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Claire Voisin

Table des matiµeres

0 Introduction 4

1.1 L'espace a±neAnk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 L'espace projectifPnk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Faisceaux localement libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2O(1) sur un Proj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3 Grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6 Cohomologie de l'espace projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5.3 Rev^etements cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1

II Le point de vue complexe 55

4.1.1 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

@sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.3 Composition et changement de variables . . . . . . . . . . . . 57

@sur les formes . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2 Adjoints formels et Laplaciens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.1 Laplaciens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.2 Symbole du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4.1 Formes harmoniques et cohomologie. . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2 Le principe GAGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.5.1 Eclatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2

8.1 Complexe de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.1.1 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.1.2 Invariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.1.3 Suite spectrale de FrÄolicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.1.1 Suite exacte d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.2ExtetExt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.4 Cas des courbes projectives lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.4.2 Cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.5 Classe de cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.5.1 Cohomologie locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10 Classes de Chern 142

10.1 Premiµere classe de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.1.1 Version cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.1.2 Version topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.1.3 Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.2.1 Cohomologie dePnk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.2.3 Formule de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.2.4 Principe de scindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

11.2 Classe de Kodaira-Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

11.3 Obstructions : Le \principe de relµevementT1" . . . . . . . . . . . . 161

12 Platitude 165

12.1 Modules plats sur un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

12.3 Faisceaux plats au-dessus d'une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

12.4 Polyn^ome de Hilbert et ¯nitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3

13.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

13.2.1 Morphisme de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . 180

13.3 Application µa la cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . 183

13.3.1 La connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

0 Introduction

fonctions continues µa valeurs dansR(faisceau d'anneaux). (Rappel faisceaux....) semble de points. A X!R; f7!f(x):

Lemme 0.1

maximaux deAX.

De plus le germeAxenxdoit ^etre un anneau local.)

d'un morphisme de faisceau d'anneaux (\pull-back") 4 soit un morphisme d'anneaux locaux. pas tout d'abord un ensemble de points. iX2i+ 1>. spectre contr^ole lesk-points, mais aussi les k-structure.

Premiµere partie

1.1 L'espace a±neAnk

Spectre: on considµere le spectreAkn=Speck[X1;:::;Xn]. Comme ensemble c'est 5 F

I=f¹2Speck[X1;:::;Xn]; I½¹g:

Exercice 1.1

U I=[f2IUf, oµuUf:=f¹2Speck[X1;:::;Xn]; f62¹g. Les ouvertsUfsont dits

Remarque 1.2

d'un faisceau structurel, (voir plus loin), ils sont exactement en bijection avec les

Proposition 1.3

SiUf=Uf1[:::[Ufk, alors l'ensemble des(¾i)2k[X1;:::;Xn]fi; ¾i=

¡(Uf;OUf) =O(Uf).

f idansk[X1;:::;Xn]= < f >. Donc f i2 \¹¹; est facile de voir que f iest alors nilpotent.

On a donc une relationfm=P

igifi. De m^eme, pour tout entiersli¸0, on a une relationfm=P Soit maintenant (¾i)2k[X1;:::;Xn]fi; ¾i=¾jdansk[X1;:::;Xn]ffifj=k[X1;:::;Xn]fifj.

Alors il existelitels queflii¾i2k[X1;:::;Xn].

On a alors

P igiflii¾i2k[X1;:::;Xn]. Mais d'autre part, on a¾i=¾jdansk[X1;:::;Xn]fifj. Cela entra^³ne queflii¾j2 k[X1;:::;Xn] etflii¾i=flii¾jdansk[X1;:::;Xn]. On a donc pour chaquej: X ig iflii¾i=X i(giflii)¾j=fm¾j; ce qui montre que P igiflii¾i f surUj. 6

Proposition 1.4

On a¡(Ank;O) =k[X1;:::;Xn].

k[X1;:::;Xn]¹relativement µa la partie multiplicativeS¹:=k[X1;:::;Xn]n¹(c'est multiplicatif car¹est premier). En e®et, rappelons que le germeFxd'un faisceau F x= lim¡!U;x2UF(U): Dans notre cas, on peut prendre comme base d'ouverts contenant le point du spectre correspondant µa¹les ouverts a±nesUf:=Speck[X1;:::;Xn]f, pourf62¹. Mais k[X1;:::;Xn]¹=¹k[X1;:::;Xn]¹: C'est un corps de fractions (c'est le corps de fonctions rationnelles sur l'ensemble K-points.SiKest un corps contenantk, lesK-points deAnksont exactement les morphismes dek-algµebres k[X1;:::;Xn]!K: C'est clairement en bijection avecKn. CesK-points sont aussi les morphismes de k-algµebres k[X1;:::;Xn]=I!K: tout est dans l'anneauk[X1;:::;Xn];k[X1;:::;Xn] est l'anneau des fonctions poly- deAnk. A ce stade, la situation est proche de la situation topologique, car les fonc- tions (polyn^omes) sont bien des fonctions surknµa valeurs dansk. Quand on passe 7 auxK-points, ce n'est plus le cas, et on constate de plus qu'on a a®aire µa un nouvel ensemble de points.

¹. Cette cl^oture est

fº2Speck[X1;:::;Xn]; ¹½ºg:

¹est maximal.

f2k[X1;:::;Xn] ne s'annule dessus, de sorte que sa cl^oture de Zariski estAnk.

1.2 L'espace projectifPnk

considµere P nk:=Proj k[X0;:::;Xn]; =f¹½k[X0;:::;Xn]; ¹ ideal premier; gradue; ¹6=< X0;:::;Xn>g: F

I=f¹2Proj k[X0;:::;Xn]; I½¹g:

tout¹2Proj k[X0;:::;Xn], il existe uni2 f0;:::;ngtel queXi62¹. Alors¹ U i:=f¹2Proj k[X0;:::;Xn]; Xi62¹g: U i=Speck[X0=Xi;:::;Xn=Xi] tiplication parXi=Xj. La fonctionXi=Xjest \inversible" sur l'ouvertUi\Ujqui queXi=Xjest inversible dans l'anneauO¹en chaque point¹. 8 Cet isomorphisme correspond µa l'identi¯cation naturelle Le terme de gauche est l'anneau de fonctions surUi\Ujvu comme un ouvert de U i, et le terme de droite l'anneau de fonctions surUi\Ujvu comme un ouvert de U U i=Speck[X0;:::;bXi;:::;Xn]: envoyantXk; k6=isurXiXk=Xj. Cet isomorphisme induit comme ci-dessus un (SpecUi)j»=(SpecUj)i; (SpecUi)j½Ui= (SpecUj)i½Uj. sections globales deO(cf Proposition 1.4). Ceci n'est pas du tout vrai pour l'espace projectif. En fait on a :

Proposition 1.5

¡(Pnk;O) =k.

deOPnksurUis'identi¯ent µak[X0;:::;bXi;:::;Xn]. SurUi\Uj, les sections globales P ces polyn^omes sont constants. k-Points dePnk.

Lemme 1.6

Lesk-points dePnks'identi¯ent aux droites dekn+1. 9 < X0;:::;Xn>) et est alors unk-point deUi. OrUiest isomorphe µaAnk. Unk-point parxi= 1. Alors cet ensemble paramµetre aussi des droites dekn+1, paru7!< u > non contenues dans l'hyperplanfxi= 0get donc admettant un vecteur directeur satisfaisantxi= 1). Ainsi lesk-points de chaqueUiparamµetrent des droites dekn+1; dekn+1viaUiet viaUjcoijncident. de type ¯ni. On pose

X:=SpecA;

A

Proposition 1.7

PourXfun ouvert a±ne deX, on a¡(Uf;OUf) =Af. Pour tout ouvertUfdeAnk, induisantYf:=Y\Uf, on poseOYf=OUf=IOUf.

A=k[X1;:::;Xn]=I:

part, on a l'isomorphisme A f»=k[X1;:::;Xn]f=Ik[X1;:::;Xn]f; 10 I. suivante : I. k[X1;:::;Xn]=I.

Corollaire 1.10

I. k-algµebre de type ¯ni. La sous-algµebre

A=(M \A)½AS=M

est donc aussi un corps, etM \Aest bien maximal. Orf62 M \Apuisquef maximaux.

¯ni d'ouverts a±nes.

Exemple type :Pnk.

Lemme 1.11

type ¯ni. 11

U=f¹2SpecA; J6½¹g:

et on aU=[n1Ufi, oµuUfi=SpecAfiest bien a±ne de type ¯ni. des morphismes dek-algµebres.

Remarque 1.12

f f soit unmorphisme d'anneaux locaux, c'est-µa-dire que

Exemple 1.13

Sik0est un corps contenantk, on peut voirSpeck0comme unk- auxk0-pointsX.

Proposition 1.14

de fa»con contravariante aux morphismes dek-algµebres de type ¯ni. Ã:B!Adek-algµebres fournit une application continueÁ:SpecA!SpecB, f:Bf!AÃ(f) montrer que ces deux °µeches sont inverses l'une de l'autre. 12 k[X0;:::;Xn]; I0= 0. AlorsY=Proj k[X0;:::;Xn]=I, c'est-µa-dire queYest l'en- < X I i½k[X0;:::;bXi;:::;Xn]; oµu l'on voitk[X0;:::;bXi;:::;Xn] comme un quotient dek[X0;:::;Xn] obtenu en fai- sont les m^emes que pour l'espace projectif. k[X0;:::;Xn]=I projectifs.

Exemple 1.15

Lemme 1.16

Sin >1,H0(Pnkn fxg;O) =k.

En¯n il n'est pas projectif, car sinon l'inclusion P nkn fxg,!Pnk

Exercice 1.17

13 Ce produit satisfait (justi¯ant a posteriori la terminologie)

Lemme 1.18

Pour tout corpsKcontenantk,X£kY(K) =X(K)£Y(K).

X(K) =Homk¡alg(A;K); Y(K) =Homk¡alg(B;K)

X£kY(K) =Homk¡alg(AkB;K):

Hom k¡alg(AkB;K) =Homk¡alg(A;K)£Homk¡alg(B;K):

1B, l'autre qui µa (Á;Ã) associeÁÃ.

Remarque 1.19

n'importe quelZ.

Remarque 1.20

(Sur la topologie de Zariski) La topologie de Zariski surX£kY n'est pas la topologie produit. La topologie de Zariski est extr^emement grossiµere (les ouverts sont beaucoup trop gros). La topologie de Zariski sur le produit est plus ¯ne que la topologie produit : les ouverts de la formeU£Vne forment pas une base

Proposition 1.21

P nk£kPmk!P(m+1)(n+1)¡1 k: envoyantXijsurXiXj. Il faut aller au chapitre suivant pour voir comment cela Pquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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