[PDF] EPITA 2 2017.nb PARTIE II : Une forme ré

Sans titre

13 févr. 2012 Autrement dit Aj = ?jI + Nj avec Nj matrice nilpotente d'ordre. mj. 6.1.1 Matrices nilpotentes. Définition 6.1.1 Une matrice N 6= 0 est ...

EPITA 2 2017.nb

PARTIE II : Une forme réduite des matrices nilpotentes. 2°) Une propriété de l'indice de nilpotence a) Si f est un endomorphisme nilpotent f d'indice p de 

Nilpotent et diagonalisable je taime

http://nicolas.patrois.free.fr/maths/agr%C3%A9gation/documents/nilpotent-diagonalisable-Hoareau.pdf

CORRECTION DS 5 Version A Questions de cours 1 Propriétés

Donc la seule matrice nilpotente et diagonale est la matrice nulle. L'ensemble des matrices symétriques et nilpotentes se ré- duit donc à l'ensemble des 

Nombre dendomorphismes nilpotents sur un corps fini

La preuve utilise une propriété importante des endomorphismes cycliques On utilise ici un cas particulier puisqu'une matrice nilpotente d'indice n a ...

Exponentielle de matrices-156

1.1 Définition et propriétés de base (vi) Si une matrice N est nilpotente alors exp(N) ? Id est nilpotente. (vii) Le spectre de exp(A) est {e?

Décomposition de Dunford et réduction de Jordan

sable et d'une matrice nilpotente. • La réduction de Jordan un autre couple vérifiant les propriétés (i) (ii)

CALCUL DES PUISSANCES N-IÈME DUNE MATRICE CARRÉE

Les puissances n-ièmes des matrices nilpotentes sont toutes nulles à partir d'un certain Montrons par récurrence sur n P N? la propriété : €(n) : An.

127 - Exponentielle de matrices. Applications. 1 Définition et

n'existe pas de polynôme P ? K[X] vérifaint cette propriété pour tout A. On note np l'ensemble des matrices nilpotentes d'indice p. Proposition 10.

1 Introduction 2 Théorème de Jordan

c'est-à-dire u = ?Id + n avec n nilpotente. où u est nilpotente. ... ici et utilise le lemme 1 et certaines propriétés des matrices compagnons.

Endomorphismes nilpotents - Université Sorbonne Paris Nord

† Un sous-espace vectoriel maximal dans le c^one nilpotent est semblable au matrice strictement triangulaire sup¶erieure † L’adh¶erence de l’orbite d’un bloc de Jordan de taille maximale est l’ensemble des nilpotents † Donner les sous-espaces stables sous l’action d’un endomorphisme dont la matrice dans la base canonique

leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit megarbanpersomathcnrsfrFeuille d'exercices o12 : Calculs matriciels - CNRS

Exercice 16[Somme de matrices nilpotentes] Montrer que la somme de deux matrices nilpotentes qui commutent est nilpotente Montrer que le résultat est aux en général si les matrices ne commutent pas Exercice 17[Inversibilité et polynôme annulateur] Soit A ?M n(K) On suppose qu'il existe p ?N?et a 0 a p ?K avec a 0 ·a p ?= 0

I Endomorphisme nilpotent trace d’un endomorphisme

En appliquant pfois cette propriété y compris si p= 0 on a gp exp(d) = exp(d) gp Ensuite exp(g) exp(d) = kX(g) X1 p=0 gp exp(d) = k(g)1 p=0 exp(d) gp= exp(d) k(Xg)1 p=0 gp = exp(d) exp(g) b) Si Mest la matrice de fdans une base B Dy est la matrice de d diagonalisable et Ny est la matrice de g nilpotent DN= NDentraine d g= g det M= D+

Nombre d'endomorphismes nilpotents sur un corps ni

La propriété importante que nous utiliserons est qu'un endomorphisme f est cyclique si et seulement si son commutant(1) se réduit à l'ensemble des polynômes en f On utilise ici un cas particulier puisqu'une matrice nilpotente d'indice n a pour polynôme minimal Xn Sur cet exemple on peut démontrer directement la propriété sur le

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D est diagonalisable il est facile de l’écrire comme l’exponentielle d’une matrice polynômeenAenfaisantuneinterpolationdeLagrangemaiscettefois-ciavecunlog (complexe)des? isesvaleurspropres Onremarqueq?irequiertdeconnaîtrelecas n= 1maisilsedéduitducasréelquiestévidentconnaissantlafonctionexponentielle réelle Pour I

Qu'est-ce que la matrice nilpotente ?

Les matrices nilpotentes possèdent une forme réduite particulièrement simple. Un bloc de Jordan nilpotent est une matrice qui ne contient que des 0, sauf pour les coefficients où j est égal à i + 1 qui, eux, valent 1. Alors toute matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale composé de matrices de Jordan nilpotentes.

Est-ce que les matrices nilpotentes sont inversibles ?

Par conséquent, les matrices nilpotentes ne sont pas inversibles et, sur ? ou ?, forment un ensemble négligeable. Si A et B sont deux matrices carrés de même dimension et qui commutent, alors si elles sont nilpotentes, il en est de même de leurs produits et de toutes combinaisons linéaires .

Comment montrer qu'une matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale ?

Alors toute matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale composé de matrices de Jordan nilpotentes. Si A est une matrice nilpotente, alors A est semblable à B avec :

Qu'est-ce que l'indice de nilpotence ?

La plus petite valeur de p vérifiant cela est appelée indice (de nilpotence). L'indice d'un endomorphisme nilpotent est toujours inférieur ou égal à la dimension de l'espace. Remarque : le produit de deux matrices non nulles peut être nul. Par exemple, la matrice est nilpotente d'indice 2, c'est-à-dire que A est non nulle mais A2 = 0.