[PDF] Cours de MASTER 2 Géométrie Algébrique Georges COMTE

View - Download Cours de MASTER 2 Géométrie Algébrique Georges COMTE

Previous PDF

Next PDF

Cours de MASTER 2

Geometrie AlgebriqueGeorges COMTE

UMR CNRS 5127, Laboratoire de Mathematiques de l'Universite Savoie-Mont Blanc B^atiment Chablais, Campus scientique, 73376 Le Bourget-du-Lac cedex, France email :georges.comte@univ-smb.fr url :http://gcomte.perso.math.cnrs.fr/

Derniere mise a jour le 22 juillet 2022 a 19:49

Table des matieres

Chapitre 1. Introduction

3

1. Introduction generale

3

2. Ensembles ordonnes

3

3. Anneaux

4

4. Corps

9

5. Topologie

11

Chapitre 2. Varietes algebriques

1 5

1. Les ensembles algebriques anes et la topologie de Zariski

15

2. Ideal d'un ensemble algebrique ane et Nullstellensatz

18

3. Composantes irreductibles d'un ensemble algebrique

24

4. Fonctions regulieres d'un ensemble algebrique ane

26

5. Espaces anneles et morphismes d'espaces anneles

33

6. Varietes algebriques anes et varietes algebriques

40

Chapitre 3. Le langage de la theorie des modeles

53

1. Structures et Langages

53

2. Interpretation des formules

55

3. La theorie des corps reels clos

63

4. La theorie des corps algebriquement clos

76

Chapitre 4. Dimension

85

Chapitre 5. Schemas

87

1. Le spectre SpecRd'un anneauR87

2. L'espace topologique SpecR89

3. L'espace localement annele SpecR94

Chapitre 6. Cohomologie des faisceaux

99
1

Chapitre1Introduction

1. Introduction generale

2. Ensembles ordonnes

Commencons par rappeler quelques elements de vocabulaire de la theorie des ensembles, autour de la notion d'ordre. SoitEun ensemble. Cet ensemble est ditordonnes'il est muni d'une relation binaire (ie formellement un sous-ensemble deEE1), noteeet appelee unordre surE, telle que (1) cette relation est an ti-re exive: ( x;x) n'est pas dans, (2) cette relation est transitiv e: 8x;y2E; xyetyz=)xz. L'ensemble ordonne (E;) est dittotalement ordonne, oul'ordreest dit totallorsque deux elements quelconquesx;ydeEsont comparables pour l'ordre, ie quexyouyxoux=y.Un majorantM2Ed'une partieAEest par denition tel que8a2A;aM. On dit lors que la partieAestmajoree. Un element maximalm2Ade la partieAest un elementmdeAtel quema n'est vraie pour aucun elementadeA(de sorte que soita2An'est pas comparable am, soitam, soita=m).

2.1.Remarque.Un majorantM2EdeAEn'est pas necessairement un

element maximal deA(siM62A), tandis qu'un element maximalmdeAne majore pas necessairementA(des elements deApeuvent ne pas ^etre comparables am). Lorsqu'un element est a la fois un majorant et un element maximal deA, on dit que cet element est unplus grand element deA. Un tel elementgest unique dansAet est deni parg2Aet8a2A;ag. On denit de la m^eme maniere que les notions de majorant, d'element maximal et de plus grand element, les notions deminorant, d'element minimalet deplus1. On note (x;y)2parxy 3

4 1. INTRODUCTION

petit element. Pour cela il sut d'ecahnger les r^oles des symbolesM(resp.m,g) etadans les trois denitions ci-dessus.

2.2.Remarque.Si (E;) est un ensemble ordonne, il en est de m^eme de (E;),

ouest la relation binaire surEdenie parxy()yx. Il s'ensuit que x2AEest un majorant deApour(resp. un element maximal, un plus grand element) si et seulement sixest un minorant pour(resp. un element minimal, un plus petit element).

2.3.Definition.On dit qu'un ensemble ordonne (E;) estbien ordonne,

ou muni d'unbon ordresi toute partie non videAdeEadmet unplus petit element, ie un elementp2Atel que8a2A; pa. Dans ce cas (1)Eest totalement ordonne, puisque toute partie deEde cardinal 2 admet un plus petit element. (2)Eadmet un plus petit element et est donc minore.

2.4.Definition.Un ensemble ordonne (E;) est ditinductiflorsque toute

partie totalement ordonnee deEest majoree dansE. On dispose dans notre theorie de l'axiome du choix Axiome du choix. |Tout produit d'ensembles non vides est non vide. Autrement dit siIest un ensemble non vide,Xi;i2Ides ensembles non vides, alorsQ i2IXi:= ff:I!S i2IXi;8i2I; f(i)2Xigest non vide. Cet axiome est alorsequivalent (dans le systeme de Zermelo-Fraenkel) auxenonces suivants Theoremes 2.5 et 2.6 , que l'on peut enoncer comme des theoremes deduits de l'axiome du choix ([7], Theoreme 5.2.5, par exemple).

2.5.Theoreme(Lemme de Zorn).Tout ensemble ordonne inductif admet un

element maximal.

2.6.Theoreme(Lemme de Zermelo).Tout ensemble peut ^etre muni d'un bon

ordre.

3. Anneaux

Pour un entierndonne, on appelleespace ane de dimensionnl'ensemble k n(le produit cartesien dencopies dek, qui est par denition l'ensemble desn- uplets (x1;;xn),x1;:::;xn2k). Cet ensemble sera parfois noteAn(k) lorsqu'on le minira de sa structure de variete algebrique (ou m^eme simplement lorsqu'on le verra comme un ensemble algebrique). On rappelle qu'etant donne un anneau commutatifA, on noteA[x] l'ensemble des suites presque partout nulles dont les termes sont dansA. Il s'agit d'un sous-groupe deANsur lequel on considere le produit (a0;a1;;ad;0)(b0;b1;;bd;0) := (c0=a0b0;;ck= di=0aibki;;0;) qui fait deA[x] un anneau, dans le- quel s'injecteApara7!(a;0;). On l'appellel'anneau des polyn^omes an

3. ANNEAUX 5

indeterminees et a coecients dansA. On notex`, pour`2Nl'element (0;;1;0;), le 1 gurant a la`ieme place dans cette suite. PourP2A[x], il existe une unique ecritureP=Pd i=0aixiet le produit surA[x] fait quex`xs= x `+s. On notedeg(P) = maxfj2N;P= (a0;a1;);aj6= 0g. Avec ces nota- tions, on appelleadeg(P)le coecient directeur deP. On noteA[x1;;xn] = (((A[x1])[x2]))[xn]. Nous considererons essentiellement des anneaux de po- lyn^omesk[x1;;xn] sur un corpsk. Dans ce cas on dispose d'unek-algebre. La principale propriete que nous voulons rappeler ici est la noetherianite de l'an- neauk[x1;;xn]. Rappelons cette notion.

3.1.Definition.Soit A un anneau, les propositions suivantes sont equivalentes.

On dit qu'un anneau qui satisfait une de ces trois propositions estnoetherien (i) T outid ealde A est de t ypeni i eque si Iest un ideal deAexistenta1;;a`2 I, tels que quel que soita2I, existent1;;`2I, tels quea=P` i=1iai, (ii) T outesuite croissan ted'id eauxde A est stationnaire, (iii) T outensem blenon vide Ed'ideaux deAadmet un element maximal pour l'inclusion, ie un elementI02Etel que siI0IetI2EalorsI=I0. D emonstration.(i))(ii) SiI1I2 est une suite croissante d'ideaux deA,[i2IIiest un ideal deA, qui etant de type ni possede des generateurs a

1;;a`. Mais alors existek2Ntel que ces generateurs sont tous dansIk, et il

s'ensuit que la suiteI1I2 est stationnaire a partir du rangk. (ii))(iii) Soit en eetEun ensemble non vide d'ideaux deAsans element maximal. Soit alorsI12E, commeI1n'est pas maximal, il existeI22Etel queI1(I2, etI2n'est pas maximal. On contruit ainsi par recurrence une suite strictement croissante d'ideaux deA, ce qui contredit (ii). (iii))(i) SoitIun ideal deAqui n'est pas de type ni eta12I. Puisque I6= (a1), il existea22Itel quea262(a1). Mais alors (a1)((a1;a2) etI6= (a1;a2) et ainsi de suite on construit une suite strictement croissante d'ideaux deA. Le support de cette suite ne saurait alors avoir d'element maximal, ce qui contredit (iii).

3.2.Remarque.Les ideaux d'un corpsketant (0) et (1) =k, un corps est en

particulier un anneau noetherien. Le resultat qui nous sera tres utile dans la suite de ce chapitre est le theoreme de transfert suivant, d^u a Hilbert

3.3.Theoreme.SoitAun anneau noetherien, alorsA[x]est noetherien. En

particulierk[x1;;xn]est noetherien. D emonstration.SoitIun ideal de A[X]. Pourd2N, On noteCdl'ensemble des coecients directeurs des polyn^omes de degreddeIetJd=Cd[f0g. AlorsJd est clairement un ideal deA. De plus siDd, on aJdJD(en multipliant les polyn^omes de degreddeIparxDd). Comme par hypotheseAest noetherien, il

6 1. INTRODUCTION

existe`2Ntel que, pour toutd`,Jd=J`et de plusJ`est niment engendre. Soit alorsSdun ensemble ni de polyn^omes de degreddont les coecients directeurs engendrentCd. On montre que[d`Sdest une partie nie deIqui engendreI. Soit pour celaP2I. Si deg(P) = 0,Pest un polyn^ome constant combinaison lineaire a coecients dansAd'elements deC0, doncPest bien l'ideal engendre parS0. Supposons notre propriete demontre pour les polyn^omesPdeIde degrek, pour un entierk0, et montrons que si deg(P) =k+ 1,Pest dans l'ideal engendre par[d`Sd. Le coecient directeur dePest1a1++mamaveci2Aetaides coecients directeurs de polyn^omesPideSj(j=`sik+ 1`etj=k+ 1 sik+ 1`). Il s'ensuit queP(1P1++mPm) (sik+ 1`) est un polyn^ome deIde degre strictement plus petit quek+1 etP(1xk+1`P1++mxk+1`Pm) (sik+1`) est un polyn^ome deIde degre strictement plus petit quek+ 1. Dans les deux cas, on applique l'hypothese de recurrence qui assure queP(1P1++mPm) ouP(1xk+1`P1++mxk+1`Pm) est combinaisonA-lineaire d'elements de d`Sd, et donc egalementP. On prendra en general garde de ne pas identier un polyn^ome, formellement denit comme ci-dessus, avec la fonction polyn^ome qu'il induit surkn. En eet si kest un corps ni les deux notions ne concident en general pas, comme le montre l'exemple suivant :

3.4.Exemple.ConsideronsP(x)2Z2[x] deni parP(x) =x2+x. Formellement

P= (0;1;1;0;), il ne s'agit donc pas du polyn^ome nul (0;). Cependant la fonction polyn^omefPqu'induitPsurket qui est denie parfP(x) =x2+xest la fonction nulle.

3.5.Exercice.NotonsF(kd;k)l'algebre des fonctions polynomiales deknvers

k. Montrer que sikest inni l'application k[x1;;xn]!F(kn;k)

P7!fP:kn!k

(x1;;xn)7!fP(x1;;xn) :=P(x1;;xn) qui a un polyn^ome associe sa fonction polyn^ome naturelle est un isomorphisme de k-algebres. Bien entendu lorsque le contexte sera clair, et apres cette mise en garde, nous ecrirons souventPau lieu defP, m^eme lorsquekest un corps ni... Nous rappelons ici le principe de division euclidienne dans un anneau.

3.6.Theoreme.Etant donne un anneauA, siP;Ssont deux elements deA[x]

tels que le coecient directeur deSest inversible dansA, il existe un unique couple (Q;R)2A[x]2tel queP=QS+Retdeg(R)< deg(S)ouR= 0.

3.7.Remarque.Rappelons que siAest un anneau integre,A[x] aussi et que les

inversibles deA[x] sont ceux deA.

3. ANNEAUX 7

3.8.Definition.Un anneau integreAest ditprincipallorsque tous ses ideaux

sont engendres par un seul element (on dit aussi d'un tel ideal qu'il est principal).

Un tel anneau est evidemment noetherien.

3.9.Definition.Un idealId'un anneauAest ditpremierssiA=Iest integre

ieA=I6=f0get8a;b2A,ab= 0 impliquea= 0 oub= 0 ssiI6=Aet8;2A,

2Iimplique2Iou2I.

3.10.Definition.Un elementa, non inversible, d'un anneauAest ditirreduc-

tiblelorsque quels que soientb;c2A,a=bcimpliqueboucinversible.

3.11.Proposition.SoitAun anneau integre eta2Anon nul et non inversible.

(i) L'id eal(a)est premier ssi8b;c2A, siadivisebc, alorsadivisebouc. (ii)

Si (a)est premier alorsaest irreductible.

(iii) On supp oseAprincipal. Alors un ideal deI, noteI:= (a)est premier ssia est irreductible ssiIest maximal.

3.12.Definition.Un anneauAest ditlocals'il possede un unique ideal maximal

m. Dans ce cas le quotientA=mest appele le corps residuel deA.

3.13.Remarque.L'anneauAest local si et seulement si les elements non inver-

sibles deAforment un ideal, qui est alors l'ideal maximal deA. En eet soitAun anneau etNl'ensemble de ses elements non inversibles. SiAest local, il est clair quemne peut contenir un inversible car sinonmserait Aet donc ne serait pas maximal, doncmN. Mais sixest non inversible, l'ideal qu'il engendre n'est pasAet est contenu dans un ideal maximal qui ne peut ^etre quem. On en conclut queN=m. Reciproquement, supposons queNsoit un ideal. Celui-ci est alors maximal, puisqueNest contenu dans un ideal maximal mais ne saurait contenir d'inversible. Enn tout autre ideal deA, s'il n'est pas contenu dansNpossede un inversible et donc estA. L'idealNest ainsi l'unique ideal maximal deA. Une maniere de construire des anneaux locaux consiste a localiser un anneau Apar une de ses parties multiplicativesSbien choisie. Nous donnons ici cette construction.

3.14.Definition.SoitAun anneau commutatif.

1. Une partie SdeAest dite unepartie multiplicative deAsi

12Set8a;b2S; ab2S:

2. On d enitle localise2deApar une partie multiplicativeSdeA, ou

l'anneau quotient deAparS, ou encorel'anneau des fractions deApar2. Ici le vocabulaire est trompeur puisque lelocalise deApar une de ses parties multiplicatives

Sn'est pas necessairement un anneau local, comme le montre la Remarque5 de 3.15 ci-dessous.

8 1. INTRODUCTION

S, et on noteASouS1A, l'anneau deni comme le quotient deASpar la relation d'equivalence (a;s)(a0;s0)() 9t2S; t(as0a0s) = 0: On notea=sla classe de (a;s) et on verie queASest bien un anneau pour les lois a=r+b=s= (as+br)=(rs) et (a=r)(b=s) = (ab)=(rs). Le neutre de cet anneau etant 0=1 et l'unite 1=1. Notons que dans le cas particulier ouAest integre, la relation d'equivalence devient ci-dessus devient (a;s)(a0;s0)()as0=a0s: Ceci est clair si 062Set dans le cas ou 02S, on a :

3.15.Remarque.1.Si 0 2S,S1Aest l'anneau nul, puisque tous les elements

deASsont equivalents a (0;0). 2. Dans le cas o uAest integre, on dispose d'un morphisme injectifi:A!Asdeni pari(a) =a=1. Dans le cas ouAn'est pas integre,iest seulement un morphisme d'anneau. 3. Si Aest integre,S=Anf0gest une partie multiplicative deAetASs'appelle le corps des fractions deA. Il s'agit du plus petit anneau dans lequelAs'injecte et contenant les inverses des images par cette injection des elements non nuls deA. Toujours pourAintegre et pourSgeneral,ASest un sous-anneau du corps des fractions deA, le plus petit contenant les inverses des elements deS. Dans le cas ouAn'est pas integre, on ne peut pas voirAScomme un sous-anneau du corps de fractions deA, ce corps n'etant pas deni. Cependant, dans l'anneauAS, les elements deSsont des inversibles. 4. Si Iest un ideal premier deA, alorsAnIest une partie multiplicative deA. On note la localisation correspondante deAparAI. 5. Soit P2AetS=fPk;k2Ng, qui est multiplicative. Notons que siAest integre alorsPn'est pas nilpotent, et doncSest une partie multiplicative deA ne contenant pas 0. En revanche si aucune hypothese n'est faite surAouP,S peut contenir 0. On note alorsASparAPet on appelleAPla localisation deA enP. LorsqueAest integre, on a A

P'A[X]=(PX1):

En eet, considerons le morphisme d'anneaux':A[X]!AP, deni par'(X) =

1=P. Ce morphisme est clairement surjectif. Montrons que son noyau est (PX1).

SiPn i=1aiPi= 0=1, par denition,Pn i=1aiPdi= 0. La division par le polyn^ome unitaireXP, montre qu'existeQ2A[X] de degren1 tel quePn i=1aiPdi= (XP)Q(X). Les coecients deQs'obtiennent alors en fonction de ceux des a i, et ces relations montrent que (1pX)(Xn1Q(1=X)) =Pn i=1aiXi(avec X n1Q(1=X) le polyn^ome deA[X] deni parPn1 i=1iXdi, lors queQ(X) =Pn1 i=1iXi).

4. CORPS 9

Dans le cas ouP= 1 et ouAest integre, il appara^t par consequent que A P'A, egalite qui reste trivialement vraie m^eme siAn'est pas integre. On voit ici que siAn'est pas lui-m^eme local,APn'est pas local. En toute generalite, il convient donc d'appelerS1Al'anneau quotient de AparS, oul'anneau des fractions deAparS, plut^ot que la localisation de

AparS.

3.16.Proposition.(i)Soit Iun ideal premier d'un anneau commutatifA.

AlorsAIest un anneau local, d'ideal maximalfa=s2AI;a2I;s62Ig. (ii) Si Aest un anneau local d'ideal maximalm, alorsAm'A. D emonstration.Montrons (i). NotonsS=AnI. Sia=s2AIest inversible, il existea02A;s02Stels quea=sa0=s0=aa0=ss0= 1=1, donc il existet2Stel que t(aa0ss0) = 0. CommeSest multiplicative,tss02S. L'egalitetaa0=tss0est ainsi impossible sia2I, car dans ce cas on auraittaa02I=AnS. On en conclut que sia=sest inversible,a2s. Reciproquement, sia2S, l'elementa=sdeAIest bien inversible, d'inverses=a. En conclusion, les elementsa=sdeAIsont non inversibles dansAIsi et seulement sia2Iet ils forment alors facilement un ideal. L'anneau A

Iest donc bien local.

Pour montrer (ii), commencons par montrer que le morphisme d'anneauxA!Am deni para7!a=1 est injectif. Sia=1 = 0=1 dansAm, il existet2Anm, iet inversible dansA, tel queta= 0. Ceci oblige alorsa= 0 puisquetest inversible dansA. Montrons maintenant queA!Amest surjective, car sia=s2Am, du fait ques62met que dansAles inversibles sont precisement les elements deAnm, l'elementa=sest (s'identie a l'elementas1) dansA.

4. Corps

Nous rappelons ici quelques elements de la theorie des corps, les references clas- siques sont entre autres [1], [6].

4.1.Definition.Soientketk0deux corps et un morphisme de corpsk!k0. Ce

morphisme etant injectif, on peut supposer, quitte a ne considerer que son image, qu'en realitekk0. On appelleextension de corpsla donnee d'un tel morphisme k!k0, ou plus simplement, conformement a ce que l'on vient de remarquer, la donnee d'une inclusion de corpskk0. Une telle extension est ditealgebrique lorsque tout element dek0est algebrique surk, ie est annule par un element dek[x]. L'extensionkk0est ditenielorsque lek-espacek0est de dimension nie. On note alors cette dimension [k0:k] et on l'appelle le degre de l'extensionkk0. Les relations qu'entretiennent les notions denies ci-dessus sont donnees par les enonces qui suivent (cf [11], Chapitre 9.1, p.113).

4.2.Proposition.Sikk0est une extension nie de corps, cette extension est

algebrique.

10 1. INTRODUCTION

4.3.Proposition.Soientkk0une extension de corps etx1;;xn2k0

algebriques surk. Alorsk[x1;;xn]est un corps. Ces deux propositions sont des equivalences dans le cas d'une extension par un seul element.

4.4.Proposition.Soitkk0est une extension de corps etx2k0. On a alors

l'equivalence des propositions suivantes (i)xest algebrique surk. (ii) L'extension kk[x]est nie (et donc algebrique par la Proposition4.2 ). (iii)

L ak-algebrek[x]est un corps.

4.5.Remarque.Une extension peut ^etre albegrique sans ^etre nie, autrement

dit la Proposition 4.2 n'admet en g eneralpas de r ecirpoque.Consid eronsl'extension

Qk, oukest le plus petit corps contenantQet les racines des nombres premiersp2;p3;:::. Le corpskest forme de tous les elements reels du typeR(pp

1;:::;pp

ou`2N,p1;:::;p`sont des nombres premiers, etR2Q(x1;:::;x`). Alors l'exten- sionQkn'est pas nie, car la famillep2;p3;:::est libre surQ. Mais d'autre part l'extensionQkest algebrique. En eet, soient2k. Il existe`2N,p1;:::;p` des nombres premiers tels que2Q(pp

1;:::;pp

`) =Q[pp

1;:::;pp

`], la deuxieme egalite venant de la Proposition 4.3 . Pour montrer queQQ[pp

1;:::;pp

`] est algebrique, il sut de montrer que cette extension est nie, d'apres la Proposition 4.2 . Or ceci se prouve par recurrence sur`en utilisantQ[pp

1;:::;pp

`1][pp Q[pp

1;:::;pp

`], en utilisant la Proposition4.4 du fait que pp `est algebrique sur

Q, donc surQ[pp

1;:::;pp

`1], et en utilisant la formule des degres [k00:k] = [k00: k

0][k0:k], pourkk0k00.

Les arguments de la Remarque

4.5 mon trenten toute g eneralitela Prop osition suivante.

4.6.Proposition.Soitkk0une extension etSune partie dek0telle que les

elements deSsoient algebriques surk. alors, (1)kk(S)est algebrique, (2) si Sest de cardinal ni, l'extensionkk(S)est nie (donc algebrique).

4.7.Definition(Base de transcendance).Soitrkune extension de corps. on

dit qu'une familleFd'elements dekestalgebriquement libre sur r, si pour toute sous-famille nie (k1;;kd) deF, pour toutP2r[x1;;xd],P(k1;;kd) =

0)P= 0.

Soitr(F) le sous-corps dekengendre parF. On a :rr(F)k. On dit queF estalgebriquement generatrice sur r, sikest algebrique surr(F). La famille Fest unebase de transcendance de k sur rlorsqu'elle est algebriquement libre et generatrice. Autrement dit la familleFest une base de transcendance de ksurrlorsqu'elle est algebriquement libre et lorsque l'extensionr(F)kest

5. TOPOLOGIE 11

algebrique. Dans le cas ou de plusr(F) =k, on dit quek=r(F) est uneextension transcendante pure de r. On dit alors queFest unebase pure de k. On montre a l'aide du lemme de Zorn que pour toute extensionrkexiste des bases de transcendance et que celles-ci ont toutes m^eme cardinal, on l'appelle le degre de transcendance deksurr, et on le note@r(k). Cette denition generalise le fait que@r(r(x1;;xd)) =det que (x1;;xd) est une base de transcendance de r(x1;;xd) surr, puisque si (k1;;kd) est algebriquement libre,r(k1;;kd) est isomorphe au corps des fractionsr(y1;;yd). Enn on peut completer des familles algebriquement libres en base de transcendance et extraire des base de transcendance de familles algebriquement generatrices. Ce qui montre qu'une base de transcendance deksurrest une partie maximale de l'ensemble des parties dekalgebriquement libres surr. On montre encore que sir(F)kest algebrique, toute partie algebriquement libre deFest une base de transcendance deksurr. En particulier, etant donnee une extension algebriquer(F)k, le nombre maximal d'elements deFalgebriquement independants surrest@r(k).

Pour des extensionsrkk0, on montre que

r(k0) =@r(k) +@k(k0)

4.8.Remarque.Le corpskde la Remarque4. 5est de degr einni sur Q; [k:

Q] =1. Mais l'extensionQkest algebrique, donc@Q(k) = 0.

5. Topologie

Une notion essentielle pour la suite qu'il convient egalement de rappeler dans cette partie preliminaire est la notion de topologie sur un ensemble.

5.1.Definition.SoitXun ensemble. UnetopologieTXsurXest la donnee

d'un ensemble de parties deX, c'est-a-dire la donnee d'un sous-ensemble de l'en- semble des parties deX. Les elements deTXsont appeles lesouverts de la topo- logieTX. Les ouverts doivent satisfaires les axiomes suivants (1)Xet;sont des ouverts deTX, (2)

Une union arbitraire d'ouv ertsest un ouv ert,

(3)

Une in tersectionnie d'ouv ertsest un ouv ert.

Un sous-ensemble deXest unferme pourTXs'il est le complementaire dansX d'un ouvert. Se donner la collection des ouverts ou des fermes d'une topologie revient donc au m^eme, pourvu que les fermes satisfassent les axiomes suivants, deduits des axiomes des ouverts a l'aide de l'operation de prise de complementaire (1)Xet;sont des fermes pourTX, (2)

Une union nie d eferm esest un ferm e,

(3) Une in tersectionarbitraire de ferm esest un ferm e.

12 1. INTRODUCTION

quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

[PDF] algebraic geometry

[PDF] histoire de la géométrie algébrique

[PDF] tv orange cote d'ivoire apk

[PDF] méthode naturelle pour planification familiale

[PDF] telecharger formulaire cession de ligne orange

[PDF] lettre de changement de titulaire de la ligne téléphonique

[PDF] telecharger formulaire cession de ligne mobile orange

[PDF] régulation des naissances svt

[PDF] changement de titulaire orange

[PDF] demande de cession de contrat d'abonnement orange business

[PDF] lettre resiliation orange mobile suite deces

[PDF] contrat de cession ligne fixe orange

[PDF] délai cession de ligne orange

[PDF] en quoi les politiques conjoncturelles peuvent elles lutter contre le chomage

[PDF] comment les politiques conjoncturelles peuvent-elles agir sur les fluctuations économiques