[PDF] Courbes de Bézier C1 est la courbe de

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Courbes de BezierF-IRIS2-06.texCourbes de Bezier

1) Forme realisee par la jonction de deux arcs de courbes de Bezier :

Le plan est muni d'un repere orthonormal

O;!i ;!j

(unite graphique 2 cm) On considere dans ce repere les pointsA(4;10) ,B(2;5) ,M(3;10) etN(2;9). L'objectif du probleme est de relier les pointsOetAa l'aide de deux courbes de BezierC1etC2qui se raccordent enB. C

1est la courbe de Bezier denie a partir des points de denitionA,M,N,B.

C

2est une courbe de Bezier reliantOetB, ayant enBune tangente parallele a l'axe des ordonnees et en

Oune tangente qui a pour equationy=x

a)Justier que la tangente enAaC1est parallele a l'axe des abscisses. b)Justier que les courbesC1etC2qui satisfont aux conditions donnees admettent bien la m^eme tangente au pointB.

Trace deC1

c)On considere la courbe denie par :x(t) =t33t+ 4 y(t) =2t33t2+ 10pourt2[0;1] Etudier les variations des deux fonctions et resumer les resultats dans un tableau. d)Montrer que la courbe ainsi denie passe par les pointsAetBet preciser les tangentes en ces points. On admettra que cette courbe est la courbe de BezierC1associee aux points de denitionA,M,N,B. e)TracerC1. La representation graphique sera la plus precise possible.

Trace deC2

La courbeC2satisfait aux conditions de l'introduction et est contr^olee par les trois pointsO,TetB f)Caracteriser geometriquement le pointT, et determiner ses coordonnees. g)Construire les pointsM1etM2deC2qui correspondent at= 0;25 ett= 0;5 et donner l'allure de la courbeC2.2) Courbe de Bezier denie par points et polyn^omes de Bernstein Par denition,netant un entier etkun entier inferieur ou egal an, on appelle fonctions polyn^omes de Bernstein de degren, les fonctionsBk;ndenies sur [0;1] par : B k;n(t) =Ckntk(1t)nk a)Donner les expressions de ces polyn^omes lorsquen= 4 sous forme de produit de polyn^omes du premier degre, puis sous forme developpee et ordonnee. b)Resoudre chacune des equationsBk;4(t) = 0 pour 06k64.

Dans le plan muni d'un repere orthonormal

O;!i ;!j

, on considere les points de contr^ole :P0(3;0) , P

1(0;1) ,P2(1;0) ,P3(0;1) ,P4(3;0) et la courbeCensemble des pointsM(x;y) tels que :

OM(t) =4X

k=0B k;4(t)!OPk On prendra pour unite graphique 3 cm sur chaque axe pour le trace .| }~1 / 2LATEX2" Courbes de BezierF-IRIS2-06.texc)Soit les fonctionsfetgdenies pour pour 06k64 par : f(t) = 12t212t+ 3 g(t) = 8t312t2+ 4t Verier qu'une representation parametrique deCest :x=f(t) y=g(t) d)Etudier les variations des fonctionsfetg, et resumer les etudes dans un tableau commun. e)Montrer que les vecteurs!P0P1et!P3P4sont des vecteurs directeurs des tangentes a la courbe aux points correspondants aux valeurs 0 et 1 du parametret. f)Construire la courbe dans le repere orthonormal

O;!i ;!j

, en precisant les points ou la tangente

est parallele a l'un des axes du repere.3) Courbe de Bezier denie point par point avec les barycentres

Le plan est muni d'un repere orthonormal

O;!i ;!j

(unite graphique 2 cm) On considere la courbe de BezierCde points de denition : P

0(1;1);P1(2;5);P2(5;2)

Pour tout reelttel que 06k61, on noteG1(t) le barycentre des points ponderes (P0;1t) et (P1;t) , etG2(t) le barycentre des points ponderes (P1;1t) et (P2;t).

On rappelle que le barycentreM(t) des deux points ponderes (G1(t);1t) et (G2(t);t) est un point de la

courbeCet que la tangente a cette courbe au pointM(t) est la droite (G1(t)G2(t)). a)Placer les pointsG1(t) ,G2(t) etM(t) sur une m^eme gure pour les valeurs suivantes det: t= 0;t=14 ;t=13 ;t=12 ;t=23 ;t=34 ;t= 1 b)En deduire l'allure de la courbeC. On rappelle que la courbe de Bezier a pour representation parametrique :

OM(t) =2X

k=0C k2tk(1t)2k!OPkavec 06k61 c)Determiner les coordonneesx=f(t) ety=g(t) du pointM(t). d) Etudier les variations des fonctionsfetg, et resumer les etudes dans un tableau commun. e)Quelle information supplementaire apporte le tableau de variation? f)Tracer la courbeC.| }~2 / 2LATEX2" Courbes de BezierF-IRIS2-06.texCourbes de Bezier (Solutions)

1) Forme realisee par la jonction de deux arcs de courbes de Bezier :

A(4;10) ,B(2;5) ,M(3;10) etN(2;9)

C

1est la courbe de Bezier denie a partir des points de denitionA,M,N,B.

C

2est une courbe de Bezier reliantOetB, ayant enBune tangente parallele a l'axe des ordonnees et en

Oune tangente qui a pour equationy=x

a)La tangente enAaC1est le vecteur!AMde coordonnees (1;0) qui est donc parallele a l'axe des abscisses. b)La tangente enBaC1est le vecteur!BNde coordonnees (0;4) qui est donc parallele a l'axe des ordonnees comme la tangente enBaC2.

Trace deC1

c)C1:x(t) =t33t+ 4 y(t) =2t33t2+ 10pourt2[0;1]x0(t) = 3t23 = 3(t1)(t+ 1) y

0(t) =6t26t=6t(t+ 1)t0 1

x(t)4 2x

0(t)30y

0(t)0 12y(t)10#5y

0x 0$ lquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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