1 Polynômes de Bernstein 2 Courbes de Bézier PDF

Courbes de Bézier

Définition 1 : Le segment [AB] est la courbe de Bézier de degré 1 avec points de contrôle A et B. Les polynômes 1

Corrigé du brevet de Technicien Supérieur 14 mai 2018

14 mai 2018 Dans tout l'exercice le plan est muni d'un repère orthonormé (O ;. − ... La courbe de Bézier C2 est définie par les trois points de contrôle ...

Courbes B-splines : solutions des exercices

Faire la construction géométrique pour t = 1/2 et t = 1/4. Solution de l'exercice 11. Courbe de Bézier avec deux points et deux tangentes prescrites. Comme tous

Courbes de Bézier

On admettra que cette courbe est la courbe de Bézier C1 associée aux points de définition A M

Correction Concours général 2018

Dans la suite on va s'intéresser `a des courbes de Bézier de degré 0

Un panorama de lutilisation de MAPLE initialement conçu pour la

11 juil. 2013 9.11 Corrigé de l'exercice 21 (courbes de Bézier...) ... et la courbe f (comme courbe de Bézier `a savoir

Exercices Alternatifs Introduction aux courbes de Bézier

Paul de Casteljau était chargé de numériser une courbe une fois celle-ci tracée

NURBS : solutions des exercices

NURBS : solutions des exercices. Pierre Pansu. May 18 2004. Exercice 1 de l'exercice 5 sur les B-splines en une courbe de Bezier cubique rationnelle γ telle qu'en raccordant γ `a sa translatée de vecteur (2

Sujet dexamen Table des matières

La courbe de Bézier C1 est obtenue à partir des quatre points de définition A B

Travail demandé : Il vous est demandé détudier puis de présenter le

courbe de Bézier (d'ordre n) associée `a ces points est la courbe paramétrée point d'inflexion cle P. En fait i'exercice aurait dû aussi demanders l'étude de ...

Courbes B-splines : solutions des exercices

Exercice 1 On pose t0 = t1 = 0 t2 = 1

Courbes de Bézier

Paul de Casteljau était chargé de numériser une courbe une fois celle-ci tracée

Courbes et interpolations

3. Exercice 28 a) Écrire un programme qui trace un arc de Bézier défini par 4 points donnés

NURBS : solutions des exercices

18 mai 2004 Exercice 2 Soit a un réel. Trouver des poids w0 w1 et w2 de sorte que la courbe de Bézier rationnelle de degré 2 associée au polygone de ...

Courbes de Bézier

C1 est la courbe de Bézier définie `a partir des points de définition A M

Feuille dexercices

Interpolation moindres carrés et courbes de Bézier. Exercice I La valeur f(10) = 12 est erronée ; la valeur corrigée de f(10) est 12 + ?

Corrigé du brevet de Technicien Supérieur 14 mai 2018

14 mai 2018 Exercice 2. 10 points. Une des applications importantes des courbes de Bézier concerne la typographie et notamment les polices de caractère.

Sujet dexamen Table des matières

EXERCICE n°1: (3 points) QCM. Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. ... La courbe de Bézier C1 est obtenue à partir des quatre points de ...

Un panorama de lutilisation de MAPLE initialement conçu pour la

11 juil. 2013 9.5 Corrigé de l'exercice (11) (matrices et déterminants) . ... 9.11 Corrigé de l'exercice 21 (courbes de Bézier...) .

1 Polynômes de Bernstein 2 Courbes de Bézier

Exercice 2 Modifier manuellement les données du tableau MXY dans le programme bezier.sce afin de reproduire les courbes de Bézier données ci-dessous.

MAP110/MAP120Decouverte des Mathematiques Appliquees TP : Courbes de BezierLes chiers necessaires a ce TP sont disponibles a l'adresse : https://espaces-collaboratifs.grenet.fr/share/page/site/UJFueDDMAP110120/dashboard sous la rubriqueEspace documentairedans le dossierDocuments/ThemeCourbes/TP3. Sinon, aller a l'adressehttps://espaces-collaboratifs.grenet.fr. Se loguer, puis dans l'ongletSites, selectionnerRechercher un siteet entrerMAP110-120. Attention :les chiers contenant le programme d'une fonction sont destines a ^etre utilises, et en aucun cas a ^etre modies.1 Polyn^omes de Bernstein On recuperera le chierbernstein.scia l'adresse du lien donne ci-dessus. On rappelle la denition des polyn^omes de Bernstein : B nk(t) = Ckn(1t)nktk; k= 0;1;2;:::;n La fonction recuperee :function xy = bernstein(n,k,ttrace)calcule pour chaque element du vecteur ttracela valeur du polyn^ome de BernsteinBnk. Exercice 1Ecrire un script Scilab nommeexercice1.scequi permet de tracer sur une m^eme gure les graphes de ces polyn^omes pour une valeur dendonnee :

B20(t); B21(t); B22(t); t2[0;1],

B30(t); B31(t); B32(t); B33(t); t2[0;1],

B40(t); B41(t); B42(t); B43(t); B44(t); t2[0;1].

2 Courbes de Bezier

On recuperera le chierbezier.scea l'adresse du lien donne ci-dessus.

On souhaite tracer la courbe de Bezier

m(t) =nX k=0m kBnk(t); t2[0;1]; associee aux points de contr^olemk= (xk;yk); k= 0;1;2;:::;n. On designe parnpctrl = n+1le nombre de points de contr^ole, et range les coordonnees de ces

points de contr^ole dans un tableau a deux lignes de la facon suivante :MXY(1;1) =x0MXY(1;2) =x1MXY(1;3) =x2MXY(1;n) =xn1MXY(1;n+ 1) =xnMXY(2;1) =y0MXY(2;2) =y1MXY(2;3) =y2MXY(2;n) =yn1MXY(2;n+ 1) =ynExercice 2Modier manuellementles donnees du tableauMXYdans le programmebezier.scean

de reproduire les courbes de Bezier donnees ci-dessous. 1 -5-4-3-2-1012345-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5-4-3-2-1012345-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

5Exemple 1 Exemple 2

-5-4-3-2-1012345-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5-4-3-2-1012345-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

5Exemple 3 Exemple 4

2.1 Entree des points de contr^ole \a la souris"

On recuperera les chierssaisirpoints.scietcourbesouris.sce La fonctionsaisirpoints.scipermet d'acquerir par desclics de sourisnpoints de contr^ole dans le rectangle10x10;10y10 et trace le polygone de contr^ole associe. Le programmecourbesouris.scerecupere les coordonnees de ces points de contr^ole et trace la courbe de Bezier associee. Dans ce programme, le nombre de points de contr^ole est nommendonneeset peut bien sur ^etre modie. Exercice 3Utiliser ce programme pour tracer des courbes de Bezier m(t) =nX k=0m kBnk(t); t2[0;1]; en essayant de reproduire les formes vues en cours, puis d'autres formes.

2.2 Tracer et modier

On recuperera le chiercourbedesign.sce

Ce programme permet une saisie des points de contr^ole a la souris comme deni precedemment et permet ensuite de deplacer successivement ces points de contr^ole en reachant a chaque fois la courbe de Bezier associee. Precisement,on cliquesur un point de contr^ole an de le selectionner,

puis on clique sur la nouvelle position souhaitee. Le polygone ainsi que la courbe de Bezier associee,

sont re-evalues et reaches. On metnau programme en cliquant en dehors du rectangle des coordonnees. Exercice 4Experimenter le programme precedent. Creer une courbe avec une boucle. Creer une courbe de Bezier representant le chire \6" que vous transformerez ensuite en le chire \9". 2

3 Les courbes de Bezier quadratiques

Dans cette partie nous n'utiliserons que des courbes de Bezier quadratiques, mais nous eectuerons des dessins comportant plusieurs courbes de Bezier quadratiques.

On recuperera le chierbezierquadratique.sce.

3.1 Le programme de base

Pourn= 2, les polyn^omes de Bernstein s'ecrivent

20(t) = (1t)2; B21(t) = 2t(1t); B22(t) =t2;

et chaque courbe de Bezier quadratique est denie par trois points de contr^ole : m

0= (x0;y0); m1= (x1;y1); m2= (x2;y2):

Le programmebezierquadratique.scetrace sur une m^eme gure un ensemble deplusieurscourbes de Bezier quadratiques. Les points de contr^ole de chaque Bezier quadratique sont groupes dans le tableauMXYL(Lpour stockage en ligne) de sorte que chaque ligne contient les 6 coordonnees des points de contr^ole, stockees de la facon suivante : x

0; y0; x1; y1; x2; y2:

Si \ncourbes" est le nombre de courbes de Bezier quadratiques, le tableauMXYLest un tableau a \ncourbes" lignes, et le programmebezierquadratique.scetrace sur une m^eme gure l'ensemble de ces \ncourbes" courbes de Bezier quadratiques.

Exercice 5Experimenter le programmebezier-

quadratique.scepuis modier deux points de contr^ole de sorte a obtenir la gure ci contre. On utilisera l'instruction :replot([-1 -1 12 12]).3.2 Dessiner un caractere Exercice 6Imaginer une methode pour tracer le caractere suivant en utilisant des courbes de Bezier quadratiques. On remarquera que les sequences de points de contr^ole sont : { (0,6)(0,14)(6,14) { (6,14)(12,14)(12,10) { (12,10)(12,9)(12,8) { (0,6)(0,0)(6,0) { (6,0)(12,0)(12,4) { (3,6)(3,12)(8,12) { (8,12)(12,12)(12,8) { (3,6)(3,2)(8,2) { (8,2)(10,2)(12,4)3

3.3 Transformer le caractere

Exercice 7Imaginer une methode pour tra-

cer le m^eme caractere en \penche " : on pourra par exemple modier tous les points de contr^ole par la transformation suivante : (x;y)!(x+ytan;y) que l'on interpretera.02468101214161820 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

02468101214161820

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

02468101214161820

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

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0quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] 1 Polynômes de Bernstein 2 Courbes de Bézier

B20(t); B21(t); B22(t); t2[0;1],

B30(t); B31(t); B32(t); B33(t); t2[0;1],

B40(t); B41(t); B42(t); B43(t); B44(t); t2[0;1].

2 Courbes de Bezier

On souhaite tracer la courbe de Bezier

5Exemple 1 Exemple 2

5Exemple 3 Exemple 4

2.1 Entree des points de contr^ole \a la souris"

2.2 Tracer et modier

On recuperera le chiercourbedesign.sce

3 Les courbes de Bezier quadratiques

On recuperera le chierbezierquadratique.sce.

3.1 Le programme de base

Pourn= 2, les polyn^omes de Bernstein s'ecrivent

20(t) = (1t)2; B21(t) = 2t(1t); B22(t) =t2;

0= (x0;y0); m1= (x1;y1); m2= (x2;y2):

0; y0; x1; y1; x2; y2:

Exercice 5Experimenter le programmebezier-

3.3 Transformer le caractere

Exercice 7Imaginer une methode pour tra-

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