S Amérique du Sud novembre 2016

On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée. ABCD et de triangles équilatéraux représentés ci-dessous.

Sujet et corrigé du bac en mathématiques série S

https://www.freemaths.fr/annales-mathematiques/bac-s-mathematiques-amerique-du-nord-2016-obligatoire-corrige-exercice-4-geometrie-dans-l-espace.pdf

Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 1er juin 2016

1 juin 2016 et B. L'entreprise considère qu'une bille peut être vendue ... On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base ...

S Amérique du Nord juin 2016

On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangle équilatérauxreprésentée ci-dessous.

1. SABCD est une pyramide régulière de sommet S qui repose sur

EXERCICE 5. On considère un cône de 4 cm de diamètre et de hauteur 5 cm. 1. Tracer une représentation en perspective cavalière de ce cône.

x x x x

4 Un tétraèdre régulier est une pyramide dont 5 SABCD est une pyramide à base rectangulaire ... d'une pyramide de sommet S à base triangulaire.

On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont les faces SA = SB donc le triangle SAC est isocèle de sommet principal S.

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59 On considère qu'un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 10 Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD.

Code : Thème : Géométrie de lespace LECON 14 : PYRAMIDES ET

L'unité de longueur est le centimètre. SABCD est une pyramide régulière de sommet S et de base le carré ABCD de centre O. On donne :

GÉOMÉTRIE DANS LESPACE ET GeoGebra - INTRODUCTION ET

6. Construire la section de la sphère par le plan passant par H. Quelle On considère une pyramide régulière SABCD de sommet S à base rectangulaire telle.

Pyramide – Exercices corrigés – 4ème – Géométrie - Pass Education

La pyramide SABCD est régulière donc SA=SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=?2 [SO] est la hauteur de la pyramide donc le triangle SOB est rectangle en O En utilisant le théorème de pythagore dans le triangle SOB : SO2+OB2=SB Or OB = 1 et SB=?2 SO2+12=(?2)2=2?SO2=2?1=1 donc SO = 1

Chapitre 12 Pyramide - Collège Clotilde Vautier

pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier (par exemple un Une triangle équilatéral ou un carré) et dont les faces latérales sont des triangles isocèles superposables Remarques : Une pyramide régulière à base triangulaire slappelle un tétraèdre

S Amérique du Sud novembre 2016 - Meilleur en Maths

On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont les faces latérales sont des trian-gles équilatéraux) représentée ci-dessous Les diagonales du carré ABCD mesurent 24 cm On note O le centre du carré ABCD On admettra OS = OA 1 Sans utiliser de repère démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan

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On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous Le point O est le centre de la base ABCD avec OB = 1 On rappelle que le segment (SOI est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur 1 Justifier que le repère

Comment faire une pyramide régulière ?

1) Marquer le centre de gravité O du carré ABCD. 2) Placer alors le sommet S de la pyramide puis terminer la représentation en perspective de cette pyramide. Compléter les dessins en repassant en trait continu les arêtes visibles. SABCD est une pyramide régulière. 1) Quelle est la nature de la base ABCD ? 2) Quelle est la nature du triangle ABC ?

Comment représenter la base d'une pyramide ?

SABCD est une pyramide régulière de sommet S qui repose sur sa base telle que AB = 3 cm et la hauteur [SO] mesure 2 cm. On a déjà représenté en perspective la base ABCD de cette pyramide : 1) Marquer le centre de gravité O du carré ABCD. 2) Placer alors le sommet S de la pyramide puis terminer la représentation en perspective de cette pyramide.

Quel est le sommet d’une pyramide?

Dans une pyramide, il y a plusieurs sommets d’intersection des faces latérales, ce dernier est appelé le sommet de la pyramide. Exemple : On donne une pyramide ci

Comment représenter une pyramide en perspective ?

On a déjà représenté en perspective la base ABCD de cette pyramide : 1) Marquer le centre de gravité O du carré ABCD. 2) Placer alors le sommet S de la pyramide puis terminer la représentation en perspective de cette pyramide. Compléter les dessins en repassant en trait continu les arêtes visibles. SABCD est une pyramide régulière.

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Exercice 4 4 points

Partie A : un calcul de volume sans repère

On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont les faces latérales sont des trian-

gles équilatéraux) représentée ci-dessous. Les diagonales du carré ABCD mesurent 24 cm. On note O le centre du carré ABCD.

On admettra OS = OA.

1. Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).

2. En déduire le volume, en cm3, de la pyramide SABCD.

Partie B : dans un repère

On considère le repère orthonormé (0;⃗OA;⃗OB;⃗OS).

1. On note P et Q les milieux respectifs des segments (AS) et (BS).

1.a. Justifier que

⃗n(1;1;-3) est un vecteur normal au plan (PQC).

1.b. En déduire une équation cartésienne du plan (PQC)

2. Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).

2.a. Donner une représentation paramétrique de la droite (SH).

2.b. Calculer les coordonnées du point H.

2.c. Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur,est 2

3. On admettra que l'aire du quadrilatère PQCD, en unité d'aire, est égale à

8. Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume.

Partie C : partage équitable

Pour l'anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme

de pyramide équilatère dont les diagonales du carré de base mesurent 24 cm.

Elle s'apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet.

C'est alors qu'Anne arrête son geste et lui propose une découpe plus originale :

" Place la lame sur le milieu d'une arête , parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le

côté opposé ».

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Fanny a des doutes, les parts ne lui sembient pas équitables.

Est-ce le cas ? Justifier la réponse.

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CORRECTION

Partie A : calcul d'un volume sans repère

1. SA = SB donc le triangle SAC est isocèle de sommet principal S.

O est lemilieu de [AC] donc (SO) est la médiane du triangle SAC issue de S et (SO) est aussi la hauteur is-

sue de S.

Conséquence

Les droites (SO) et (AC) sont orthogonales.

On démontre de même que (SO) et (BD) sont orthogonales.

(SO) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (ABC) donc la droite (SO) est orthogonale au plan

(ABC).

Conséquence

SO est la hauteur de la pyramide SABCD issue de S.

2. Le volume, en cm3, de la pyramide SABCD est 1

3 b x h

h est la hauteur, en cm, de la hauteur de la pyramide et b est l'aire, en cm2, de la base. h=SO=OA=24

2=12cm L'aire, en cm2 du carré ABCD est égale à

BD×AO=24×12=288cm2.

Le volume, en cm3, de la pyramide SABCD est :

3×288×12=288×4= 1152 cm3

Partie B : dans un repère

(O; ⃗OA;⃗OB;⃗OS) est un repère orthonormé de l'espace. O(0;0;0) ; A(1;0;0) ; B(0;1;0) ; C(-1;0;0);D(0;-1;0) et S(0;0;1)

1.a. P est le milieu de [AS] donc P(0,5;0;0,5).

Q est le milieu de [BS] donc Q(0;0,5;0,5).

C(-1;0;0)

⃗PQ (-0,5 0,5 0) ⃗PC (-1,5 0 -0,5) ⃗n(1 1 -3) ⃗n.

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⃗n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (PQC) donc ⃗n est unvecteur normal au plan

(PQC).

1.b. M(x;y;z) appartient au plan (PQC)

[⇔ ⃗PM.⃗n=0 ⃗PM (x-0,5 y-0 z-0,5) ⃗n(1 1 -3) (x-0,5)×1+y×1+(z-0,5)×(-3)=0 ⇔ x-0,5+y-3z+1,5=0 (PQC) : x+y-3z+1=0

2.a. (SH) est la droite de vecteur directeur ⃗n et passant par S.

S(0;0;1) ⃗n(1;1;-3)

(SH) : {x=t y=t z=-3t+1 t décrit R

2.b. Pour déterminer les coordonnées du point H, on résout le système :

{x+y-3z+1=0 x=t y=t z=-3t+1 donc t+t-3(-3t+1)+1=0 ⇔ 11t-2=0 ⇔ t=2 11

On obtient

x=y=2

11 et z=-6

11+1=5

11 H

(2 11;2 11;-6 11) ⃗SH (2 11 2 11 -6

11) SH2=4

121+4

121+36

121=44

121=4×11

121

11 (en unité de longueur)

3. On admet que l'aire, en unité d'aire,du quadrilatère PQCD est

8. Le volume, en unité de volume, de la pyramide SPQCD est 1

11=8×11

24×11=

4Partie C : partage équitable

L'unité de longueur est OA qui est égale à 12 cm. L'unité de volume est donc égale à 123=1728cm3. Le volume, en cm3, de la pyramide SPQCD est égal à 1278

4= 432 cm3.

La moitié du volume de la pyramide SABCD, en cm3 est égale à 1152

2= 576 cm3.

432 est différent de 576 donc le partage n'est pas équitable et Fanny a raison d'avoir des doutes.

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Comment faire une pyramide régulière ?

Comment représenter la base d'une pyramide ?

Quel est le sommet d’une pyramide?

Comment représenter une pyramide en perspective ?

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Partie A : un calcul de volume sans repère

On admettra OS = OA.

1. Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).

2. En déduire le volume, en cm3, de la pyramide SABCD.

Partie B : dans un repère

1. On note P et Q les milieux respectifs des segments (AS) et (BS).

1.a. Justifier que

1.b. En déduire une équation cartésienne du plan (PQC)

2. Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).

2.a. Donner une représentation paramétrique de la droite (SH).

2.b. Calculer les coordonnées du point H.

2.c. Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur,est 2

3. On admettra que l'aire du quadrilatère PQCD, en unité d'aire, est égale à

Partie C : partage équitable

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Est-ce le cas ? Justifier la réponse.

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CORRECTION

Partie A : calcul d'un volume sans repère

1. SA = SB donc le triangle SAC est isocèle de sommet principal S.

Conséquence

Les droites (SO) et (AC) sont orthogonales.

Conséquence

2. Le volume, en cm3, de la pyramide SABCD est 1

3 b x h

2=12cm L'aire, en cm2 du carré ABCD est égale à

BD×AO=24×12=288cm2.

Le volume, en cm3, de la pyramide SABCD est :

3×288×12=288×4= 1152 cm3

Partie B : dans un repère

1.a. P est le milieu de [AS] donc P(0,5;0;0,5).

Q est le milieu de [BS] donc Q(0;0,5;0,5).

C(-1;0;0)

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1.b. M(x;y;z) appartient au plan (PQC)

2.a. (SH) est la droite de vecteur directeur ⃗n et passant par S.

S(0;0;1) ⃗n(1;1;-3)

2.b. Pour déterminer les coordonnées du point H, on résout le système :

On obtient

11 et z=-6

11+1=5

11 H

11) SH2=4

121+36

121=44

121=4×11

11 (en unité de longueur)

3. On admet que l'aire, en unité d'aire,du quadrilatère PQCD est

11=8×11

24×11=

4Partie C : partage équitable

4= 432 cm3.

2= 576 cm3.

432 est différent de 576 donc le partage n'est pas équitable et Fanny a raison d'avoir des doutes.