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DERNIÈRE IMPRESSION LE20 août 2017 à 15:44

Relations binaires. Relations

d"équivalence et d"ordre

Table des matières

1 Généralités2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Compatibilité d"une relation avec une loi interne. . . . . . . . . . . 2

1.3 Qualité d"une relation binaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Relation totale ou partielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Relation d"équivalence4

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Classe d"équivalence. Ensemble quotient. . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Relation d"ordre5

3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Relation stricte associée à une relation d"ordre. . . . . . . . . . . . 6

4 Éléments fondamentaux d"un ensemble ordonné7

4.1 Majorant, minorant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Plus grand et plus petit élément. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.3 Borne supérieure et borne inférieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

PAUL MILAN1CPGE-L1 -ALGÈBRE

1. GÉNÉRALITÉS

1 Généralités

En mathématiques, on cherche souvent à comparer deux éléments d"un ensemble ou la propriété que deux éléments d"un ensemble sont susceptibles d"avoir.

1.1 Définition

Définition 1 :Une relation binaireRdéfinie sur un ensembleEest au choix : •une propriété qui relie ou non deux élémentsxetydeE. On notexRypour dire que l"élémentxest en relation avecy

•une partie deE×E. On notexRysi(x,y)?R

?Pour un couple(x,y)?= (y,x)donc on fera la différence entrexRyetyRx. Par exemple siRest la relation < surR: si l"on ax », "?». •La relation surZ" | » :a|bsi "adiviseb». •La relation surZ"≡[n]» :a≡b[n]si queaest congru àbmodulon. •La relation surP(E)"?» :A?Bsi queAest inclus dansB. •La relation sur les droites du plan " //» :d//d?si la droitedest parallèle àd?. •La relation sur les droites du plan "?» :d?d?si la droitedest perpendicu- laire àd?. Remarque :On peut représenter une relation binaire par un graphe ou un dia- gramme sagittal (du latinsagitta: flèche). Par exemple la relation?sur [[0,3]] 01 2 3

1.2 Compatibilité d"une relation avec une loi interne

Définition 2 :SoientRune relation binaire surE. La relationRest compatible avec la loi de composition interne?surEsi : (aRbetcRd)?(a?c)R(b?d)

Exemples :

•La loi?surRest compatible avec l"addition mais pas avec la multiplication. •La loi≡[n]surZest compatible avec l"addition et la multiplication.

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1. GÉNÉRALITÉS

1.3 Qualité d"une relation binaire

Définition 3 :SoitRune relation binaire surE.

•On dit queRest réflexive si :?x?E,xRx

•On dit queRest symétrique si :?x,y?E,xRy?yRx •On dit queRest antisymétrique si :?x,y?E,(xRyetyRx)?x=y •On dit queRest transitive si :?x,y,z?E,(xRyetyRz)?xRz

Exemples :

•La relation d"égalité=surEest réflexive, symétrique, antisymétrique et tran- sitive. •Les relations?et?surRsont réflexives, antisymétrique et transitives. Elles ne sont pas symétriques. •Les relationsurRsont antisymétriques et transitives. Elles ne sont ni réflexives, ni symétriques. •La relation de divisibilité|surZest réflexive et transitive. Elle n"est ni symé- trique, ni antisymétrique : (2|(-2)et-2|2 mais-2?=2) •La relation≡[n]de congruence modulonsurZest réflexive, symétrique et transitive. Elle n"est pas antisymétrique.

1.4 Relation totale ou partielle

Définition 4 :SoitRune relation binaire surE.

•On dit quexetydeEsont comparable parRsi :xRyouyRx. •On dit que la relationRest totale si deux éléments quelconques deEsont comparable :?x,y?E,xRyouyRx •On dit que la relationRest partielle dans le cas contraire.

Exemple :

•Les relations?et?surRsont totales maissont partielles car on ne peut comparer deux éléments identiques. •La relation de divisibilité|surZ?est partielle : on ne peut comparer 3 et 5 car l"un des deux n"est pas un diviseur de l"autre.

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2. RELATION D"ÉQUIVALENCE

2 Relation d"équivalence

2.1 Définition

Définition 5 :SoitRune relation binaire surE.

On dit queRest une relation d"équivalence surEsiRest réflexive, symétrique et transitive. Remarque :Une relation d"équivalence est notée parfois≂ Une relation d"équivalence permet de mettre en relation des éléments qui sont similaires pour une certaine propriété.

Exemples :

•La relation≡[n]surZest une relation d"équivalence. On vérifie facilement qu"elle est réflexive, symétrique et transitive. •Soitα?R. Une autre relation≡[α]surRest une relation d"équivalence : x≡y[α]? ?k?Z,x=y+kα. - Réflexivité :a=a+0×αdonca≡a[α] - Symétrie :a≡b[α]?a=b+kα?b=a+ (-k)α?b≡a[α] - Transitivité : (a≡b[α]etb≡c[α])?(a=b+kαetb=c+k?α)? a=k?α+kα= (k?+k)α?a≡c[α]

2.2 Classe d"équivalence. Ensemble quotient

Théorème 1 :SoitRune loi d"équivalence surE. •On appelle classe d"équivalence d"un élémentxdeE, l"ensembleC(x)des élé- ments deEen relation avecxparR:

C(x) ={y?E,yRx}

•L"ensemble des classes d"équivalence pourRforment une partition deE: leur réunion formeEet sont deux à deux disjointes. •L"ensemble des classes d"équivalence deEpourRest appelé l"ensemble quo- tient deEparRnotéE/R Remarque :Toute classe d"équivalence peut être exprimée en français sous la forme "avoir le même [... ]». Par exemple "avoir le même reste dans la division parn» dansZ. Notation usuelle pour la classe d"équivalence dex: xoux

Pour la relation≡[3]

Troisclassesd"équivalence:?

0 ,1 ,2?

correspondant aux trois restes dans la division par 3

Son ensemble quotient se note :Z/3Z0

reste 01 reste 1

2 reste 2

Z

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3. RELATION D"ORDRE

L"ensemble quotientE/Rest donc un ensemble d"ensembles inclus dansP(E) Démonstration :Montrons queE/Rforme une partition deE.

Notons

xla classe d"équivalence dexpourR. •?x?E,x?xcar réflexivitéxRxon en déduit queE=? x?Ex.

•Montrons que six∩y?=∅alorsx=y.

z? x∩y??zRx zRy??Par symétrie et transitivité xRy?x=y

Exemple :

Un bipoint (A,B) est un couple de

points du plan.

On définit la relationR(équipollence)

telle que : (A,B)R(C,D) si les segments [AD] et [BC] ont même milieu. AB CD I

Rest une relation d"équivalence car :

•[AB] et [BA] ont même milieu donc (A,B)R(A,B). •(A,B)R(C,D)?m[AD] =m[BC]?m[CB] =m[DA]?(C,D)R(A,B) ?(A,B)R(C,D) (C,D)R(E,F)??m[AD] =m[BC] m[CF] =m[DE]??ABDC et CDFEparallélogrammes? ?(AB)//(CD)//(EF)

AB=CD=CF??ABFE parallélogramme

m[AF] =m[BE]?(A,B)R(E,F) La classe d"équivalence du bipoint (A,B) est le vecteur -→AB . C"est une façon de définir proprement un vecteur dans le plan.

3 Relation d"ordre

3.1 Définition

Définition 6 :SoitRune relation binaire surE.

On dit queRest une relation d"ordre siRest réflexive, antisymétrique et transitive. Remarque :On note généralement une relation d"ordre :?,?,?, ... La réflexivité est imposé dans la définition des relations d"ordre. On privilégie les relations d"ordre "large» du type "inférieur ou égal ». La transitivité et l"antisymétrie permettent de hiérarchiser les éléments d"un en- semble.

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3. RELATION D"ORDRE

Exemples :

•Les relations?,?surRsont des relations d"ordre tandis que < et > ne le sont pas par manque de réflexivité. •La relation de divisibilité|est une relation d"ordre surN?(mais pas surZ?) : -?n?N?,n|ndonc|est réflexive. k,k??N??k=k?=1?n=n?donc|est antisymétrique. donc|est transitive. Visualisation d"une relation d"ordre : idée d"orientation. •Lorsque la relation d"ordre est totale comme?dansR. On peut représenterR sur une droite -∞-7-2.5301π203+∞| | | | | ||e|⎷17 •Ce n"est plus le cas lorsque la relation d"ordre est partielle comme par exemple la relation de divisibilité|dans[[1,10]]. Dans ce graphe, on se préoccupe uni- quement de l"orientation des entiers de 1 à 10. 12 3 574

6 9 108

3.2 Relation stricte associée à une relation d"ordre

Définition 7 :Soit?une relation d"ordre surE.

La relation?surEdéfinie par :?x,y?E,x?yetx?=yest antisymétrique et transitive, est appelée la relation stricte associée à?

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