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Relation antisymétrique Antisymétie Une relation R est antisymétrique si pour tout xy ? E vérifiant xRy et yRx alors on a x = y



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Antisymétrie : On dit que est antisymétrique si : ?x y ? E x y et y x =? x = y Exemple • La relation d'égalité = sur E est réflexive transitive 



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"dans l'une [des deux relations] touteS leS relationS ont leur reciproque etc " Il vaut mieux dire : "dans l'une tous les couples en relation ont leur 



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Une relation non symétrique est dite antisymétrique quand pour tout couple Le calcul du nombre de relations antisymétriques est un peu plus compliqué

  • Comment montrer qu'une relation est antisymétrique ?

    Plus formellement, une relation ? est dite antisymétrique si elle vérifie la condition suivante : (x ? y ? y ? x) ? x = y. En d'autres termes, si, dans une relation ? on a à la fois le couple (x, y) et son couple réciproque (y, x), alors x et y sont un seul et même élément.

  • Quand Dit-on qu'une relation est symétrique ?

    Une relation R est symétrique si pour tout x,y ? E on a xRy si et seulement si yRx. Diagramme cartésien : symétrie par rapport à la diagonale. Diagramme sagittal : quand une fl?he va de a vers b, il y a aussi une fl?he de b vers a. Exemples : Quel que soit l'ensemble, la relation d'égalité = est symétrique.

  • Qu'est-ce qu'un couple binaire ?

    En mathématiques, une relation binaire entre deux ensembles E et F (ou simplement relation entre E et F) est définie par un sous-ensemble du produit cartésien E × F, soit une collection de couples dont la première composante est dans E et la seconde dans F. Cette collection est désignée par le graphe de la relation.

  • Une relation R sur un ensemble E est une relation d'équivalence sur E si elle vérifie ces trois propriété :

    Réflexivité : Pour tout de x de E, xRx.Symétrie : Pour tout (x,y) de E, si xRy alors yRx.Transitivité : Pour tout (x,y,z) de E si xRy et yRz alors xRz.

Relations binaires antisymétriques

SoitEun ensemble etRune relation binaire surE.On dit queRestantisymétrique si p ourtous x;y2E,xRyetyRx

impliquentx=y.Exemple SoientE:=fe1;e2;e3getRla relation binaire surEvérifiante1Re1,e2Re3et e

3Re2. Ce?e relation binaire n"est pas antisymétrique. En e?et, on peut exhiber

uncontre-exemplequi met en défaut la propriété : on ae2Re3ete3Re2.Exemple La relation binaire6=Nn"est pas antisymétrique. En e?et, on peut exhiber un contre-exemplequi met en défaut la propriété : on a06=N1et16=N0.Exemple La relation binaire6Nest antisymétrique. En e?et, pour tous nombresx;y2N, si l"on ax6Nyety6Nx, alorsx=y.118/240

Relations binaires transitives

SoitEun ensemble etRune relation binaire surE.On dit queResttransitiv esi p ourtous x;y;z2E,xRyetyRz impliquentxRz.Exemple SoientE:=fe1;e2;e3getRla relation binaire surEvérifiante1Re2ete2Re3. Ce?e relation binaire n"est pas transitive. En e?et, on peut exhiber un contre-exemplequi met en défaut la propriété : on ae1Re2,e2Re3ete1Re3.Exemple La relation binaire6Zest transitive. En e?et, pour tous nombresx;y;z2Z, si x6Zyety6Zz, alorsx6Zz.Exemple La relation binaire6=Nn"est pas transitive. En e?et, on peut exhiber un contre-exemplequi met en défaut la propriété : on a06=N1,16=N0et0n"est pas en relation par6=Navec0.119/240

Relations binaires transitives

SoitEun ensemble etRune relation binaire surE.On dit queResttransitiv esi p ourtous x;y;z2E,xRyetyRz impliquentxRz.Exemple SoientE:=fe1;e2;e3getRla relation binaire surEvérifiante1Re2ete2Re3. Ce?e relation binaire n"est pas transitive. En e?et, on peut exhiber un contre-exemplequi met en défaut la propriété : on ae1Re2,e2Re3ete1Re3.Exemple La relation binaire6Zest transitive. En e?et, pour tous nombresx;y;z2Z, si x6Zyety6Zz, alorsx6Zz.Exemple La relation binaire6=Nn"est pas transitive. En e?et, on peut exhiber un contre-exemplequi met en défaut la propriété : on a06=N1,16=N0et0n"est pas en relation par6=Navec0.119/240

Relations binaires transitives

SoitEun ensemble etRune relation binaire surE.On dit queResttransitiv esi p ourtous x;y;z2E,xRyetyRz impliquentxRz.Exemple SoientE:=fe1;e2;e3getRla relation binaire surEvérifiante1Re2ete2Re3. Ce?e relation binaire n"est pas transitive. En e?et, on peut exhiber un contre-exemplequi met en défaut la propriété : on ae1Re2,e2Re3ete1Re3.Exemple La relation binaire6Zest transitive. En e?et, pour tous nombresx;y;z2Z, si x6Zyety6Zz, alorsx6Zz.Exemple La relation binaire6=Nn"est pas transitive. En e?et, on peut exhiber un contre-exemplequi met en défaut la propriété : on a06=N1,16=N0et0n"est pas en relation par6=Navec0.119/240

Relations binaires transitives

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Relations binaires transitives

SoitEun ensemble etRune relation binaire surE.On dit queResttransitiv esi p ourtous x;y;z2E,xRyetyRz impliquentxRz.Exemple SoientE:=fe1;e2;e3getRla relation binaire surEvérifiante1Re2ete2Re3. Ce?e relation binaire n"est pas transitive. En e?et, on peut exhiber un contre-exemplequi met en défaut la propriété : on ae1Re2,e2Re3ete1Re3.Exemple La relation binaire6Zest transitive. En e?et, pour tous nombresx;y;z2Z, si x6Zyety6Zz, alorsx6Zz.Exemple La relation binaire6=Nn"est pas transitive. En e?et, on peut exhiber un contre-exemplequi met en défaut la propriété : on a06=N1,16=N0et0n"est pas en relation par6=Navec0.119/240

Classification des relations binaires usuelles

Voici les principales propriétés des relations binaires usuelles. Ici,Eest un ensemble quelconque,Fest un ensemble de nombres etGest

un ensemble de nombres entiers non nuls.RelationRéflexiveIrréflexiveSymétriqueAntisymétriqueTransitive

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Classification des relations binaires usuelles

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Classification des relations binaires usuelles

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Lecture de propriétés sur les graphes orientés

SoitEun ensemble etRune relation binaire surE.

Il est possible de lire certaines des propriétés deRsur son graphe orienté.Restréf lexivesi chaque sommet x

possède une boucle.x

Restirréf lexivesi aucun sommet x

ne possède de boucle.x

Restsymétrique si dès qu"il e xiste

un arc dexversy, il existe aussi un arc deyversx.xy

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Lecture de propriétés sur les graphes orientés

SoitEun ensemble etRune relation binaire surE.

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SoitEun ensemble etRune relation binaire surE.

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