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Une relation binaire R sur un ensemble E est une propriété portant sur les couples R est antisymétrique si pour tout x y ? E (xRy et yRx) ? x = y ;
[PDF] RELATIONS BINAIRES - Christophe Bertault
La relation d'égalité = sur E est réflexive transitive symétrique et antisymétrique • Les relations ? sur et sont réflexives transitives et antisymétriques
[PDF] Relations binaires antisymétriques - IGM
Relations binaires antisymétriques Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E On dit que R est antisymétrique si pour tous x y ? E
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Définition 4 1 Une relation binaire R sur un ensemble E qui est réflexive transitive et antisymétrique est appelée relation d'ordre sur E La plupart
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Une relation non symétrique est dite antisymétrique quand pour tout couple d'éléments distincts considérés si la relation est vérifiée de x vers y elle ne l'
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4 oct 2011 · Ensemble A et ensemble B en relation si leurs éléments sont La relation R sur A est antisymétrique si ?ab ? Aa = b et aRb =? b Ra
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20 août 2017 · Elle n'est pas antisymétrique 1 4 Relation totale ou partielle Définition 4 : Soit ? une relation binaire sur E • On dit que
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La notion de relation en mathématiques généralise toutes ces situations xPrérequisx 2) Dire que la relation est antisymétrique signifie que :
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Une relation binaire R sur un ensemble E est une propriété portant sur les couples R est antisymétrique si pour tout x y ? E (xRy et yRx) ? x = y ;
[PDF] Relation - Université de Toulouse
Relation antisymétrique Antisymétie Une relation R est antisymétrique si pour tout xy ? E vérifiant xRy et yRx alors on a x = y
[PDF] RELATIONS BINAIRES - Christophe Bertault
Antisymétrie : On dit que est antisymétrique si : ?x y ? E x y et y x =? x = y Exemple • La relation d'égalité = sur E est réflexive transitive
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Une relation binaire R sur un ensemble E qui est réflexive transitive et antisymétrique est appelée relation d'ordre sur E La plupart des relations d'ordre
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la relation est antisymétrique { { la relation est transitive Il s'agit bien d'une relation d'ordre Allez à : Exercice 11 : 2 la relation est réflexive
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4 oct 2011 · Ensemble A et ensemble B en relation si leurs éléments sont Exemples de relations antisymétriques (ou non) L'infériorité large
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20 août 2017 · Définition 1 : Une relation binaire ? définie sur un ensemble E est au Les relations ? et ? sur R sont réflexives antisymétrique et
Relation Symétrique Et Antisymétrique PDF - Scribd
"dans l'une [des deux relations] touteS leS relationS ont leur reciproque etc " Il vaut mieux dire : "dans l'une tous les couples en relation ont leur
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Une relation non symétrique est dite antisymétrique quand pour tout couple Le calcul du nombre de relations antisymétriques est un peu plus compliqué
Comment montrer qu'une relation est antisymétrique ?
Plus formellement, une relation ? est dite antisymétrique si elle vérifie la condition suivante : (x ? y ? y ? x) ? x = y. En d'autres termes, si, dans une relation ? on a à la fois le couple (x, y) et son couple réciproque (y, x), alors x et y sont un seul et même élément.Quand Dit-on qu'une relation est symétrique ?
Une relation R est symétrique si pour tout x,y ? E on a xRy si et seulement si yRx. Diagramme cartésien : symétrie par rapport à la diagonale. Diagramme sagittal : quand une fl?he va de a vers b, il y a aussi une fl?he de b vers a. Exemples : Quel que soit l'ensemble, la relation d'égalité = est symétrique.Qu'est-ce qu'un couple binaire ?
En mathématiques, une relation binaire entre deux ensembles E et F (ou simplement relation entre E et F) est définie par un sous-ensemble du produit cartésien E × F, soit une collection de couples dont la première composante est dans E et la seconde dans F. Cette collection est désignée par le graphe de la relation.Une relation R sur un ensemble E est une relation d'équivalence sur E si elle vérifie ces trois propriété :
Réflexivité : Pour tout de x de E, xRx.Symétrie : Pour tout (x,y) de E, si xRy alors yRx.Transitivité : Pour tout (x,y,z) de E si xRy et yRz alors xRz.
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
RELATIONS BINAIRES
Dans tout ce chapitre,Eest un ensemble quelconque.1 RELATIONS BINAIRES SUR UN ENSEMBLE
Les relations sont partout et dans le monde mathématique, et dans la vraie vie. Nous passons notre temps à comparer
des objets, à les mettre en rapport les uns avec les autres selon tel ou tel aspect. Les phrases suivantes, pourtant diverses, sont
toutes l"affirmation d"un lien entre deux objets : " Minou et Matou ont la même couleur de poils », " 3?5 », " Truc
est amoureux de Bidule », " 4 divise 12 », " 1+i et 1-i ont le même module », etc.De quelle manière pourrions-nous définir proprement la notion de relation en mathématiques? QuelOBJETla relation
(x,y)??1,3?2pour lesquelsx Définition(Relation binaire sur un ensemble)On appellerelation binaire sur Etoute partie deE×E. Si?est une telle relation, la proposition(x,y)? ?sera notée de préférencex?ypour tousx,y?E, et lue "xest ?Attention !Parce que le couple(x,y)n"est pas le couple(y,x), la relationx?ypeut être vraie sans que la relation la relation d"égalité=surE, les relations?et pour toutα??, la relation≡[α]de congruence moduloαsur?, définie pour tousx,y??par : La relation d"égalité=surEest réflexive, transitive, symétrique et antisymétrique. Les relations?sur?et??sontréflexives, transitives et antisymétriques. Elles nesontpas symétriques carparexemple La relation La relation | de divisibilité sur?est réflexive et transitive, mais elle n"est pas antisymétrique car par exemple-2|2 Définition(Relation d"équivalence)On appellerelation d"équivalence sur Etoute relation binaire surEà la fois ExempleLa relation d"égalité=surEet la relation " avoir le même signe » sur??sont des relations d"équivalence. ExemplePour toutα??, la relation≡[α]de congruence moduloαsur?est une relation d"équivalence. De manière analogue, pour toutn??, la relation≡[n]de congruence modulonsur?est une relation d"équivalence. Transitivité :Soienta,b,c??. Sia≡b[α]etb≡c[α]:a=b+kαetb=c+lαpour certains Théorème(Classes d"équivalence d"une relation d"équivalence, ensemble quotient)Soit≂une relation d"équi- Classes d"équivalence :Pour toutx?E, l"ensembley?E|x≂yest appelé laclasse d"équivalence de x Ensemble quotient :L"ensemble des classes d"équivalences deEpour≂est appelé l"ensemble quotient de E par Ce que ce théorème raconte, c"est que la relation d"équivalence≂peut être représentée l"intérieur deEdont les éléments sont caractérisés par une nationalité. LemondeEse trouve On peut dire les choses autrement. Toute relation d"équivalence peut être exprimée en français sous la forme " Avoir le même (...) » : " avoir le même signe », " avoir le même reste de division euclidienne parn», etc. Pour toutx?E:x≂xpar réflexivité, doncx?cl(x), donc cl(x)est non vide. Rappelons à cette Soientx,y?E. Pour montrer que cl(x)et cl(y)sont égales ou disjointes, supposons-lesNONdisjointes et montrons qu"elles sont égales. Par hypothèse, nous pouvonsnous donner un élémentzcommun à cl(x)et ExempleLa relation " avoir le même signe » sur??possède deux classes d"équivalence, la classe??+et la classe??-. ExempleSoitα >0. Les classes d"équivalences de?pour la relation de congruence moduloαsont exactement les en- semblesα?+x,xdécrivant[0,α[, sans répétition. L"ensemble quotient associé est donc l"ensemble DémonstrationLe théorème d"existence et d"unicité de la partie entière peut être formulé ainsi : et finalement, après multiplication parα:?x??,?!??[0,α[,x≡?[α]. Cette proposition signifie que tout réel appartient à la classe d"équivalence pour≡[α]d"un et un seul élément de[0,α[. ExempleSoitn???. Nous établirons au prochain chapitre " Arithmétique des entiers relatifs » lethéorème de la division euclidiennesuivant :?a??,?!r??0,n-1?,a≡r[n], selon lequel tout entier relatif appartient à la classe d"équivalence pour≡[n]d"un et un seul élément de?0,n-1?, donc que les classes d"équivalence de?pour cette relation Relation d"ordre :On appelle (relation d")ordre sur Etoute relation binaire surEà la fois réflexive, transitive Quand?est une relation d"ordre, la relationx?yest généralement lue "xest plus petit quey», mais rien ne s"oppose à ce qu"on la lise "xest plus grand quey», c"est pure affaire de convention et il convient seulementd"être cohérent. Être Une relation d"ordre hiérarchise les éléments qu"elle compare, mais qu"attendons-nous intuitivement des notions de clas- Essentiellement la transitivité, c"est ce qui compte le plus. SiAest plus grand queBetBplus grand queC, alorsAest La réflexivité est imposée dans la définition des relations d"ordre mais aurait pu ne pas l"être. L"exiger revient simple- ment à privilégier les relations " inférieurOU ÉGAL» aux relations d"infériorité stricte. L"antisymétrie est un autre choix conventionnel. La relation " être plus âgé (ou du même âge) que » est transitive et réflexive sur l"ensemble des êtres humains, mais pas antisymétrique car deux individus peuvent être nés au même instant. Bien que non antisymétrique, cette relation a pournous la saveur d"une relation hiérarchique. En résumé, les relations d"ordre sont des exemples importants de hiérarchies, mais ne formalisent pas toutes les hiérar- La relation?est une relation d"ordre totale sur?. En particulier, les réels sont tous comparables à 0 positifs ou négatifs et c"est pour cela qu"on a pu définir la valeur absolue|x|d"un réelxen distinguant les casx?0 etx<0. La relation?est une relation partielle d"ordre sur??. Les fonctions cosinus et sinus, par exemple, ne sont pas La relation d"inclusion?est une relation d"ordre sur?(E), partielle dès queEcontient au moins deux éléments. En ExempleLa relation de divisibilité | n"est pas une relation d"ordresur?, mais c"en est une sur?, partielle car 2 et 3 ne DémonstrationNous avons déjà vu que la relation | sur?n"est pas antisymétrique. Travaillons donc sur?. Transitivité :Soientn,n?,n????des entiers pour lesquelsn|n?etn?|n??. Aussitôtn?=knetn??=k?n? Remarque importante. Les relations d"ordre excluent les boucles. Une boucle de la formex1?x2?x3?...?xn?x1 entre des éléments distinctsavecn?2estinconcevable carla transitivité et l"antisymétrie forcent l"égalitéx1=x2=...=xn. Sans boucles, les relations d"ordre ont comme une orientation naturelle. De même que les fleuves et les rivières coulent en direction de la mer sans jamais boucler, on va toujours de l"avant quand on parcourt une relation d"ordre, on ne tourne jamais en rond et c"est ça qui nous fait dire que certains éléments sont plus petits/grands que d"autres. Ona représenté ci-dessous àgauchela relation?sur l"ensemble des parties de1,2,3et àdroite la relation dedivisibilité | sur?1,20?. Le fait que ces relations ne sont pas totales se visualise bien, il ne suffit pas d"UNEfibre pour représenter ces Définition(Relation stricte associée à une relation d"ordre)Soit?une relation d"ordre surE. La relation?sur par transitivité de?. L"égalitéx=zest-elle possible? Le cas échéantx?yety?x, doncx=ypar Partie bornée :On dit queAestbornée(pour?) si elle est à la fois majorée et minorée. L"ensemble8,10,12est minoré par 2 et majoré par 120 pour la relation de divisibilité | sur?. Définition(Plus grand/petit élément, maximum/minimum)Soient?une relation d"ordre surEetAune partie S"IL EN EXISTE UN, un tel plus grand élément est unique et donc appeléLEplus grand élément deA, noté maxA. DémonstrationPour l"unicité, même preuve qu"au chapitre " Compléments sur les réels ». ExempleOn travaille avec la relation d"inclusion?sur?(E)et on suppose queEcontient au moins deux éléments. (i) L"ensemble2,3,6possède un plus grand élément c"est 6 mais pas de plus petitélément. (ii) L"entier 0 est élément de?et plus grand que tout le monde car tout le monde le divise, donc c"est le plus1<3 et 2<3. Formellement, nous pourrions définir la relation
Exemple
1?2 mais 2?1, et de même(x?-→1)?(x?-→2)mais(x?-→2)?(x?-→1).
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
2 RELATIONS D"ÉQUIVALENCE
Démonstration
Réflexivité :Pour touta??:a=a+0×αet 0??, donca≡a[α]. Une classe
d"équivalence Une classe
d"équivalence Une classe d"équivalence
La notion d"ensemble quotient est hors programme mais il n"est pas inutile de l"avoir quelque part en tête. Vous noterez bien que le quotientE≂est unENSEMBLE D"ENSEMBLES, en l"occurrence un ensemble de parties deE. Clairement :E=?
x?Ecl(x)carx?cl(x)pour toutx?E. α?+x|x?[0,α[
α=k+?,
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
3 RELATIONS D"ORDRE
Définition(Relation d"ordre, relation d"ordre totale) Dans le cas contraire, on dit que?estpartielle.
Exemple
Sin=0 :n?=kn=0, doncn=n?.
Sin?=0 :kk?=1, orketk?sont desENTIERS NATURELS,donck=k?=1, doncn=k?n?=n?. 3 Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
3 57111317 194
691014158
1218 2016
Démonstration
Transitivité :Soientx,y,z?E. On supposex?yety?z. En particulierx?yety?z, doncx?z Exemple
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Démonstration
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