[PDF] Sans titre 13 févr. 2012 Autrement





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Sans titre

13 févr. 2012 Autrement dit Aj = ?jI + Nj avec Nj matrice nilpotente d'ordre. mj. 6.1.1 Matrices nilpotentes. Définition 6.1.1 Une matrice N 6= 0 est ...



EPITA 2 2017.nb

PARTIE II : Une forme réduite des matrices nilpotentes. 2°) Une propriété de l'indice de nilpotence a) Si f est un endomorphisme nilpotent f d'indice p de 



Nilpotent et diagonalisable je taime

http://nicolas.patrois.free.fr/maths/agr%C3%A9gation/documents/nilpotent-diagonalisable-Hoareau.pdf



CORRECTION DS 5 Version A Questions de cours 1 Propriétés

Donc la seule matrice nilpotente et diagonale est la matrice nulle. L'ensemble des matrices symétriques et nilpotentes se ré- duit donc à l'ensemble des 



Nombre dendomorphismes nilpotents sur un corps fini

La preuve utilise une propriété importante des endomorphismes cycliques On utilise ici un cas particulier puisqu'une matrice nilpotente d'indice n a ...



Exponentielle de matrices-156

1.1 Définition et propriétés de base (vi) Si une matrice N est nilpotente alors exp(N) ? Id est nilpotente. (vii) Le spectre de exp(A) est {e?



Décomposition de Dunford et réduction de Jordan

sable et d'une matrice nilpotente. • La réduction de Jordan un autre couple vérifiant les propriétés (i) (ii)



CALCUL DES PUISSANCES N-IÈME DUNE MATRICE CARRÉE

Les puissances n-ièmes des matrices nilpotentes sont toutes nulles à partir d'un certain Montrons par récurrence sur n P N? la propriété : €(n) : An.



127 - Exponentielle de matrices. Applications. 1 Définition et

n'existe pas de polynôme P ? K[X] vérifaint cette propriété pour tout A. On note np l'ensemble des matrices nilpotentes d'indice p. Proposition 10.



1 Introduction 2 Théorème de Jordan

c'est-à-dire u = ?Id + n avec n nilpotente. où u est nilpotente. ... ici et utilise le lemme 1 et certaines propriétés des matrices compagnons.



Endomorphismes nilpotents - Université Sorbonne Paris Nord

† Un sous-espace vectoriel maximal dans le c^one nilpotent est semblable au matrice strictement triangulaire sup¶erieure † L’adh¶erence de l’orbite d’un bloc de Jordan de taille maximale est l’ensemble des nilpotents † Donner les sous-espaces stables sous l’action d’un endomorphisme dont la matrice dans la base canonique



leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit megarbanpersomathcnrsfrFeuille d'exercices o12 : Calculs matriciels - CNRS

Exercice 16[Somme de matrices nilpotentes] Montrer que la somme de deux matrices nilpotentes qui commutent est nilpotente Montrer que le résultat est aux en général si les matrices ne commutent pas Exercice 17[Inversibilité et polynôme annulateur] Soit A ?M n(K) On suppose qu'il existe p ?N?et a 0 a p ?K avec a 0 ·a p ?= 0



I Endomorphisme nilpotent trace d’un endomorphisme

En appliquant pfois cette propriété y compris si p= 0 on a gp exp(d) = exp(d) gp Ensuite exp(g) exp(d) = kX(g) X1 p=0 gp exp(d) = k(g)1 p=0 exp(d) gp= exp(d) k(Xg)1 p=0 gp = exp(d) exp(g) b) Si Mest la matrice de fdans une base B Dy est la matrice de d diagonalisable et Ny est la matrice de g nilpotent DN= NDentraine d g= g det M= D+



Nombre d'endomorphismes nilpotents sur un corps ni

La propriété importante que nous utiliserons est qu'un endomorphisme f est cyclique si et seulement si son commutant(1) se réduit à l'ensemble des polynômes en f On utilise ici un cas particulier puisqu'une matrice nilpotente d'indice n a pour polynôme minimal Xn Sur cet exemple on peut démontrer directement la propriété sur le



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D est diagonalisable il est facile de l’écrire comme l’exponentielle d’une matrice polynômeenAenfaisantuneinterpolationdeLagrangemaiscettefois-ciavecunlog (complexe)des? isesvaleurspropres Onremarqueq?irequiertdeconnaîtrelecas n= 1maisilsedéduitducasréelquiestévidentconnaissantlafonctionexponentielle réelle Pour I

Qu'est-ce que la matrice nilpotente ?

Les matrices nilpotentes possèdent une forme réduite particulièrement simple. Un bloc de Jordan nilpotent est une matrice qui ne contient que des 0, sauf pour les coefficients où j est égal à i + 1 qui, eux, valent 1. Alors toute matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale composé de matrices de Jordan nilpotentes.

Est-ce que les matrices nilpotentes sont inversibles ?

Par conséquent, les matrices nilpotentes ne sont pas inversibles et, sur ? ou ?, forment un ensemble négligeable. Si A et B sont deux matrices carrés de même dimension et qui commutent, alors si elles sont nilpotentes, il en est de même de leurs produits et de toutes combinaisons linéaires .

Comment montrer qu'une matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale ?

Alors toute matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale composé de matrices de Jordan nilpotentes. Si A est une matrice nilpotente, alors A est semblable à B avec :

Qu'est-ce que l'indice de nilpotence ?

La plus petite valeur de p vérifiant cela est appelée indice (de nilpotence). L'indice d'un endomorphisme nilpotent est toujours inférieur ou égal à la dimension de l'espace. Remarque : le produit de deux matrices non nulles peut être nul. Par exemple, la matrice est nilpotente d'indice 2, c'est-à-dire que A est non nulle mais A2 = 0.

Cours6

13/02/2012

6.1Formeno rmaledeJordan

Onadonc rem plilaprem i`erepartieduprogramm e:ench oisissantunebaseBdeC n quiest lar"eu niondebasesB j dechaqu eG j ,la matrice deAdanscetteb asesÕ"ecritsousl aforme diagonaleparbloc(5.2. 1),o`uc haqueblocA j estlarest riction deAausou s-espaceG j .Pos ant N j =A j j I, onad Õail leursN m j j =0.Au tre mentditA j j I+N j avecN j matricenilpotentedÕor dre "m j

6.1.1Matricesnil potentes

D"eÞnition6.1.1UnematriceN#=0estnilpote ntelorsquÕilexistes$N telqu eN s =0.

Leplusp etitent iers%1telqu eN

s =0estlÕordr edenilpotencedeN.

Proposition6.1.2SoitN$M

n (C).Le sassertion ssuivantessont"equivalentes i)Nestnilpote nte. ii)Laseul evaleurpropredeNest0. N (x)=x n Preuve:SupposonsqueNestnilpote ntedÕodrep.Siestunevale urproprede N,ass oci"ee auve cteurpropreU$C n ,ona 0=N p u=N p"1 Nu=N p"1 u=ááá= p u,

COURS6.13/02/201253

N n [x],de degr"en,don t0estlas eul eracine.On adoncP N (x)=cx n pouruncert ainc$C.Or P N (x)=det(xIN),doncc=1.O na prouv"e que (i)&(ii)&(iii).R" eciproquement, siP N (x)=x n ,le th"eor` emedeCayley-HamiltondonneN n =P N (N)=O.Don cNest nilpotentedÕordreinf"erieurou "egal`an. n (C)esttoujours inf"erieur`an. ÐSiNestunemat ricenilpot enteetdiagonalisable,a lorsNestsembl able`alamatricenulle, doncestnul le. LÕexponentielledÕunematricenilpotenteest, enprincipe,facil e`acalculer.CÕeste nparticulier

SiNestnilpote ntedÕordrep,

e tN =I+tN+ t 2 2 N 2 t (p"1) (p1) N (p"1)

6.1.2Formenorma ledeJordan

PuisquelÕonpeuttoujours triangularis erunematrice( surC),etqu Õalorsl adiagonalecontient lesvaleur spropresdelamatrice( cf.laProposition5.4.1), onvoitqu etoute matricenilpotente estsemblab le`aunematricedelaforme

0'...'

0...0 o`ules'd"esignentuncoecientcomplexedont onignoretout`apriori.Onpe utcependan t d"emontrerler"esultatsuivant:

Proposition6.1.4SoitN$M

k (C)unematric enilpotente.Lamatrice Nestsemblabl e`a unematric ediagonaleparblocsdela forme (6.1.1)N= N 1 N 2 N r Notesdu coursMath318,ann "ee2011/2012.Vers ion1.01.ThierryRamond

COURS6.13/02/201254

o`ucha queblocN M k (R),avec1"k "k,etk 1 +ááá+k r =k,estdelaforme N j

010......0

.010...0 .0 .1

0......0

Revenant`alamatriceAinitiale,onobtientsaformenor male deJordan:

Proposition6.1.5Toutematrice A$M

n (C)estsembl able`aunematricedelaforme A= A 1 A 2 A d avecA j M m j (C)donn"eepar A j T j 1 T j 2 T j r j etT j M k (C)donn"eepar T j j

10......0

j

10...0

.0 .1

0......

j Notesdu coursMath318,ann "ee2011/2012.Versi on1.01.ThierryRamond

COURS6.13/02/201255

j =1( lam atriceN j estdÕunseul bloc), et danscecas A j j

10......0

j

10...0

.0 .1

0......

j

Onpeut aussiavoirr

j =m j (lamatrice N j estconstit u"edem j blocsdetaille1),c equi signiÞequeA j sÕ"ecrit A j j

00......0

j

00...0

.0 .0

0......

j

Exercice6.1.6Dresserlalistedetousl esbloc sA

j possiblespourA$M 2 (C),A$M 3 (C), puispourA$M 4 (C).

6.1.3M"ethodeprati que

Voiciunalgorithm epourcal culerlaformedeJordandÕu nematrice A:

1)D" eterminerlesvaleurspropresetlesvec teursprop resdeA.Si lamatri ceAestdiagonali -

sable,cÕestÞni. Sinon:

2)D" eterminerunebaseadapt"eedechacundess ous-espace spropresg" en"eralis"es.Pource faire,

onpe utproc"ederai nsi:pourchaquevaleurpropre j -On choisi tunvecteurpropree 1,j deAassoci"e`alavaleurpropre j (d"etermin"e`alÕ"etape1).

Oncher chealorse

2,j telque(il sÕagitder"e soudreuns yst`emelin"e airedont lesinconnuessont lescoordonn "eesdee 2,j (A j I)e 2,j =e 1,j

Pouruntelv ecteur onauraene

et (A j I) 2 e 2,j =(A j I)e 1,j =0, donce 2,j $G j .Depluse 1,j ete 2,j serontforc"ementl in"eairementind"ependants:si none 2,j seraitaussiunvect eurpropreasso ci"e`a j et(A j I)e 2,j =0c equ iestabs urde.EnÞ n Ae 2,j =e 1,j j e 2,j Notesdu coursMath318,ann "ee2011/2012.Versi on1.01.ThierryRamond

COURS6.13/02/201256

cequi estlaforme cherch"ee . -O nr"ep` eteceproc"ed"e,auplusm j

1foi s:oncherch ee

k+1,j telque(A j I)e k+1,j =e k,j j telque(A j I) p =0, leproc "ed"esÕar`eteapr`esp1"e tapes:onnefabriquedon cpas asse zdeve cteurspourformer unebasedeG j .On doitalors recommence rleproce ssusavecunautrevecteurproprepour lavaleu rpropre j

Voiciunexempl e:SoitA$M

4 (C)la matrice d"eÞniepar A= 1110
0101
1011
0101
A (x)=((x1) 2 +1) 2 (d"evelopperparrapport`ala premi`erecolonneparexemple).La matriceAadon cdeuxvaleu rspropres 1 =1+iet 2

1i,de multip licit"esalg"ebriquesrespectivesm

1 =m 2 =2.Le ssou s-espac espropresassoci"es sontdedim ension1, engendr"espare 1,1 =(1,0,i,0)et e 2,1 =(1,0,i,0)re spectivement.La matriceAnÕestdoncpasdiagonali sable,eton veutlÕ "ecriresousformedeJordan. -Onchercheunvecteure 1,2 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )telque(A 1 )e 1,2 =e 1,1 .Les yst `emecorres- pondantsÕ"ecrit 1110
0101
1011
0101
x 1 x 2 x 3 x 4 1 0 i 0

Ontrouv ee

1,2 =(0,1,0,i).Puisque m 1 =2on sait qu e(e 1,1 ,e 1,2 )es tunebasedu sous- espacepropreg"en" eralis"esG 1 associ"e`a 1 2 .Onchercheunvecteure 2,2 telque(A 1 )e 2,2 =e 2,1 .Tou scalculsf aits,ontrouvee 2,2 =(0,1,0,i). Finalement,notantPlamatri cedepassagedelabasecan onique` alabaseB,cÕest`adire P= 1010
0101
i0i0 0i0i ona A=P

1+i100

01+i00

001i1 0101i
P "1

Ilrest e`acalculerP

"1 -par exempl eaveclam"ethodedeGaus s.Ontrouve P "1 1 2 10i0 010i 10i0 010i Notesdu coursMath318,ann "ee2011/2012.Vers ion1.01.ThierryRamond

COURS6.13/02/201257

6.1.4Applicationa ucalculdee

tA Onvare tenirl apropositionpr"ec"edent esousun eformeunpeumoinspr"ecise, maisadapt"ee aucal culdelÕexponent ielled Õunematrice. n (C).Ilexisteunematrice inversibleP$M n (C)etuncou pledem atrices(D,N)deMquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16
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