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Une relation binaire R sur un ensemble E est une propriété portant sur les couples R est antisymétrique si pour tout x y ? E (xRy et yRx) ? x = y ;
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La relation d'égalité = sur E est réflexive transitive symétrique et antisymétrique • Les relations ? sur et sont réflexives transitives et antisymétriques
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Relations binaires antisymétriques Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E On dit que R est antisymétrique si pour tous x y ? E
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Définition 4 1 Une relation binaire R sur un ensemble E qui est réflexive transitive et antisymétrique est appelée relation d'ordre sur E La plupart
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Une relation non symétrique est dite antisymétrique quand pour tout couple d'éléments distincts considérés si la relation est vérifiée de x vers y elle ne l'
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La notion de relation en mathématiques généralise toutes ces situations xPrérequisx 2) Dire que la relation est antisymétrique signifie que :
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Une relation binaire R sur un ensemble E est une propriété portant sur les couples R est antisymétrique si pour tout x y ? E (xRy et yRx) ? x = y ;
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Relation antisymétrique Antisymétie Une relation R est antisymétrique si pour tout xy ? E vérifiant xRy et yRx alors on a x = y
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Antisymétrie : On dit que est antisymétrique si : ?x y ? E x y et y x =? x = y Exemple • La relation d'égalité = sur E est réflexive transitive
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Une relation binaire R sur un ensemble E qui est réflexive transitive et antisymétrique est appelée relation d'ordre sur E La plupart des relations d'ordre
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"dans l'une [des deux relations] touteS leS relationS ont leur reciproque etc " Il vaut mieux dire : "dans l'une tous les couples en relation ont leur
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Une relation non symétrique est dite antisymétrique quand pour tout couple Le calcul du nombre de relations antisymétriques est un peu plus compliqué
Comment montrer qu'une relation est antisymétrique ?
Plus formellement, une relation ? est dite antisymétrique si elle vérifie la condition suivante : (x ? y ? y ? x) ? x = y. En d'autres termes, si, dans une relation ? on a à la fois le couple (x, y) et son couple réciproque (y, x), alors x et y sont un seul et même élément.Quand Dit-on qu'une relation est symétrique ?
Une relation R est symétrique si pour tout x,y ? E on a xRy si et seulement si yRx. Diagramme cartésien : symétrie par rapport à la diagonale. Diagramme sagittal : quand une fl?he va de a vers b, il y a aussi une fl?he de b vers a. Exemples : Quel que soit l'ensemble, la relation d'égalité = est symétrique.Qu'est-ce qu'un couple binaire ?
En mathématiques, une relation binaire entre deux ensembles E et F (ou simplement relation entre E et F) est définie par un sous-ensemble du produit cartésien E × F, soit une collection de couples dont la première composante est dans E et la seconde dans F. Cette collection est désignée par le graphe de la relation.Une relation R sur un ensemble E est une relation d'équivalence sur E si elle vérifie ces trois propriété :
Réflexivité : Pour tout de x de E, xRx.Symétrie : Pour tout (x,y) de E, si xRy alors yRx.Transitivité : Pour tout (x,y,z) de E si xRy et yRz alors xRz.
Chapitre 4
Relations binaires sur un ensemble.
De fa¸con informelle, une relation binaire sur un ensemble E est une proposition qui lie entre eux certains ´el´ements de cet ensemble. Plus proprement, une relation binaire R sur un ensemble E est d´efinie par une partie G de E E . Si ( x,y ∈ G on dit que x est en relation avec y et on le note " x R yExemple
: si E P F ), ensemble des parties d'un ensemble F , on peut d´efinir la relation d'inclusion entre ´el´ements de E . Si A et B sont deux parties de F , on dit que " A est inclus dans B " et on ´ecrit " A B " si les ´el´ements de A appartiennent tous `a BL'exemple ci-dessus poss`ede en outre les propri´et´es caract´eristiques de ce que l'on appelle
une relation d'ordre . Pour d´efinir cette notion, on introduit un peu de vocabulaire - une relation binaire R sur un ensemble E est r´eflexive si x E x R x(4.1) - une relation binaire R sur un ensemble E est transitive si x,y,z E, x R y et y R z x R z (4.2) - une relation binaire R sur un ensemble E est sym´etrique si x,y E, x R y y R x )(4.3) - une relation binaire R sur un ensemble E est antisym´etrique si x,y E, x R y et y R x x y (4.4)4.1 Relations d'ordre
D´efinition 4.1.
Une relation binaire
R sur un ensemble E qui est r´eflexive, transitive et antisym´etrique est appel´ee relation d'ordre sur ELa plupart des relations d'ordre sont not´ees
ou (`a l'exception notable de l'inclusion et de la divisibilit´e). Un ensemble E muni d'une relation d'ordre est dit ordonn´e , et on utilise la notation ( E, ) pour s'y r´ef´erer. Deux ´el´ements x et y d'un ensemble E muni d'une relation d'ordre sont dits comparables si x y ou y x . Si tous les ´el´ements de E sont deux `a deux comparables la relation d'ordre est dite totale 254.1.1 Exemples
1. la relation d'ordre usuelle sur
R (ou sur Q2. la relation de divisibilit´e dans
N (ou dans Z m n si il existe q N (resp. Z ) tel que n qm3. la relation d'inclusion entre parties d'un ensemble
E Les deux derniers exemples ne sont pas des ordres totaux. On d´efinit maintenant les notions (cruciales) de majorant minorant borne sup´erieure et borne inf´erieureD´efinition 4.2.
Soient (
E, ) un ensemble ordonn´e et A une partie de E1. Un ´el´ement
m de E est un minorant de A si x A,m x2. Un ´el´ement
M de E est un majorant de A si x A,x M Une partie admettant un majorant (resp. minorant) est dite major´ee (resp. minor´ee). Une partie major´ee et minor´ee est dite born´ee.Un ´el´ement d'une partie
A de E est le plus grand ´el´ement (ou le maximum ) de A s'il majore tous les ´el´ements de A . De mˆeme, un ´el´ement d'une partie A de E est le plus petit ´el´ement (ou le minimum ) de A s'il minore tous les ´el´ements de AD´efinition 4.3.
Soient (
E, ) en ensemble ordonn´e et A une partie de E - Si l'ensemble des majorants de A admet un plus petit ´el´ement, cet ´el´ement est appel´e borne sup´erieure et est not´e sup A - Si l'ensemble des minorants de A admet un plus grand ´el´ement, cet ´el´ement est appel´e borne inf´erieure et est not´e inf ARemarque.
Si A admet un maximum, alors il admet une borne sup´erieure et max A = sup ADe mˆeme, si
A admet un minimum, alors il admet une borne inf´erieure et min A = inf A . Les r´eciproques sont fausses!4.2 Relations d'´equivalence.
D´efinition 4.4.
Une relation d'´equivalence
R sur un ensemble E est une relation binaire qui est `a la fois r´eflexive, sym´etrique et transitive.D´efinition 4.5.
La classe d'´equivalence d'un ´el´ement
x de E , not´ee Cl R x ) , est l'ensemble des ´el´ements de E qui sont en relation avec x Cl R x y E x R yProposition 31.
1. x E, x Cl R x 2. Cl R y ) = Cl R xquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12[PDF] relation d'equivalence exercice corrigé pdf
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