[PDF] Corrigé : Exercices de dérivation (Première ES)

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Corrigé : Exercices de dérivation

(Première ES)

Exercice 1 : (Utilisation des formules)

Dériver les fonctions suivantes en précisant le domaine de dérivabilité :

1) f(x) = -5x + 2f est dérivable sur ℝ et f '(x) = - 5

2) g(x) = 2x2 - 4x + 3g est dérivable sur ℝ et g '(x) = 2(2x) - 4

= 4x - 4

3) h(x) = 6

xh est dérivable sur ℝ\{0} et h '(x) = -6 x2 1

5) j(x) = (3x + 2)2

= 9x2 + 12x + 4j est dérivable sur ℝ et j '(x) = 9×2x + 12 = 18x + 12

6) k(x) = 7x+1

x-3k est dérivable sur ℝ\{3}. On pose u(x) = 7x + 1 v(x) = x - 3 u '(x) = 7 et v '(x) = 1. On applique la formule (u v) ' = u'v-uv' v2

D'où : k '(x) = 7(x-3)-(7x+1)

(x-3)2 = 7x-21-7x-1 (x-3)2 = -22 (x-3)2

7) l(x) = 5

x2+1l est dérivable sur ℝ . On pose : u(x) = 5 et v(x) = x2 + 1 u '(x) = 0 v '(x) = 2x . On applique la formule (u v) ' = u'v-uv' v2 l '(x) = -5×2x (x2+1)2 = -10x (x2+1)2

8) m(x) = 4x

u '(x) = 4 et v '(x) = 1 2

D'où : m '(x) = 4

4

9) n(x) = 2

3x3 - 5

4x2 + 2n est dérivable sur ℝ et n '(x) = 2

3×3x2 - 5

4×2x = 2x 2 - 2,5x

10) o(x) =

9x x2+3o est dérivable sur ℝ. On pose u(x) = 9x et v(x) = x2 + 3 u '(x) = 9 et v '(x) = 2x.

On utilise (u

v) ' = u'v-uv' v2 o '(x) = 9(x2+3)-2x(9x) (x2+3)2 = 9x2+27-18x2 (x2+3)2 = -9x2+27 (x2+3)2

Exercice 2 : Tangente + Variations

Soit la fonction f définie par f(x) = 5x+9

3x-41)Ensemble de définition de f :

f est définie si et seulement si 3x - 4 ≠ 0

Or, 3x - 4 = 0 si et seulement si x = 4

3

Donc :

Df = ℝ\{4

3}

2)f est dérivable sur Df . On pose u(x) = 5x + 9 et v(x) = 3x - 4

u '(x) = 5 et v '(x) = 3 . On utilise la formule : (u v) ' = u'v-uv' v2

D'où : f '(x) =

5(3x-4)-3(5x+9)

(3x-4)2 = 15x-20-15x-27 (3x-4)2 = -47 (3x-4)2

3) L'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse - 1 :

(T-1) : y = f '(-1)(x - (-1)) + f(-1) (T-1) : y = -47 (3(-1)-4)2(x + 1) + 5×(-1)+9

3×(-1)-4

(T-1) : y = - 47 49x -
47
49 +
4 -7Donc : (T-1) : y = - 47 49x -
75
49

4) Variations de f sur ]

4

3;+[ :

On sait que f '(x) = -47

(3x-4)2. - 47 < 0 et (3x - 4)2 > 0 sur ]4

3;+[

D'où : f '(x) < 0 sur ]4

3;+[ c'est-à-dire : f est strictement décroissante sur ]

4

3;+[

Tableau de variations de f sur ]

4

3;+[ :

x 4

3+ ∞

Signe de f '(x)-

Variations de f

Exercice 3 : Max ou Min

Soit la fonction g définie sur ℝ par g(x) = 4x3 - 5x2 + 1

1) Dérivée de g :

g est dérivable sur ℝ et g '(x) = 4(3x2) - 5(2x) = 12x 2 - 10x

2) Signe de g ' :

g '(x) = 12x2 - 10x = 2x(6x - 5)

2x > 0 alors x > 0 6x - 5 > 0 alors x > 5

6

Etude du signe de la dérivée :

x- ∞ 05

6+ ∞

Signe de g'+0-0+

3) D'où les variations de g :

x- ∞ 05

6+ ∞

Signe de g '(x)+0-0+

Variations de g1

- 17 1084)
g(5

6)est un minimum local de g sur ℝ car en 5

6 la dérivée de g s'annule et change de signe.

(Voir le tableau de variations de g)quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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