Séries numériques PDF diverge. Séries entières.

Séries numériques

Exercice 11. Etudier la convergence de la série numérique de terme général : 1. ( ) . 2. .

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques

Montrer par comparaison avec une intégrale

Exercices corriges sur Series Numeriques

2.6 Exercices corrigés. Exercice 1. On considère la progression géométrique de raison q Etudier la convergence des séries numériques suivantes.

Séries de fonctions

Exercice 3. Etudier la convergence simple et la convergence normale de la série de fonction dans les cas suivants : 1. ( ).

Séries numériques

diverge. Séries entières. Exercice 3. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes. (1) ?.

Exercices corrigés séries numériques

Exercices corrigés sur les séries séries numériques : séries entières séries de Fourier

Exercices corrigés sur les séries entières

Exercices corrigés sur les séries entières. 1 Enoncés. Exercice 1 Déterminer le rayon de convergence des séries entières. ? anzn suivantes :.

Séries entières

Séries entières. Exercice 1. Soit. ?. Une série entière. On suppose qu'elle diverge pour et qu'elle converge pour . Quel est son rayon de convergence ?

Chapitre 3 — séries numériques — exercices corrigés page 1

La série de terme général. (?1)n n converge par le théor`eme des séries alternées. Par somme la série de terme général Rn converge. Exercice 15. (**) Étudier

Chapitre 1 : Séries numériques Exercice 1.1. Exercice 1.2. Exercice

Exercice 1.1. 1. Après avoir décomposé la fraction rationnelle. 1 x(x + 1). décider

Aix-Marseille Université Séries et applications

Anneé Universitaire 2016-2017 L2 SPIExercices pour réviser : séries, séries entières, séries de Fourier

Séries numériques

Exercice 1.

Déterminer la nature des séries suivantes

(1) n≥1n+ 1n 3(2)? n≥1cos(n)n 2(3)? n≥1(n+ 3)sin(n)n(n+ 1)2 (4) n≥1n+ 5n!(n+ 4)(5)? n≥1n

5n!(6)?

n≥1(n+ 2)5n! (7) n≥1ln(n)n 3(8)? n≥12-cos(n)⎷n (9)? n≥1(e-n+ 1) (10) n≥111 + 2 n(11)? n≥11n tan?1n (12)? n≥1ln? ????cos(2n (13) n≥12 -n3 n+ 2(14)? n≥11log(n2+n+ 1)(15)? n≥1(ln(n))-n

Correction

1. On a une série à termes p ositifs.Un équiv alentdu terme général est n+1n

3≂nn

3=1n 2.

Or la série?

n≥11n

2est une série de Riemann convergente car son paramètreα= 2>

1. Donc d"après le critère par équivalent?

n≥1n+ 1n

3converge.

2. Le terme général de cette série n"est plus toujours p ositif,mais on p eutétudier la convergence absolue. Or ?????cos(n)n 2? 2.

La série

n≥11n

2est une série de Riemann convergente car son paramètreα= 2>1.

Donc d"après le critère par comparaison

n≥1cos(n)n

2est absolument convergente

donc convergente. 3. de même que préc edemmento nétudie l"absolue con vergencede la série. ?????(n+ 3)sin(n)n(n+ 1)2? Or

?n+3n(n+1)2est une série à termes positifs et son terme général vérifien+3n(n+1)2≂

nn.n 2=1n

2Or la série?

n≥11n

2est une série de Riemann convergente car son paramètre

α= 2>1. Donc d"après le critère par équivalent?n+3n(n+1)2converge. Par le critère par comparaison, du fait que la série de terme général n+3n(n+1)2converge, n≥1(n+ 3)sin(n)n(n+ 1)2converge absolument, donc converge. 4. On a une série à terme p ositif.Du fait de la présence de la factorielle, on c hoisit d"appliquer le critère de d"Alembert pour les séries numériques. On noteun= n+5n!(n+4)et on calcule u n+1u n=n+ 1 + 5(n+ 1)!(n+ 1 + 4)×n!(n+ 4)n+ 5 (n+ 6)(n+ 4)(n+ 1)(n+ 5)2

On voit que

un+1u n=n2(1 +6n )(1 +4n )n

3(1 +1n

)(1 +5n )2=(1 +6n )(1 +4n )n(1 +1n )(1 +5n )2. Doncun+1u n→0<1.

Donc d"après le critère de d"Alembert

?unconverge. 5. On a une série à terme p ositif.Du fait de la présence de la factorielle, on c hoisit d"appliquer le critère de d"Alembert pour les séries numériques. On noteun=n5n!et on calcule u n+1u n=(n+ 1)5(n+ 1)!n!n

5=(n+ 1)5n

5(n+ 1)

(1 +1n )5n+ 1

On voit que

un+1u n=→0<1. Donc d"après le critère de d"Alembert?unconverge. 6. On applique une nouv ellefois le critère de d"Alem berten p osantun=(n+2)5n!on calcule u n+1u n=(n+ 1 + 2)5(n+ 1)!n!(n+ 2)5=(n+ 3)5(n+ 2)51n+ 1

Or comme précédemment on a

(n+3)5(n+2)5→1et doncun+1u n→0<1. Par le le critère de d"Alembert pour les séries numériques ?unconverge. 7. 3=1n

2. Or la série?

n≥11n

2est une

série de Riemann de paramètreα= 2>1, donc elle converge.

Donc par le critère par comparaison

n≥1ln(n)n

3converge.2

8.On a

1⎷n

On a donc le terme général de la série qu"on étudie qui est positif d"une part.

D"autre part

n≥11⎷n est une série de Riemann de paramètreα=12 <1, donc elle diverge. Donc par le critère par comparaison des séries à terme positif la série n≥12-cos(n)⎷n diverge. 9.

P ourn→+∞e-n+ 1→1care-n→0.

Donc le terme général de cette série ne tend pas vers0. Donc la série diverge. 10. n= 2-n. La série? n≥02-nest une série géométrique de paramètrer= 2-1=12 <1, donc elle converge. Par le critère par comparaison des séries à terme général positif,? n≥011+2 nconverge. 11. p ourxau voisinage de0on atan(x)≂x, donctan?1n ?≂1n et donc1n tan?1n ?≂1n 2.

Or la série

n≥11n

2est une série de Riemann de paramètreα= 2>1, donc elle

converge. Par le critère par équivalent des séries à terme général positif,? n≥11n tan?1n ?converge. 12. p ourxproche de0on acos(x)-1≂-x22 et on a aussiln(f(x)+1)≂f(x)sif(x) est proche de0.

Or on peut écrireln???cos(2n

)???= ln???cos(2n )-1 + 1???. Comme2n →0on a donc cos( 2n )-1≂-2n 2.

Pournassez grandcos(2n

)-1 + 1≂1-2n

2>0, donc on peut enlever les valeurs

absolues.

Donc vu que

-2n

2→0on a

ln ????cos(2n )????= ln????cos(2n )-1 + 1???? ≂cos(2n )-1≂ -2n 2

Or la série-2?

n≥11n

2est une série de Riemann de paramètreα= 2>1, donc elle

converge.3 Par le critère par équivalent des séries à terme général de signe constant (ici le terme général est négatif),? n≥1ln???cos(2n )-1 + 1???converge. 13.

On p eutma jorer

2-n3 n+2<2-n3 n= 2-n3-n= 6-n. Or la série? n≥06-nest une série géométrique de paramètrer= 6-1=16 <1. Donc elle converge. Par le critère par comparaison des séries à terme général positif la série n≥02 -n3 n+1 converge. 14. lim n→+∞ln(n2+n+1)n = 0car la puissance denl"emporte surln.

Donc on a

1ln(n2+n+1)≥1n

Or n≥11n diverge car c"est une série de Riemann de paramètreα= 1, donc par le critère par comparaison des séries à terme général positif, n≥11ln(n2+n+1)diverge. 15. On utilise ici le critère de Cauc hy.En effet en p osantun= (ln(n)-non au1/nn= ln(n)-1→0. Donc le critère de Cauchy pour les séries à terme général positif donne que n≥2ln(n)-n converge.

Exercice 2.

On fixeα?R.

Indiquer en fonction deαsi les séries suivantes convergent absolument en distinguant selon les valeurs du paramètreα. (1) n≥02-neinα(2)? n≥12 nn

2sin2n(α)(3)?

n≥1n1 +n3α (4) n≥1en(α-n)(5)? n≥1ne-nα(6)? n≥1α 2+nn 2 1. On regarde la con vergenceabsolue de la sér ie.On a |2-neinα|= 2-n. C"est le terme général d"une série géométrique de paramètrer= 2-1=12 <1, et donc elle converge. Donc? n≥02-neinαconverge absolument. Donc n≥02-neinαconverge pour toute valeur deα. 2. Si sin(α) = 0alors le terme général de la série n"est pas défini, donc siα=kπ pourk?Zle terme général n"est pas défini. D"autre part appliquons maintenant le critère de Cauchy et calculons en posant u n=2nn

2sin2n(α)>0la limite deu1/nn.4

On au1/nn=2n

2/nsin2(α). Orn2/n=e2ln(n)n

→e0= 1.

Donclimn→+∞u1/nn=2sin

2(α)≥2>1.

Par le critère de Cauchy la série diverge donc pour toute valeur deα. 3. P ourα= 0on a le terme général qui vautn1+n3α=n→+∞. Donc le terme général ne tend pas vers0et la série diverge.

P ourα?= 0on an1+n3α≂nαn

3=1α

1n 2.

Or la série

1α n≥11n

2est une série du type Riemann de paramètreα= 2>1,

donc elle converge. Donc par le critère par équivalent la série n≥1n1+n3αconverge. 4. On applique le critère de Cauc hysur le terme génér alde cette série en no tant u n=en(α-n). On obtientu1/nn=eα-n→0carα-n→ -∞.

Donc par le critère de Cauchy

?unconverge quelle que soit la valeur deα. 5. De même on applique le critère de Cauc hycette fois sur un=ne-nα. On au1/nn= n

1/ne-α. Or vu quen1/n=eln(n)n

→e0= 1on au1/nn→e-α.

On a donc

P ourα <0alorse-α>1et la série diverge d"après le critère de Cauchy. P ourα >0alorse-α>1et la série converge d"après le critère de Cauchy. P ourα= 0alorse-α= 1et on ne peut pas conclure avec le critère de Cauchy. Cependant on remarque que dans ce casun=ne-nα=n→+∞, donc la série diverge vu que son terme général ne tend pas vers0. 6.

On a l"é quivalent

α2+nn

2≂nn

2=1n . Or la série? n≥11n diverge car c"est une série de

Riemann de paramètreα= 1.

Donc par le critère par équivalent

n≥1α 2+nn

2diverge.

Séries entières

Exercice 3.

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes (1) n≥1z nnquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Séries numériques

Exercice 1.

Déterminer la nature des séries suivantes

5n!(6)?

Correction

3≂nn

Or la série?

2est une série de Riemann convergente car son paramètreα= 2>

1. Donc d"après le critère par équivalent?

3converge.

La série

2est une série de Riemann convergente car son paramètreα= 2>1.

Donc d"après le critère par comparaison

2est absolument convergente

2Or la série?

2est une série de Riemann convergente car son paramètre

On voit que

3(1 +1n

Donc d"après le critère de d"Alembert

5=(n+ 1)5n

5(n+ 1)

On voit que

Or comme précédemment on a

2. Or la série?

2est une

Donc par le critère par comparaison

3converge.2

8.On a

1⎷n

D"autre part

P ourn→+∞e-n+ 1→1care-n→0.

Or la série

2est une série de Riemann de paramètreα= 2>1, donc elle

Or on peut écrireln???cos(2n

Pournassez grandcos(2n

2>0, donc on peut enlever les valeurs

Donc vu que

2→0on a

Or la série-2?

2est une série de Riemann de paramètreα= 2>1, donc elle

On p eutma jorer

Donc on a

1ln(n2+n+1)≥1n

Exercice 2.

On fixeα?R.

2sin2n(α)(3)?

2sin2n(α)>0la limite deu1/nn.4

On au1/nn=2n

2/nsin2(α). Orn2/n=e2ln(n)n

Donclimn→+∞u1/nn=2sin

2(α)≥2>1.

P ourα?= 0on an1+n3α≂nαn

3=1α

Or la série

2est une série du type Riemann de paramètreα= 2>1,

Donc par le critère de Cauchy

1/ne-α. Or vu quen1/n=eln(n)n

On a donc

On a l"é quivalent

α2+nn

2≂nn

Riemann de paramètreα= 1.

Donc par le critère par équivalent

2diverge.

Séries entières

Exercice 3.