[PDF] Calculs de dérivées Premi`ere S ES STI - Exercices Corrigés en

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Calculs de derivees

Premiere S ES STI - Exercices

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Derivation

Dans chaque cas, justier quefest derivable surIpuis calculerf(x) :

1.f(x) =x23x+ 5

2.f(x) =x32

3.f(x) =13xDerivee d'un polyn^ome

Dans chaque cas, justier quefest derivable surRet calculer pour tout reelx,f0(x).

1.f(x) = 3x415x22

5x+ 3

2.f(x) = (4x2+ 2)(3x1)

3.f(x) = (4x3)2

4.f(x) =p2

3 (4x25x+ 1)Derivee graphiquement et par le calcul -f0(x)>0

On a trace la courbeCd'une fonctionf

denie et derivable sur [1;4].

La droite (AB) est tangente aCen A.

1.

A l'aide du graphique :

a) Determinerf(0),f0(0),f(3),f0(3). b) Resoudref(x)60. c) Resoudref0(x)>0. 2.

Retrouv erces r esultatspar le calcul sac hantque

f(x) =14 x334 x2.Derivee d'un produit - Derivation et racine Dans chaque cas, justier quefest derivable surDfet calculerf0(x) pour toutx2 Df.

1.f(x) = (3x+ 1)(x2+x) etDf=R

2.f(x) = (x31)pxetDf=]0;+1[Derivee d'un quotient

Dans chaque cas, justier quefest derivable surDfet calculerf0(x) pour toutx2 Df.

1.f(x) =3x

4x

3etDf=] 1;0[[]0;+1[

2.f(x) =3x4

2 +5x

2etDf=] 1;0[1

Derivee d'un quotient

Dans chaque cas, justier quefest derivable surDfet calculerf0(x) pour toutx2 Df.

1.f(x) =32

px etDf=]0;+1[

2.f(x) =x2+x+ 22

etDf=R

3.f(x) =x2+x+ 21xetDf=] 1;1[Derivee d'un quotient

Dans chaque cas, justier quefest derivable surDfet calculerf0(x) pour toutx2 Df.

1.f(x) =5x4etDf=]4;+1[

2.f(x) =5xx4etDf=]4;+1[Derivee et racine carree

Dans chaque cas, justier quefest derivable sur ]0 ; +1[ et calculer pour tout reelx >0,f0(x).

1.f(x) = 4px3x

2.f(x) = 6xpx

3.f(x) =3x2px

Deriver une fonction

Dans chaque cas, justier quefest derivable surIet calculerf0(x).

1.f(x) =16

x3x+ 7 avecI=R

2.f(x) =2x

2+ 1avecI=R

3.f(x) =x2x2x4avecI=Rn f2gErreur classique a eviter de faire sur la derivation

Soitfla fonction denie surR+parf(x) =x2px.

1. Justier que fest derivable sur ]0 ; +1[ et donner pour tout reelxavecx >0, l'expression def0(x).

2.fest-elle derivable en 0? Justier.

3. Ce r esultat etait-ilpr evisible?Derivation - Tangente passant par un point donne

Soitfla fonction denie sur [1; 3] parf(x) =x2+ 4x3. On noteCfla courbe representative defdans un repere

d'origineO. 2

Cet arc de parabole symbolise une colline

(une unite sur le repere represente un hec- tometre dans la realite) et l'axe des abscisses represente le sol. Un observateur est place a l'origine. Il cherche du regard le pointCqui est le point le plus haut de la colline visible.

On noteal'abscisse deC.

1.

Mon trerque

f(a)a =f0(a). 2.

En d eduirel ahauteur en m etres(par

rapport au sol) du pointC.Derivation - Tangentes paralleles On considere la courbeCfrepresentant la fonctionfdenie surRparf(x) =2xx 2+ 1. 1. Mon trerque p ourtout r eela, les tangentes aux points d'abscisses respectivesaetasont paralleles.

2.Cfadmet-elle des tangentes horizontales?Derivation - Tangente parallele a une droite donnee

On notePla parabole representant la fonction carre dans un repere. Determiner l'equation de la tangente aPparallele a

la droite d'equationy=52 x4.Derivation - Determinera,betctels quef(x) =:::

On a represente graphiquement une fonctionfdenie sur [0 ; +1[ parf(x) =ax+bpx+coua,betcsont trois reels a

determiner. La courbe passe par les points A(0 ; 1) et B(4 ; 1). La droite (BC) est tangente a la courbe au pointB. On

donne aussi C(2 ; 2). 1.

On admet que fest derivable sur

]0 ; +1[. Exprimerf0(x) en fonction de aetb. 2.

D eterminerf(0),f(4) etf0(4).

3.

D eduiredes informations pr ecedentesles

reelsa,betc. 4.

P arlecture graphique, r esoudre

l'equationf0(x) = 0. Verier par le calcul.Derivation - Determinera,betctels quef(x) =::: On a represente graphiquement une fonctionfdenie sur ]0 ; +1[ parf(x) =ax+bx ouaetbsont deux reels a determiner.

La courbe passe par le point A

1 ;52 . La droite (AB) est tangente a la courbe au pointA. On donne aussi B(0 ; 4). 3

1.On ad metque fest derivable sur ]0 ; +1[.

Exprimerf0(x) en fonction deaetb.

2.

D eterminerf(1) etf0(1).

3.

D eduiredes informations pr ecedentesles r eels

aetb. 4.

R esoudrepar lecture graphique l' equation

f

0(x) = 0 puis verier par le calcul.Derivation - Tangente commune a 2 paraboles

Determiner une equation de l'unique tangente commune aux courbes representatives des fonctionsfetgdenies surRpar

f(x) =x2etg(x) =x2+ 2x+ 3.Derivation - Paraboles tangentes

On considere les fonctionsf1etf2denies surRpar :

f

1(x) =x2+ 6x2 etf2(x) =x2+ 2x

On noteP1etP2les paraboles representatives def1etf2.

Montrer queP1etP2sont tangentes.

Deux paraboles sont dites tangentes lorsqu'elles ont un point commun et une tangente commune en ce point.Derivation - tangentes passant par un point donne

On notePla parabole representant la fonction carre dans un repere. Determiner les equations des tangentes aPpassant

par le pointA(1 ;3).Un triangle d'aire constante

On a trace une tangente a la courbe

d'equationy=1x . Elle coupe l'axe des ordonnees enMet celui des abscisses en

N. Montrer que l'aire du triangleMNO

est independante de la tangente tracee.Demonstration de la derivee def(x) =k- Derivee d'une constante

Soitfdenie surRparf(x) =koukest une constante reelle. 4

1.D emontrerque fest derivable surRet que pour tout reelx,f0(x) = 0.

2. Ce r esultat etait-ilpr evisible?Demonstration de la derivee def(x) =x fdenie surRparf(x) =x. 1. D emontrerque fest derivable surRet que pour tout reelx,f0(x) = 1. 2. Ce r esultat etait-ilpr evisible?Demonstration de la derivee dex2 Soitfdenie surRparf(x) =x2. Demontrer quefest derivable surRet que pour tout reelx,f0(x) = 2x. 1.

A l'aide du taux d'accroissement.

2. A l'aide de la formule de derivee d'un produit.Comprendre la formule de la derivee dexn 1.

En utili santla form ulede d eriveed'un pro-

duit de deux fonctions, completer le tableau ci-contre. 2.

Soit nun entier naturel non nul etfla fonc-

tion denie surRparf(x) =xn. Conjecturer l'expression def0(x).f(x)f

0(x)fetant derivable surx1R

x 22xR
x 3x

4Demonstration de la derivee de

1x

Soitfla fonction denie surRparf(x) =1x

. Montrer a l'aide du taux d'accroissement quefest derivable surRet que pour tout reelxnon nul, f

0(x) =1x

2Demonstration de la derivee de racine dex

Soitfdenie sur [0;+1[ parf(x) =px.

1. D emontrerque fest derivable sur ]0;+1[ et que pour tout reelx,f0(x) =12 px 2.

D emontrerque fn'est pas derivable en 0.

3.

Ce dernier r esultat etait-ilpr evisible?5

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