(SO) hauteur de la pyramide de base ABCD donc (SO
On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée. ABCD et de triangles équilatéraux représentés ci-dessous.
Sujet et corrigé du bac en mathématiques série S
https://www.freemaths.fr/annales-mathematiques/bac-s-mathematiques-amerique-du-nord-2016-obligatoire-corrige-exercice-4-geometrie-dans-l-espace.pdf
Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 1er juin 2016
1 juin 2016 et B. L'entreprise considère qu'une bille peut être vendue ... On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base ...
S Amérique du Nord juin 2016
On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangle équilatérauxreprésentée ci-dessous.
1. SABCD est une pyramide régulière de sommet S qui repose sur
EXERCICE 5. On considère un cône de 4 cm de diamètre et de hauteur 5 cm. 1. Tracer une représentation en perspective cavalière de ce cône.
x x x x
4 Un tétraèdre régulier est une pyramide dont 5 SABCD est une pyramide à base rectangulaire ... d'une pyramide de sommet S à base triangulaire.
S Amérique du Sud novembre 2016
On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont les faces SA = SB donc le triangle SAC est isocèle de sommet principal S.
Untitled
59 On considère qu'un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 10 Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD.
Code : Thème : Géométrie de lespace LECON 14 : PYRAMIDES ET
L'unité de longueur est le centimètre. SABCD est une pyramide régulière de sommet S et de base le carré ABCD de centre O. On donne :
GÉOMÉTRIE DANS LESPACE ET GeoGebra - INTRODUCTION ET
6. Construire la section de la sphère par le plan passant par H. Quelle On considère une pyramide régulière SABCD de sommet S à base rectangulaire telle.
Pyramide – Exercices corrigés – 4ème – Géométrie - Pass Education
La pyramide SABCD est régulière donc SA=SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=?2 [SO] est la hauteur de la pyramide donc le triangle SOB est rectangle en O En utilisant le théorème de pythagore dans le triangle SOB : SO2+OB2=SB Or OB = 1 et SB=?2 SO2+12=(?2)2=2?SO2=2?1=1 donc SO = 1
Chapitre 12 Pyramide - Collège Clotilde Vautier
pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier (par exemple un Une triangle équilatéral ou un carré) et dont les faces latérales sont des triangles isocèles superposables Remarques : Une pyramide régulière à base triangulaire slappelle un tétraèdre
S Amérique du Sud novembre 2016 - Meilleur en Maths
On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont les faces latérales sont des trian-gles équilatéraux) représentée ci-dessous Les diagonales du carré ABCD mesurent 24 cm On note O le centre du carré ABCD On admettra OS = OA 1 Sans utiliser de repère démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan
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On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous Le point O est le centre de la base ABCD avec OB = 1 On rappelle que le segment (SOI est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur 1 Justifier que le repère
Comment faire une pyramide régulière ?
1) Marquer le centre de gravité O du carré ABCD. 2) Placer alors le sommet S de la pyramide puis terminer la représentation en perspective de cette pyramide. Compléter les dessins en repassant en trait continu les arêtes visibles. SABCD est une pyramide régulière. 1) Quelle est la nature de la base ABCD ? 2) Quelle est la nature du triangle ABC ?
Comment représenter la base d'une pyramide ?
SABCD est une pyramide régulière de sommet S qui repose sur sa base telle que AB = 3 cm et la hauteur [SO] mesure 2 cm. On a déjà représenté en perspective la base ABCD de cette pyramide : 1) Marquer le centre de gravité O du carré ABCD. 2) Placer alors le sommet S de la pyramide puis terminer la représentation en perspective de cette pyramide.
Quel est le sommet d’une pyramide?
Dans une pyramide, il y a plusieurs sommets d’intersection des faces latérales, ce dernier est appelé le sommet de la pyramide. Exemple : On donne une pyramide ci
Comment représenter une pyramide en perspective ?
On a déjà représenté en perspective la base ABCD de cette pyramide : 1) Marquer le centre de gravité O du carré ABCD. 2) Placer alors le sommet S de la pyramide puis terminer la représentation en perspective de cette pyramide. Compléter les dessins en repassant en trait continu les arêtes visibles. SABCD est une pyramide régulière.
EXERCICE16 points
Commun a tous les candidats
Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâceà deux machines de production Aet B. L"entreprise considère qu"une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est
compris entre 0,9 cm et 1,1 cm.Les partiesA, BetCsont indépendantes.
PartieA
Une étude du fonctionnement des machines a permis d"établirles résultats suivants : 96% de la production journalière est vendable. La machine A fournit 60% de la production journalière. La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98%.On choisit une bille au hasard dans la production d"un jour donné. On définit les évènements
suivants : A: "la bille a été fabriquée par la machine A»; B: "la bille a été fabriquée par la machine B»;V: "la bille est vendable».
1.Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.
Solution:On peut construire un arbre pour illustrer la situation :D"après l"énoncé on aP(V)=0,96
P(A)=0,6 etPA(V)=0,98
Puis on complète une partie de
l"arbre les données en bleu sont acquises après la question 2?? A 0,6 ?V0,98 ?V0,02 ?B0,4 ?V->0,3720,93 ?V0,07On chercheP(A∩V)P(A∩V)=P(A)×PA(V)=0,588
2.Justifier queP(B∩V)=0,372 et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable
sachant qu"elle provient de la machine B. Solution:AetBforment une partition de l"univers donc d"après les probabilités to- tales donc on aP(V)=P(A∩V)+P(B∩V)=0,96On en déduit que
P(B∩V)=0,96-P(A∩V)=0,372.
PuisPB(V)=P(B∩V)
P(B)=0,3720,4=0,93.
La probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu"elle provient dela machineB est égale à 0,93.
3.Un technicien affirme que 70% des billes non vendables proviennent de la machine B.
A-t-il raison?
Solution:On cherchePV(B)
PV(B)=P?
B∩
V? P?V? =0,0281-0,96=0,7. Doncle technicien a raisonPartieB
Dans cette partie, on s"intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les ma-
chines A et B.1.Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d"unebille prélevée au hasard dans
la production de la machine B par une variablealéatoireXqui suit une loi normale d"espé- ranceμ=1 et d"écart-typeσ=0,055. Vérifier que la probabilité qu"une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième près.Solution:On cherche
P(0,9?X?1,1)≈0,93. Cette valeur correspond bien à PB(V)2.De la même façon, le diamètre d"une bille prélevée au hasard dans la production de la ma-
μ=1 et d"écart-typeσ?,σ?étant un réel strictement positif. Sachant queP(0,9?Y?1,1)=0,98, déterminer une valeur approchée au millième deσ?.Solution:Y?→N?1 ;σ?2?=?Y-1
σ??→N?0 ; 12?
SoitZ=Y-1
σ?alors 0,9?Y?1,1??-0,1σ??Z?0,1σ?
P(0,9?Y?1,1)=0,98??P?
-0,1σ??Z?0,1σ??
=0,98??P?Z?0,1σ??
=0,99 d"après la calculatrice on trouve 0,1 σ?≈2,326 . On en déduit queσ?≈0,043PartieC
Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléa-toire et équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées,
les billes sont conditionnées en sachets. La quantité produite est suffisamment impor- tante pour que le remplissage d"un sachet puisse êtreassimilé àun tirage successif avec remise de billes dans la production journalière. Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes de couleur noire.1.Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes.
contienne exactement 10 billes noires. On arrondira le résultat à 10-3. Solution:La probabilité qu"une bille tirée au hasard dans la production journa- lière estp=15=0,2 car les 5 couleurs sont équiprobables.
Page 2
On répète 40 fois de manières indépendantes une expérience n"ayant que deux issues : bille noire ou non dont la probabilité du succès estp=0,2. SoitXla variable aléatoire comptant le nombre de billes noires dans le sac alorsX?→B(40 ; 0,2)
On cherche
P(X=10)=?4010?
×0,210×0,830≈0,107
Page 3
b.Dans un sachet de 40 billes, on a compté 12 billes noires. Ce constat permet-il de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes? Solution:On cherche si la fréquence observée appartient à l"intervalle de fluc- tuation asymptotique au seuil de 95% On se trouve bien dans les conditions d"application puisquen=40?30 np=8?5 etn(1-p)=32?5 L"intervalle de fluctuation asymptotique seuil de 95% est I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n?0,2-1,96?
0,16?40; 0,2+1,96?
0,16?100?
≈[0,076 ; 0,324] La fréquence observée de lancers à droite estf=1240=0,3?I,
il n"y a donc pas de raison de douter du réglage de la machine qui teinte les billes.2.Si l"entreprise souhaite que la probabilité d"obtenir au moins une bille noire dans un sa-
chet soit supérieure ou égale à 99%, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour atteindre cet objectif? Solution:Pour un sac contenantnbilles, la probabilité qu"au moins une soit noire estP(X?1)=1-P(X=0)=1-?n
0?×0,20×0,8n=1-0,8n
On doit donc résoudre 1-0,8n?0,99??0,8n?0,01?nln(0,8)?ln(0,01)??n? ln(0,01) ln(0,8) or ln(0,01) ln(0,8)≈20,6 L"entreprise doit donc mettre au minimum 21 billes dans chaque sac pour atteindre l"objectif.Page 4
EXERCICE26 points
Commun à tous les candidats
Un particulier veut faire fabriquer un récu-
pérateur d"eau.Ce récupérateur d"eau est une cuve qui doit
respecter le cahier des charges suivant : elle doit être située à deux mètres desa maison; la profondeur maximale doit être dedeux mètres;elledoitmesurercinqmètresdelong;
Cette cuve est schématisée ci-contre.
2 m5 m
La partie incurvée est modélisée par la courbeCfde la fonctionfsur l"intervalle [2 ; 2e] définie
par : f(x)=xln?x 2? -x+2. LacourbeCfestreprésentée ci-dessous dansunrepèreorthonorméd"unité1metconstitue une vue de profil de la cuve. On considère les points A(2; 2), I(2; 0) et B(2e; 2).1 2 3 4 5 61
2Terrain
CuveTerrain
Cf ??ABT I DPartieA
L"objectif de cette partie est d"évaluer le volume de la cuve.1.Justifier que les points B et I appartiennent à la courbeCfet que l"axe des abscisses est
tangent à la courbeCfau point I.Solution:f(xB)=f(2e)=2e×ln?2e
2? -2e+2=2e-2e+2=2=yBdoncB?Cf f(xI)=f(2)=2×ln?22? -2+2=0=yIdoncI?Cf festdérivablesur[2; 2e]comme produitetsomme defonctionsdérivablessur [2; 2e] f=uv-u+2=?f?=u?v+uv?-u?avec???u(x)=x v(x)=ln?x 2? =??????u ?(x)=1 v ?(x)=1 2 x 2=1x ?x?[2 ; 2e] ,f?(x)=ln?x 2? et on af?(2)=0 donc la tangente àCfest horizontale enIPage 5
L"axe des abscisses est tangent à la courbeCfau pointI.2.On noteTla tangente à la courbeCfau point B, et D le point d"intersection de la droite
Tavec l"axe des abscisses.
a.Déterminer une équation de la droiteTet en déduire les coordonnées de D. Solution:T:y=f?(2e)(x-2e)+f(2e) orf?(2e)=1 etf(2e)=2On a donc
T:y=x+2-2eet on en déduitD(2e-2 ; 0)
b.On appelleSl"aire du domaine délimité par la courbeCf, les droites d"équationsy=2,x=2 etx=2e.
Speut être encadrée par l"aire du triangleABIet celle du trapèzeAIDB. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire?Solution:AABI=1
2×AB×AI=(2e-2)m2
AAIDB=(AB+ID)×AI
2=(4e-6)m2
La longueur de la cuve étant de 5m, on en déduit10e-10?V?20e-30
Autrement ditle volume de la cuve est compris entre 17,183m3et 24,366m33. a.Montrer que, sur l"intervalle [2; 2e], la fonctionGdéfinie par
G(x)=x2
2ln?x2?
-x24 est une primitive de la fonctiongdéfinie parg(x)=xln?x 2? Solution:Gest dérivable sur [2 ; 2e] comme produit et somme de fonctionsdé- rivables sur [2 ; 2e]G=uv-1
2u=?f?=u?v+uv?-12u?avec?????u(x)=x22
v(x)=ln?x 2? ?u ?(x)=x v ?(x)=1 2 x 2=1x ?x?[2 ; 2e] ,G?(x)=xln?x 2? +x22×1x-12x=xln?x2? =g(x). Donc Gest bien une primitive de la fonctiongsur [2 ; 2e] b.En déduire une primitiveFde la fonctionfsur l"intervalle [2; 2e].Solution:f(x)=g(x)-x+2
doncF(x)=G(x)-x22+2x=x22ln?x2?
-3x24+2xest primitive defsur [2 ; 2e]Page 6
c.Déterminer la valeur exacte de l"aireSet en déduire une valeur approchée du volumeVde la cuve au m3près.
Solution:
S=? 2e 2 (2-f(x))dx=?2x-F(x)?
2e2=(4(e)F(2e))-(4-F(2))=(e2)-
(3) =e2-3V=5S≈22m3
PartieB
Pour tout réelxcompris entre 2 et 2e, on note
v(x) le volume d"eau, exprimé en m3, se trou- vant dans la cuve lorsque la hauteur d"eau dans la cuve est égale àf(x).On admet que, pour tout réelxde l"intervalle
[2; 2e], v(x)=5?x22ln?x2?
-2xln?x2? -x24+2x-3? .012345xf(x) 01231.Quel volume d"eau, au m3près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d"eau dans la cuve
est de un mètre?Solution:on cherchex0tel quef(x0)=1
On sait qu"il existe un uniquex0vérifiant cette équation carfest continue et stricte- ment croissante sur [2 ; 2e] à valeurs dans [0 ; 1] donc d"aprèsle théorème des valeurs intermédiaires,x0existe et est unique.Par balayage on ax0≈4,311
v(4,311)≈7m32.On rappelle queVest le volume total de la cuve,fest la fonction définie en début d"exer-
cice etvla fonction définie dans la partie B.On considère l"algorithme
ci-contre.Interpréter le résultat que
cet algorithme permet d"afficher.Variables :aest un réel
best un réelTraitement :aprend la valeur 2
bprend la valeur 2 eTant quev(b)-v(a)>10-3faire :
cprend la valeur (a+b)/2Siv(c) aprend la valeur c Sinon bprend la valeurc Fin Si
Fin Tant que
Sortie : Afficherf(c)
Solution:
L"algorithme permet d"afficher la hauteur d"eau dans la cuvecorrespondant à 10-3m3près à un remplissage à moitié de la capacité totale. Page 7
EXERCICE33 points
Commun à tous les candidats
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct? O ;-→u,-→v?
Onconsidèrelepoint A d"affixe4, lepoint Bd"affixe 4iet les points CetD tels que ABCD est un carré de centre O. Pour tout entier naturel non nuln, on appelleMnle point d"affixezn=(1+i)n. 1.Écrire le nombre 1+i sous forme exponentielle.
Solution:
1+i=?2?
?2 2+i? 2 2?=?2eiπ4
Page 8
2.Montrerqu"ilexiste unentier natureln0,quel"on précisera,telque,pourtoutentiern?n0,
le pointMnest à l"extérieur du carré ABCD. Solution:
La distance maximale entre O et un point
quelconque d"un côté du carré est 4. Un pointMnsort du carré siOMn>4
orOMn=|zn|=?? 2?n OM n>4???? 2?n>4 2?n>??2?4
??n>4 Donc pourn0=5, pour tout entier
n?n0, le pointMnest à l"extérieur du carré ABCD ?O?A? B C D ?M1? M2?M3 M4 M5 M6 uv Page 9
EXERCICE45 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de
triangles équilatéraux représentée ci-dessous. A BS D C OO? II? KK ?LLquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
Fin Si
Fin Tant que
Sortie : Afficherf(c)
Solution:
L"algorithme permet d"afficher la hauteur d"eau dans la cuvecorrespondant à 10-3m3près à un remplissage à moitié de la capacité totale.Page 7
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Commun à tous les candidats
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct?O ;-→u,-→v?
Onconsidèrelepoint A d"affixe4, lepoint Bd"affixe 4iet les points CetD tels que ABCD est un carré de centre O. Pour tout entier naturel non nuln, on appelleMnle point d"affixezn=(1+i)n.1.Écrire le nombre 1+i sous forme exponentielle.
Solution:
1+i=?2?
?2 2+i? 22?=?2eiπ4
Page 8
2.Montrerqu"ilexiste unentier natureln0,quel"on précisera,telque,pourtoutentiern?n0,
le pointMnest à l"extérieur du carré ABCD.Solution:
La distance maximale entre O et un point
quelconque d"un côté du carré est 4.Un pointMnsort du carré siOMn>4
orOMn=|zn|=?? 2?n OM n>4???? 2?n>42?n>??2?4
??n>4Donc pourn0=5, pour tout entier
n?n0, le pointMnest à l"extérieur du carré ABCD ?O?A? B C D ?M1? M2?M3 M4 M5 M6 uvPage 9
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triangles équilatéraux représentée ci-dessous. A BS D C OO? II? KK ?LLquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] qu'est ce qu'un poste client
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