Sans titre
13 févr. 2012 Autrement dit Aj = ?jI + Nj avec Nj matrice nilpotente d'ordre. mj. 6.1.1 Matrices nilpotentes. Définition 6.1.1 Une matrice N 6= 0 est ...
EPITA 2 2017.nb
PARTIE II : Une forme réduite des matrices nilpotentes. 2°) Une propriété de l'indice de nilpotence a) Si f est un endomorphisme nilpotent f d'indice p de
Nilpotent et diagonalisable je taime
http://nicolas.patrois.free.fr/maths/agr%C3%A9gation/documents/nilpotent-diagonalisable-Hoareau.pdf
CORRECTION DS 5 Version A Questions de cours 1 Propriétés
Donc la seule matrice nilpotente et diagonale est la matrice nulle. L'ensemble des matrices symétriques et nilpotentes se ré- duit donc à l'ensemble des
Nombre dendomorphismes nilpotents sur un corps fini
La preuve utilise une propriété importante des endomorphismes cycliques On utilise ici un cas particulier puisqu'une matrice nilpotente d'indice n a ...
Exponentielle de matrices-156
1.1 Définition et propriétés de base (vi) Si une matrice N est nilpotente alors exp(N) ? Id est nilpotente. (vii) Le spectre de exp(A) est {e?
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
sable et d'une matrice nilpotente. • La réduction de Jordan un autre couple vérifiant les propriétés (i) (ii)
CALCUL DES PUISSANCES N-IÈME DUNE MATRICE CARRÉE
Les puissances n-ièmes des matrices nilpotentes sont toutes nulles à partir d'un certain Montrons par récurrence sur n P N? la propriété : €(n) : An.
127 - Exponentielle de matrices. Applications. 1 Définition et
n'existe pas de polynôme P ? K[X] vérifaint cette propriété pour tout A. On note np l'ensemble des matrices nilpotentes d'indice p. Proposition 10.
1 Introduction 2 Théorème de Jordan
c'est-à-dire u = ?Id + n avec n nilpotente. où u est nilpotente. ... ici et utilise le lemme 1 et certaines propriétés des matrices compagnons.
Endomorphismes nilpotents - Université Sorbonne Paris Nord
† Un sous-espace vectoriel maximal dans le c^one nilpotent est semblable au matrice strictement triangulaire sup¶erieure † L’adh¶erence de l’orbite d’un bloc de Jordan de taille maximale est l’ensemble des nilpotents † Donner les sous-espaces stables sous l’action d’un endomorphisme dont la matrice dans la base canonique
leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit megarbanpersomathcnrsfrFeuille d'exercices o12 : Calculs matriciels - CNRS
Exercice 16[Somme de matrices nilpotentes] Montrer que la somme de deux matrices nilpotentes qui commutent est nilpotente Montrer que le résultat est aux en général si les matrices ne commutent pas Exercice 17[Inversibilité et polynôme annulateur] Soit A ?M n(K) On suppose qu'il existe p ?N?et a 0 a p ?K avec a 0 ·a p ?= 0
I Endomorphisme nilpotent trace d’un endomorphisme
En appliquant pfois cette propriété y compris si p= 0 on a gp exp(d) = exp(d) gp Ensuite exp(g) exp(d) = kX(g) X1 p=0 gp exp(d) = k(g)1 p=0 exp(d) gp= exp(d) k(Xg)1 p=0 gp = exp(d) exp(g) b) Si Mest la matrice de fdans une base B Dy est la matrice de d diagonalisable et Ny est la matrice de g nilpotent DN= NDentraine d g= g det M= D+
Nombre d'endomorphismes nilpotents sur un corps ni
La propriété importante que nous utiliserons est qu'un endomorphisme f est cyclique si et seulement si son commutant(1) se réduit à l'ensemble des polynômes en f On utilise ici un cas particulier puisqu'une matrice nilpotente d'indice n a pour polynôme minimal Xn Sur cet exemple on peut démontrer directement la propriété sur le
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D est diagonalisable il est facile de l’écrire comme l’exponentielle d’une matrice polynômeenAenfaisantuneinterpolationdeLagrangemaiscettefois-ciavecunlog (complexe)des? isesvaleurspropres Onremarqueq?irequiertdeconnaîtrelecas n= 1maisilsedéduitducasréelquiestévidentconnaissantlafonctionexponentielle réelle Pour I
Qu'est-ce que la matrice nilpotente ?
Les matrices nilpotentes possèdent une forme réduite particulièrement simple. Un bloc de Jordan nilpotent est une matrice qui ne contient que des 0, sauf pour les coefficients où j est égal à i + 1 qui, eux, valent 1. Alors toute matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale composé de matrices de Jordan nilpotentes.
Est-ce que les matrices nilpotentes sont inversibles ?
Par conséquent, les matrices nilpotentes ne sont pas inversibles et, sur ? ou ?, forment un ensemble négligeable. Si A et B sont deux matrices carrés de même dimension et qui commutent, alors si elles sont nilpotentes, il en est de même de leurs produits et de toutes combinaisons linéaires .
Comment montrer qu'une matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale ?
Alors toute matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale composé de matrices de Jordan nilpotentes. Si A est une matrice nilpotente, alors A est semblable à B avec :
Qu'est-ce que l'indice de nilpotence ?
La plus petite valeur de p vérifiant cela est appelée indice (de nilpotence). L'indice d'un endomorphisme nilpotent est toujours inférieur ou égal à la dimension de l'espace. Remarque : le produit de deux matrices non nulles peut être nul. Par exemple, la matrice est nilpotente d'indice 2, c'est-à-dire que A est non nulle mais A2 = 0.
Exponentielle de matrices-156
1 Introduction
C"est une leçon d"algèbre, donc, ne pas trop insister sur les équations différentielles, mais en même temps, on ne peut pas non plus ne pas en parler. Avoir cette petite figure en tête vous apportera une vision juste de l"enjeu du problème :i 01 Figure1 - Groupe du cercle unité et son espace tangent en11.1 Définition et propriétés de base
SoitKle corps des réels ou des complexes. On définit : exp :Mn(K)! Mn(K); A7!exp(A) =1X k=01k!Ak: Si on posen= 1, on retrouve la fonction exponentielle bien connue1surR et surC.Proposition[1, Proposition VI-2.1]
(i)La série qui définit l"exponentielle converge normalement sur tout com- pact deMn(C). L"exponentielle est une fonction continue (ne pas ou- blier de parler de l"utilisation des normes subordonnées, qui sont sous-multiplicatives).1. L"exemple du casn= 1doit rester un modèle intuitif pour ne pas répondre d"énor-
mité aux questions du jury. 1 (ii)PourAquelconque etPinversible, on a :exp(PAP1) =Pexp(A)P1 etexp(tA) =texp(A). (iii)SiAetBcommutent, on a :exp(A+B) = exp(A)exp(B). (iv)Pour toute matriceA, on a :exp(A)exp(A) = Id = exp(A)exp(A).En particulier,exp(A)est inversible.
(v)Pour une matrice diagonale, on a : exp 0 B @a 10 0an1 C A=0 B @e a10 0ean1 CA(a1;:::;an2C):
(vi)Si une matriceNest nilpotente, alorsexp(N)Idest nilpotente. (vii)Le spectre deexp(A)estfe; 2Spec(A)g. (viii)PourAquelconque,fexp(tA); t2Rgest un sous-groupe deGLn(K).1.2 Différentielle
L"exponentielle est différentiable en la matrice nulle0et sa différentielle est l"identitéIddeMn(C); c"est un difféomorphisme local sur un voisinage de0. Plus précisément, on peut définir son inverse sur la boule ouverte centrée enInde rayon1de n"importe quelle norme subordonnéejj jj: sijjHjj<1, on pose : exp1(In+H) = log(In+H) =X
k1(1)k1Hkk Ceci peut se montrer par des arguments de calcul formel : si l"on prend les définitions delogetexpavec les séries ci-dessus, alorslog(exp(X)) =X est valable pour une indéterminéeX, puisque l"égalité est valable surR. Attention, siAest une fonction dérivable de la variable réellet, alors exp(A)0n"est en général pas égal àA0exp(A). En revanche, cela est vrai si lesA(t)commutent tous entre eux, ce qui va impliquer queA0commute avec A.1.3 Un exemple de calcul
Calculerexp0x
x0 [2, I.6.1] 21.4 Non injectivité
Pour la non injectivité, [1, VI-2.5], il suffit de voir que exp 02 20 = I n= exp(0n): L"injectivité est remplacée par le fait queexp(tA) = exp(tB)pour toutt réel (et même juste dans un voisinage de0), impliqueA=B. C"est finalement ce que l"on appelle lalinéarisation.2 Exponentielle et décomposition de Dunford
2.1 Décomposition de Dunford multiplicative
On rappelle qu"une matriceUest diteunipotentesiUInest nilpotente, ou, de façon équivalente, si son spectre est réduit àf1g.PropositionSurK=C.
1. L "exponentielleen voieune matrice di agonalisable,resp. diagonale, sur une matrice diagonalisable, resp. diagonale. 2. Récipro quement,s iexp(A)est diagonalisable, resp. diagonale, alorsA est diagonalisable, resp. diagonale. 3. L "exponentiellese restrein ten une bijection de l"ensem bledes matrices nilpotentes vers l"ensemble des matrices unipotentes. Son inverse est donnée par la fonction logarithme : log(I n+N) =N12 N2+13N3++ (1)n1n1Nn1;
oùNest nilpotente (et donc,U= In+Nest unipotente). Le point 1 est évident, le point 3 découle de la fonction logarithme ci- dessus qui devient un simple polynôme dans cette situation. IdéePour le point 2, on peut écrire la décomposition de DunfordA=D+ N, puis écrireexp(A) = exp(D) + exp(D)exp(N)In. Par unicité de la décomposition de Dunford, il vientexp(D)exp(N)In= 0et donc exp(N) = In, ce qui impliqueN(In+N0) = 0, avecN0nilpotente, donc N= 0. Ce qui prouve queAest diagonalisable. Le cas diagonale en découle sans trop de soucis (on utilise le fait que l"exponentielle du spectre est le spectre de l"exponentielle).Les choses sont détaillées de façon plus élémentaire dans la référence suivante :
3 ExempleRésoudre l"équation matricielleexp(A) = In, [1, VI, 2.3]. On voit alors que l"exponentielle peut transformer la décomposition de Dun- ford additive en une décomposition de Dunford multiplicative2. Cette dé-
composition se trouve souvent être plus pertinente quand on travaille sur des sous-groupes deGLn(C).2.2 Calcul pratique de l"exponentielle
On peut calculer de l"exponentielle à l"aide de Dunford [Algébrie, Exercice I.6.4]. En effet, siA=D+Nest la décomposition de Dunford et sisont les projecteurs spectraux, oùdécrit le spectre deA, alors exp(D) =X e Aspect algorithmique : Si on sait décomposerAen produitQP, avec
P = (X)n, alors, on a une décomposition en éléments simples 1 A=X R P =P RQ A; avecQ:=Q6=P. Et il vient alors l"identité de Bezout :
X R Q= 1:Une machine calcule alors très facilement:=RQ.
exp(N)se calcule à partir desexp(N)=eexp(NI), avec (NI)nilpotent.2.3 Surjectivité de l"exponentielle
Proposition[1, Exercice VI-B13]
L"exponentielle réalise une surjection deMn(C)surGLn(C). RemarqueLe fait queexpest surjectif (et continue) prouve queGLn(C) est connexe. Mais on peut prendre le problème à l"envers : la connexité de GL n(C)permet de voir que l"exponentielle complexe est surjective (voir parexemple [3, Exercice IX-C1]).2. Toute matrice inversibleAse décompose de façon unique enA=DU, avecD
diagonalisable,Uunipotente etDU=UD. 4 CorollaireL"exponentielle réalise une surjection deMn(R)sur l"ensemble des carrés deGLn(R). idée: Dans le sens inverse, c"est évident. Dans l"autre sens,exp(X) =A, avecA=B2,B2GLn(R). La preuve de la proposition précédente montre même qu"il existe un polynôme complexePtel queexp(P(B)) =B, etX=P(B) +P(B)fait l"affaire3.
3 Décomposition polaire et homéomorphismes
L"exponentielle fait bon ménage avec la décomposition polaire. Effective- ment, la linéarisation est plus automatique puisqueProposition[1, Proposition VI-2.5.1]
L"exponentielle est bijective (c"est même un homéomorphisme) de l"espace des matrices symétriquesSnsur l"ensemble des matrices symétriques définies positivesS++n.4 Applications
4.1 racine n-ième
On trouve une racinen-ième d"une matriceAdeGLn(C)en calculant d"abord une matriceBtelle queexp(B) =A, puis, en posantC= exp(Bn Penser en particulier à la racine carrée dans la décomposition polaire.4.2 Equations différentielles
La solution de l"équation différentielleY0(t) =AY(t), avecY(0) =Y0est donnée parY= exp(tA)Y0. Pour résoudre l"équationY0(t) =AY(t)+B(t), on se ramène à(exp(tA)Y(t))0= exp(tA)B(t), et on intègre.Voir [4].
4.3 Le groupeO(p;q)
DéfinitionSoitpetqdeux entiers naturels. On noteO(p;q)le sous-groupe deGLp+q(R)formé des isométries de la forme quadratique standard surRp+qde signature(p;q), c"est-à-dire :x21++x2px2p+1 x2p+q.3. Admirez l"ingénieuse utilisation des polynômes d"endomorphismes! Les matricesY
etYne commutent pas en général, maisP(B)etP(B)commutent. 5 Proposition[1, Proposition VI-A2] Soitp;q6= 0. Il existe un homéomor- phisme :O(p;q)=O(p)O(q)Rpq:
Idée: On attaqueO(p;q)par la décomposition polaire car la partie sy- métrique se linéarise (injectivité deexpsur les matrices symétriques). Les difficiles équations deO(p;q)se trouvent être linéarisées. Corollaire[1, Corollaire VI-A5] Soitpetqdeux entiers naturels non nuls. (i)Le groupe topologiqueO(p;q)admet quatre composantes connexes, (ii)le sous-groupeH:=fIn;g;h;ghgest un sous-groupe deO(p;q), iso- morphe àZ=2Z2, (iii)l"application, deO(p;q)vers le groupe multiplicatiff1;1g2, qui en- voieA C B D verssgn(det(A));sgn(det(D))est bien définie, et est un morphisme continu et surjectif de groupes, (iv)la composante connexe de l"identité est : SO0(p;q) =A C
B D2SO(p;q) :A2GL+p(R)
A C B D2O(p;q) :A2GL+p(R);D2GL+q(R)
(v)on a :O(p;q)'SO0(p;q)o(Z=2Z)2.4.4 Sous-groupes à un paramètre deGLn(C)
Proposition[3, Proposition IX-A.5.1]
Soit':R!GLn(K)un morphisme continu. Il existe une matriceX2 M n(K)telle que8t2R; '(t) = exp(tX):
4.5 Espaces tangents aux groupes de Lie
Un groupe de Lie est ici un sous-groupe deGLn(C)ayant une structure de sous-variété deMn(C). On voit dans cette proposition une généralisation complète de la situation de la figure 1. On voit aussi que l"exponentielle fournit des cartes pour les structures de variétés des groupes de Lie. Proposition[3, Corollaire IX-A.6.2] PourGun groupe de Lie fermé dans GL n(K)etTeGl"espace tangent àGene= In, on a : T eG=fX2 Mn(K);8t2R;exp(tX)2Gg: 6 ExemplesTe(SLn)est l"espace des matrices de trace nulle, etTe(SOn)est l"espace des matrices anti-symétriques. Entre autres, cette proposition implique facilement queTe(G)\Te(G0) = T e(G\G0), alors qu"en général on n"a que l"inclusion inverse. L"égalité provient justement du fait que l"exponentielle fournit une carte commune àGet àG0. Il n"est pas mauvais de savoir que l"espace tangent à un groupe de Lie possède une structure d"algèbre de Lie : disons dans ce cadre qu"elle est stable par l"application(X;Y)7![X;Y] :=XYY Xappelée crochet de Lie. La preuve de ce résultat s"appuie fortement sur les propriétés de l"exponentielle, mais les preuves sont un peu difficiles à maîtriser. Il faut tout de même bien comprendre l"enjeu de toutes ces techniques : la linéarisation, qui permet par exemple de montrer que l"on a un difféomor- phisme à l"aide de considération de dimensions. Voir par exemple la preuve deProposition[3, Proposition IX-2.1]
On a un isomorphisme dePSL2(C)surSO3(C).
4.6 Théorème de Cartan
Le théorème de Cartan peut être signalé, mais il n"est pas conseillé de le mettre en développement. C"est un théorème profond qui montre que dans le cadre des sous-groupes deGLn(C), une propriété faible (être fermé) implique une propriété forte (être une sous-variété). Théorème de Cartan[3, Théorème IX-A.6.4] SoitGun sous-groupe fermé deGLn(K),K=RouC. AlorsGest un groupe de Lie. Il est bon d"avoir un petite idée de comment l"exponentielle intervient dans la preuve : Idée-clefPar analyse-synthèse, siGétait un groupe de Lie de dimensionm, alors, pour trouver le difféomorphisme local qui assure la définition de sous- variété, on penserait à l"exponentielle, et pour le sous-espace de dimension m, à l"algèbre de LieTe(G). Or, on aTe(G) =fX;exp(tX)2G;8t2Rg. Le fait queGest fermé prouve queTe(G)est bien un sous-espace. A la bonne heure! Mais la difficulté est ensuite de montrer qu"un voisinage de0dansMn(C)sur lequel l"exponentielle est un difféomorphisme, fournit un
difféomorphisme local deTe(G)sur le voisinage correspondant deG. Et cette difficulté provient, en gros, du fait queexp(X+Y)6= exp(X)exp(Y). Qu"à cela ne tienne, on remplace l"exponentielle par une application semblable, mais plus adaptée au problème : on choisit un supplémentaireVdu sous- espaceTe(G)dansMn(C), puis, on considère (plutôt que la fonctionexp) 7 g(A) = exp(X)exp(Y), avecA=X+Ydans la décomposition en somme directeMn(C) =Te(G)V.Développements
Détailler l"équationexp(A) = In(il faut s"attendre ce que l"on nous de- mande la généralisationexp(A) =Ddiagonale!) La surjectivité de l"exponentielle complexe (il faut s"attendre à une discus- sion sur le cas réel). La première proposition sur l"étude deO(p;q).5 Le 6 minutes
Définition analytique de l"exponentielle et premières propriétés (insister sur la convergence normale) Faire la figure 1. Parler du passage de la droite (espace vectoriel) au cercle (le groupe), parler de la non injectivité4, et de sa compensation8Rt;exp(tA) =
exp(tB),A=B. Comment passer du cercle à la droite : la linéarisation. Dunford :expréalise une bijection (un homéomorphisme aussi) des nilpo- tents vers les unipotents. Il reste à s"occuper du cas diagonalisable, qui lui, se ramène à étudier le casn= 1. Parler deAdiagona(lisab)le ssiexp(A) diagon(alisab)le. Parler de la surjectivité. Décomposition polaire : exp réalise une bijection (un homéomorphisme aussi) des symétriques, resp. hermitiennes, vers les symétriques, resp. hermi- tiennes, définie positives. Il reste à s"occuper du cas des orthogonaux, resp. unitaires, mais la relationA=OSpermet souvent de se sortir de la situation.Parler de l"étude deO(p;q).
L"espace tangent en l"identité à un sous-groupe permet par le principe de translation de comprendre tous les espaces tangents en chaque élément du groupe. Il s"exprime en termes d"exponentielle. L"exponentielle permet alors de construire des cartes pour les sous-groupes fermés deGLn, dont le théorème de Cartan dit qu"ils ont une structure de sous-variété deMn(C).Revenir élégamment sur la figure qui illustre bien la tangence.4. déjà coupable pourn= 1, surC, de tous les+2kdans les formules de trigo.
8Références
[1] Philipp eCaldero et Jérôme Germoni. Nouvelles Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries. Calvage et Mounet, 2017. [2] Philipp eCaldero. Carnet de Voyage en Algébrie. Notes de cours parChrystel Bouvier et Elisabeth Bruyère, 2015.
[3] Philipp eCaldero et Jérôme Germoni. Nouvelles Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries-tome 2. Calvage et Mounet, 2018. [4] Joseph Grifone. Algèbre linéaire. Editions Cépaduès, 2015. 9quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36[PDF] cours graphes tes pdf
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