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Leçon 21 Exercices corrigés

l'exercice). Exercice 4 (Loi de Student). Soient X et Y deux variables indépendantes. X de loi N(0

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

i i i i. Page 23. Corrigés des exercices. 15. 1.5 Pour chacune des deux premières questions on identifiera les paramètres de la loi suivie par la variable

Exercice 1 : a) Lecture de la table N(0 1) : X suit une loi normale de

table de Student `a 10 d.d.l.. ⇒ −t = −2.2281 : F(−t)=0.025 la loi de Student est symétrique. Corrigées des exercices - TD1 : Statistique Inférentielle. 2.

Corrigé - Série 2 Inférence sur les param`etres Exercice 1 - Les

Le test de Student suppose que les données sont issues d'une loi normale. Un histo- gramme des 18 différences nous montre une tendance `a la bimodalité mais le

4-4-Tests corrigés

respectivement la moyenne et l'écart-type corrigé du rendement dans l'échantillon. Sous l'hypothèse H0 la loi de T est la loi de Student à 5 degrés de liberté

MODULE 7 LOIS PROBABILITÉ PROBABILITÉ

Si le paramètre de la loi de Student est grand la loi normale peut être utilisée pour Exercices. 1. ⋆Trouver z0.5

Fascicule dexercices

Échantillonnage : échantillon statistique

Statistique Inférentielle

2) Exercices et corrigés PUR (2013). • Saporta G.

Cours de Statistiques inférentielles

La loi de Student converge en loi vers la loi normale centrée réduite. Ref : Statistique exercices corrigés

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est appelée loi de Student à n degrés de liberté Montrer que cette loi a une densité et la décrire (ainsi que son histoire !) Exercice 5 Soient X1

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Le test de Student suppose que les données sont issues d'une loi normale Un histo- gramme des 18 différences nous montre une tendance `a la bimodalité mais le

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et si ? ? R alors ?X et X + Y sont aussi de loi normale On rappelle également que si Z ? N(01) alors P(Z ? 165) ? 005 Exercice 2 Test de Student

[PDF] Exercices 103 111 121 136 142 158 164 - André Berchtold

Corrigé de la seconde série d'exercices supplémentaires Cette statistique est distribuée selon une loi de Student à 4+4-2=6 degrés de liberté

Corrigés des exercices - Springer

Elle est strictement croissante sur le support [0 +?[ de la loi et les Pour T v a de Student `a 29 degrés de liberté P(T < 2 99) = 0 9972 valeur

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?1 est la loi de Student à 9 degrés de liberté L'intervalle de confiance de µ au seuil de 5 est : ; s

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16 oct 2013 · La loi de Student ne dépend ni de µ ni de la variance On utilise une loi de Student à n-1 degrés de liberté car elle est équivalente à un

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Calculer la loi conjointe de (XY ) En déduire une méthode de géné- ration de deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes Solution 1) On a P[

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196 est le quantile d'ordre 0975 de la loi N(01) l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95 du résultat moyen des étudiants est d'environ

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Exercice 1 Lois binomiale et géométrique Soit X1X2 une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi B(p) où p ? [0 1]

Leçon 21 Exercices corrigés

(Une étoile * désignera une question de difficulté supérieure.) Exercice 1.Soit(X1;:::;Xn)un échantillon de variables aléatoires sur ;A;P), indépendantes de même loi exponentielleE(1 )de paramètre1 >0.

Pour toutn1, poser comme dans la leçon,X

n=1n (X1++Xn). a) Rappeler la moyenne et la variance deX1. b) Démontrer que pour toutt >0, P jX nj t2t 2n: c) Calculer un intervalle de confiance au seuilse= 1depour l"estimateur de la moyenne lorsquen >1. d) Mêmes questions si les variablesX1;:::;Xnsont indépendantes de même loi uniformeU(0;a)sur[0;a], oùa >0est un paramètre inconnu à estimer. Indication. Sur la base de l"inégalité de Tchebychev b), choisirt >0tel que 2t

2n=, autrement ditt=pn

. Dire quejX nj< trevient alors àX n1 + 1pn < 150. SoitXla variable aléatoire " nombre de personnes parmi les npossibles ayant confirmé leur réservation pour ce vol ». 1 a) Quelle est la loi exacte suivie parX? b) Quel est le nombre maximum de places que la compagnie peut vendre pour que, à au moins 95%, elle soit sûre que tout le monde puisse monter dans l"avion (c"est-à-dire trouverntel queP(X >150)0;05)? (Indication: utiliser l"inégalité de Tchebychev; proposer une estimation plus précise à partir du théorème central limite.) c) Discuter suivant les valeurs deN,petn. Corrigé.a) La loi deXest une loi binomialeB(n;p)de moyennenpet de variancenp(1p). b) D"après l"inégalité de Tchebychev,

P(X >150) =PXnp >150np)np(1p)(150np)2

(sous réserve que150np >0). Avec la valeurp= 0;75, la fractionnp(1p)(150np)2est plus petite que0;05dès quen166. Ainsi, en vendant moins de 166 billets, la compagnie ne prend qu"un risque inférieur à 5% de devoir indemniser des voyageurs en surnombre. D"après le théorème central limite, la probabilité

P(X >150) =PXnppnp(1p)>150nppnp(1p)

est " proche » dePG >150nppnp(1p)oùGsuit une loiN(0;1). Une table de loi normale indique queP(G > t)est de l"ordre de0;05sitest de l"ordre de1;645.

Il faut alors résoudre

150nppnp(1p)1;645pour que la probabilité précédente soit

inférieure à0;05. Il ressort quen187(ce qui est plus souple que la restriction fournie par l"inégalité de Tchebychev, mais qui demande en revanche à préciser le mot "proche», source de tous les risques!). c) En faisant varier les paramètres précédents (dans l"approximation par le théorème central limite) :

N= 150,p= 0;5,n272.

N= 300,p= 0;75,n381.

N= 300,p= 0;5,n561.

Exercice 3(Processus de Poisson). SoitXn,n2N, une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielleE()de paramètre >0. PoserSn=X1++Xn,n1, et par conventionS0= 0. Pour toutt >0, soitNt= supfn0;Sn< tg. a) Quelle est la loi deSn? b) Établir que, pour toutn2N,

P(Nt=n) =P(Sn< t)P(Sn+1< t):

En déduire la loi deNt.

Indication.a) Comme somme de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielleE(), la loi deSnest une loi Gamma (n;)(Leçon 13). b) Observer quefSn+1< tg fSn< tgce qui conduit à l"égalité demandée. Ensuite, exprimer la probabilitéP(Sn+1< t)à partir de la densité de la loi deSn+1et effectuer une intégration par parties pour se ramener à celle deSn. Il faut trouver queNtsuit une loi de Poisson (ainsi que l"indique le titre de l"exercice). Exercice 4(Loi de Student). SoientXetYdeux variables indépendantes,

Xde loiN(0;1)etYde loi Gamma

(n2 ;12 )de paramètresn2 et12 , aussi appelée loi du2àn1degrés de liberté. La loi de T n=Xq Y n est appelée loi de Student àndegrés de liberté. Montrer que cette loi a une densité, et la décrire (ainsi que son histoire!). Exercice 5.SoientX1;:::;Xndes variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée réduiteN(0;1)et soitXle vecteur(X1;:::;Xn). 3 SoitOune matricennorthogonale, et soitY=OX; rappeler pourquoiPn k=1X2k=Pn k=1Y2k. a) Démontrer queYa même loi queX.

PoserX=1n

n X k=1X ketS2=1n1n X k=1 XkX 2: b) En choisissantOdont tous les termes de la dernière ligne sont égaux à1pn vérifier que (n1)S2=nX k=1X 2knX 2=nX k=1Y

2kY2n=n1X

k=1Y 2k: c) Déduire de ce qui précède queXetS2sont indépendantes et que(n1)S2 a la même loi quePn1 k=1X2k. Corrigé. Une application orthogonale conserve les longueurs, donc jYj=jOXj. a) Par indépendance des coordonnées, la loi deXest la loi gaus- sienne standardN(0;Id)surRn. Comme transformation linéaire deX,Y=OX est également gaussienne, centrée, de matrice de covariance décrite par E hc;Yi2=Ehc;OXi2=Eh>Oc;Xi2=j>Ocj2=jcj2 pour toutc2Rn. AinsiYest aussi de loiN(0;Id). b) Comme n X k=1 XkX 2=nX k=1

X2k2XX

k+X 2=nX k=1X 2knX 2 (c"est une formule de variance!), la première égalité est satisfaite. Par le choix deO,Yn=1pn P n k=1Xk=pnX, d"où la deuxième égalité puisquePn k=1X2k=Pn k=1Y2k. c) PuisqueY= (Y1;:::;Yn)suit la loi gaussienne standardN(0;Id) deRn, les composantesY1;:::;Ynsont indépendantes (de même loiN(0;1)). 4

DoncX=1pn

Ynest indépendante dePn1

k=1Y2k= (n1)S2. Enfin, commeY a même loi queX, il est clair de la même identité(n1)S2=Pn1 k=1Y2kque (n1)S2a même loi quePn1 k=1X2k. Exercice 6(Théorème de Glivenko1-Cantelli2). SoitXn,n2N, une suite de variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé( ;A;P), indé- pendantes de même loiPsur les boréliens deRde fonction de réparti- tionF. Pour toutn1, et toutt2R, considèrer la variable aléatoire, ditefonction de répartition empirique,Fn(t) : ( ;A;P)![0;1]définie pour tout!2 par F n(t)(!) =1n n X k=1? ]1;t]Xk(!): C"est la fonction de répartition de la mesure (discrète) 1n P n k=1Xk(!)surB(R). a) Démontrer que pour toutt2R,limn!1Fn(t) =F(t)presque sûrement. b) SoitL1un entier et soientt0< t1<< tLdes réels; démontrer que, presque sûrement,limn!1max0`LjFn(t`)F(t`)j= 0. Il est supposé dans la suite du problème quePest la loi uniforme sur[0;1]. c) Démontrer que, pour toutL1et toutn1, sup t2[0;1]

Fn(t)tmax0`LFn`L

`L +1L d) Déduire de ce qui précède que l"ensemble A=n !2 ; limn!1sup t2[0;1]

Fn(t)(!)t= 0o

contient un ensemble mesurable de probabilité égale à1.1. Valery Glivenko, mathématicien ukrainien et soviétique (1896-1940).

2. Francesco Paolo Cantelli, mathématicien italien (1875-1966).

5 Corrigé.a) Pourt2Rfixé, les variables aléatoires !2 !Yk(!) =?]1;t]Xk(!); k1; sont indépendantes de même loi intégrableE(Y1) =P(X1t) =F(t). Ainsi, d"après la loi des grands nombres, 1n P n k=1Yk!F(t)presque sûrement. Donc la fonction de répartition empiriqueFn(t)au pointt(qui donne la fréquence des éléments de l"échantillon(X1;:::;Xn)plus petits quet) approche la fonction de répartition théoriqueF(t)de la loi commune desXk, a priori inconnue. Bien évidemment, une application statistique performante souhaitera que cette ap- proximation ait lieu pour le plus det2Rpossibles. Or, à ce stade, l"ensemble de probabilité1sur lequel la convergence a lieu dépend det, ce qui consti- tue la matière de l"exercice. b) D"après la question précédente, pour chaque `= 0;1;:::;L, il existe `2 Atel queP( `) = 1etlimn!1Fn(t`)(!) =F(t`) pour tout!2 `. L"ensembleTL `=0 `est de probabilité1(car la probabilité de son complémentaire est inférieure ou égale àPL `=0P( c`) = 0); si!2TL `=0 lim n!1Fn(t`)(!) =F(t`)pour tout`= 0;1;:::;L, ce qui entraîne la conclu- sion demandée. c) L"argument s"appuie simplement sur les propriétés de crois- sance des fonctions de répartition (empiriques). En effet, sit2]0;1], il existe k= 1;:::;Ltel quek1L < tkL . Alors (en tout!, omis dans les écritures), F n(t)tFnkL k1L =FnkL kL +1L de sorte que F n(t)F(t)max0`LFn`Lquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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Leçon 21 Exercices corrigés

Pour toutn1, poser comme dans la leçon,X

2n=, autrement ditt=pn

P(X >150) =PXnp >150np)np(1p)(150np)2

P(X >150) =PXnppnp(1p)>150nppnp(1p)

Il faut alors résoudre

150nppnp(1p)1;645pour que la probabilité précédente soit

N= 150,p= 0;5,n272.

N= 300,p= 0;75,n381.

N= 300,p= 0;5,n561.

P(Nt=n) =P(Sn< t)P(Sn+1< t):

En déduire la loi deNt.

Xde loiN(0;1)etYde loi Gamma

PoserX=1n

2kY2n=n1X

X2k2XX

DoncX=1pn

Ynest indépendante dePn1

Fn(t)tmax0`LFn`L

Fn(t)(!)t= 0o

2. Francesco Paolo Cantelli, mathématicien italien (1875-1966).