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2Table des mati`eres
1 Quelques rappels sur les graphes1
1.1 Initiation `a la th´eorie des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Niveaux des sommets d'un graphe sans circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.2 Graphes valu´es et chemins critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.2.1 Valuations d'un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.2.2 Longueur d'un chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.2.3 Chemins minimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.2.4 Chemins maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191.2.5 Int´erˆet d'une telle recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201.3 Exercices r´ecapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212 Problemes d'ordonnancement25
2.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.2 Notions de projet, tˆache et ordonnancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.2.1 Notion de projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.2.2 Notion de tˆache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.3 M´ethode d'ordonnancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262.4
´Etablissement d'un ordonnancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262.5 D´etermination du chemin critique et ´enum´eration des tˆaches critiques . . . . . . . . . . . . .
262.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263 La methode MPM29
3.1 Le graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293.1.1 El´ements du graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293.1.2 Contraintes potentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293.1.3 Exercice corrig´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303.1.4 Tˆaches parall`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313.1.5 Op´erations d´ependantes et ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313.1.6 Op´erations compos´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323.1.7 Conditions limites de d´emarrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323.2 Exercice synth´etique corrig´e : construction d'un pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333.3 Date au plus tˆot d'une tˆachei, ordonnancement minimum ou au plus tˆot . . . . . . . . . . .
363.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.3.2 D´etermination des dates au plus tˆot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.3.3 Chemins critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.4 Date au plus tard de d´ebut d'une tˆachei, ordonnancement limite (ou au plus tard) . . . . . .
373.4.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373.4.2 Recherche de l'ordonnancement au plus tard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383.5 Marges d'une tˆachei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393.5.1 Marge totalemT(i) de la tˆachei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393.5.2 Marge libremL(i) d'une tˆachei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39I
IITABLE DES MATIERES
3.5.3 Marge certainemC(i) d'une tˆachei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393.5.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403.6 M´ethode MPM pr´esent´ee sous forme de tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413.6.1 Ordonnancement au plus tˆot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413.6.2 Ordonnancement au plus tard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444 La methode PERT53
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
534.2 Difficult´es de construction du graphe PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
534.3 Calcul de l'ordonnancement par la m´ethode PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
544.3.1 Calcul de l'ordonnancement au plus tˆot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
554.3.2 Calcul de l'ordonnancement au plus tard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
554.3.3 Calcul du chemin critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
564.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
575 Ordonnancement en ateliers specialises - Diagrammes de Gantt61
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
615.2 Ordonnancement sur une machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
615.2.1 Le diagramme de Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
615.2.2 La r`egle T.O.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
625.3 Ordonnancement avec deux centres de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
635.4 Ordonnancement sur trois machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
645.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
666 Reduction de la duree d'un projet71
6.1 Pr´esentation de la m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
716.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
747 Optimisation des
ux777.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
777.1.1 R´eseau de circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
777.1.2 Graphe associ´e `a un r´eseau de circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
777.1.3 Graphe canonique associ´e `a un r´eseau de circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
807.1.4 Flot sur un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
817.2 Recherche d'un flot maximal dans un r´eseau avec capacit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
827.2.1 La coupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
827.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
837.2.3
´Etude th´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
847.2.4 Flot complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
887.3 Algorithme de Ford-Fulkerson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
887.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
887.3.2 Enonc´e de l'algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
897.3.3 Suite de l'algorithme : Marquage des sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
927.3.4 Suite de l'algorithme : Modification des flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
947.3.5 Recherche `a partir du marquage d'une coupe de capacit´e minimale . . . . . . . . . . .
957.4 Exercices r´ecapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1018 La programmation lineaire109
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1098.2 Mod´elisation d'un programme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1098.2.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1108.2.2 Formule g´en´erale d'un programme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1138.3 M´ethode graphique : probl`eme `a deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1148.3.1 R´egionnement du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114TABLE DES MATI
ERESIII
8.3.2 Les ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1158.3.3 R´esolution de syst`emes d'in´equations - Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1168.3.4 R´esolution de programmes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1208.3.5 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1268.3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1268.4 La m´ethode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1308.4.1 Programme lin´eaire standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1318.4.2 L'algorithme du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1328.4.3 D´etermination d'une solution de base admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1578.4.4 Utilisation de la m´ethode du simplexe lorsque la solution optimale n'existe pas . . . .
1598.4.5 Utilisation de la m´ethode du simplexe dans un probl`eme de minimisation . . . . . . .
1608.4.6 Exercices r´ecapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161IVTABLE DES MATIERES
Chapitre 1
Quelques rappels sur les graphes
1.1 Initiation `a la th´eorie des graphes
1.1.1 Vocabulaire
(a) Produit cartesien. Carre cartesien On appelleproduit cart´esiendeEparF, l'ensemble not´eE×F={(x,y)/x∈E, y∈F}
On appellecarr´e cart´esiendeE, l'ensemble not´eE×E=E2={(x,y)/x∈E, y∈E}
(b) Relation deEdansF On appellerelationRdeEdansFtoute correspondance qui `a certains ´el´ements deEassocie certains ´el´ements deF. "xest en relation avecy" (x∈E,y∈F) est not´e xRy L'ensemble des couples (x,y) deE×Ftels quexRyest appel´egraphede la relation. On noteG={(x,y)∈E×F/xRy}
On remarque queG⊂E×F.
SoitRune relation deEdansF, larelation r´eciproqueR-1est une relation deFdansEd´efinie par xRy⇔yR-1x (c) Relation binaireDenition 1.1.1
Une relation binaired´efinie surEest une relation deEdansEqui est dite : r´eflexivesi : ∀x∈E,xRx sym´etriquesi : ∀x∈E,∀y∈E, xRy⇒yRx transitivesi : 12CHAPITRE 1. QUELQUES RAPPELS SUR LES GRAPHES
(d) Caracterisation de la relation binaireUne relation binaire est caract´eris´ee
1. par songrapheExemple 1.1.1
SoitE={x1,x2,x3,x4,x5}. On se donne
2. par sarepr´esentation sagittale Figure1.1 - Repr´esentation sagittale du graphe 3. par sarepr´esentation cart´esienne XXXXXXXXXXXd´epartarriv´ee
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 4. par samatrice bool´eenne XXXXXXXXXXXd´epartarriv´ee
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 1 1 0 0 1 x 2 1 0 1 0 0 x 3 0 0 0 0 0 x 4 0 0 1 0 1 x 5 0 0 1 0 0 5. par sondictionnaire des sommets (a) dessuivantsou dessuccesseurs1.1. INITIATION
A LA THEORIE DES GRAPHES3
x S(x) x 1 x1,x2,x5
x 2 x 1,x3 x 3 x 4 x 3,x5 x 5 x 3 Dans le cas o`uxRy,yest le suivant ou le successeur dex. (b) despr´ec´edents x P(x) x 1 x 1,x2 x 2 x 1 x 3 x2,x4,x5
x 4 x 5 x 1,x4Dans le cas o`uxRy,xest le pr´ec´edent dey.
Remarque 1.1.1
La relationR-1est d´efinie par le graphe
G En effet,xRy⇔yR-1x. Elle est ´egalement d´efinie par sa matrice bool´eenne XXXXXXXXXXXd´epartarriv´ee
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 1 1 0 0 0 x 2 1 0 0 0 0 x 3 0 1 0 1 1 x 4 0 0 0 0 0 x 5 1 0 0 1 0Remarque 1.1.2
Les matrices deRetR-1ont leurs termes sym´etriques par rapport `a la diagonale principale. (e) Vocabulaire particulier a la theorie des graphes SoitXun ensemble de cardinaln, ensemble de points appel´essommetstel queX={A1,A2,...,An}
etRune relation binaire d´efinie surX. (a)Cette relation binaire est caract´eris´ee par son graphe, sa relation sagittale, sa repr´esentation
cart´esienne, sa matrice bool´eenne, le dictionnaire des suivants ou des pr´ec´edents. On note
G= (X,R)
(b) On appelleboucletout couple (Ap,Ap) du graphe donc avecApRAp.4CHAPITRE 1. QUELQUES RAPPELS SUR LES GRAPHES
Figure1.2 - Une boucle
Figure1.3 - Un arc
(c) On appellearctout couple de points distincts du graphe donc tout couple (Ap,Aq) avecAp̸=Aq etApRAq. (d) On appellearˆetetoute partie{Ap,Aq}avecAp̸=AqetApRAqouAqRAp. ouFigure1.4 - Une arˆete
(e) On appelle arcsadjacentsdeux arcs (Ap,Aq), (Aq,Ar) avecApRAqetAqRAr. Les sommetsAp,quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] exercices corrigés physique chimie terminale s
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