2(x)x3: Par convention toutes nos fonctionsei(x)vérifieronsei(x)!0 lorsquex!0.

On multiplie ces deux expressions

cosxexpx= 112
x2+e1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =1

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 on développe la ligne du dessus 12 x2

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 +e1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 On va développer chacun de ces produits, par exemple pour le deuxième produit : 12! x2

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =12 x212 x314 x4112 x512 x2e2(x)x3: Mais on cherche un dl à l"ordre 3 donc tout terme enx4,x5ou plus se met danse3(x)x3, y compris x

2e2(x)x3qui est un bien de la formee(x)x3. Donc

12 x2

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =12 x212 x3+e3(x)x3:

Pour le troisième produit on a

e

1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =e1(x)x3+xe1(x)x3+=e4(x)x3

On en arrive à :

cosxexpx= 112
x2+e1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =1+x+12! x2+13! x3+e1(x)x3 12 x212 x3+e3(x)x3 +e4(x)x3il ne reste plus qu"à regrouper les termes : =1+x+(12 12 )x2+(16 12 )x3+e5(x)x3 =1+x13 x3+e5(x)x3

Ainsi le dl de cosxexpxen 0 à l"ordre 3 est :

cosxexpx=1+x13 x3+e5(x)x3: 6

2.(ln(1+x))2(à l"ordre 4).

Il s"agit juste de multiplier le dl de ln(1+x)par lui-même. En fait si l"on réfléchit un peu on s"aperçoit

qu"un dl à l"ordre 3 sera suffisant (car le terme constant est nul) : ln(1+x) =x12 x2+13 x3+e(x)x3 e

5(x)!0 lorsquex!0.

(ln(1+x))2=ln(1+x)ln(1+x) x12 x2+13 x3+e(x)x3 x12 x2+13 x3+e(x)x3 =x x12 x2+13 x3+e(x)x3 12 x2 x12 x2+13 x3+e(x)x3 13 x3 x12 x2+13 x3+e(x)x3 +e(x)x3 x12 x2+13 x3+e(x)x3 =x212 x3+13 x4+e(x)x4 12 x3+14 x4+e1(x)x4 13 x4+e2(x)x4 +e3(x)x4 =x2x3+1112 x4+e4(x)x4 3. shxxx

3(à l"ordre 6).

Pour le dl de

shxxx

3on commence par faire un dl du numérateur. Tout d"abord :

shx=x+13! x3+15! x5+17! x7+19! x9+e(x)x9 donc shxx=13! x3+15! x5+17! x7+19! x9+e(x)x9:

Il ne reste plus qu"à diviser parx3:

shxxx 3=13! x3+15! x5+17! x7+19! x9+e(x)x9x 3=13! +15! x2+17! x4+19! x6+e(x)x6

Remarquez que nous avons commencé par calculer un dl du numérateur à l"ordre 9, pour obtenir après

division un dl à l"ordre 6. 4. e xp sin(x)(à l"ordre 4).

On sait sinx=x13!

x3+o(x4)et exp(u) =1+u+12! u2+13! u3+14! u4+o(u4). 7

On note désormais toute fonctione(x)xn(oùe(x)!0 lorsquex!0) paro(xn). Cela évite les multiples

expressionsei(x)xn. On substitueu=sin(x), il faut donc calculeru;u2;u3etu4: u=sinx=x13! x3+o(x4) u

2=x13!

x3+o(x4)2=x213 x4+o(x4) u

3=x13!

x3+o(x4)3=x3+o(x4) u

3=x4+o(x4)eto(u4) =o(x4)

Pour obtenir :

exp(sin(x)) =1+x13! x3+o(x4) 12! x213 x4+o(x4) 13! x3+o(x4) 14! x4+o(x4) +o(x4) =1+x+12 x218 x4+o(x4): 5. sin

6(x)(à l"ordre 9).

On sait sin(x) =x13!

x3+o(x4).

Si l"on voulait calculer un dl de sin

2(x)à l"ordre 5 on écrirait :

sin

2(x) =x13!

x3+o(x4)2=x13! x3+o(x4)x13! x3+o(x4)=x2213! x4+o(x5):

En effet tous les autres termes sont danso(x5).

Le principe est le même pour sin

6(x): sin

6(x) =x13!

x3+o(x4)6=x13! x3+o(x4)x13! x3+o(x4)x13!quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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