RELATION BINAIRE
Exercice 5 : Soit un ensemble et soit une partie de . On définit dans ( ) la relation d'équivalence en posant pour tout couple ( )
Relations déquivalence Exercice 1. ? “) Exercice 2. ? “) Exercice 3. ?
25 Sept 2018 Montrer que R est une relation d'équivalence. Donner la classe d'équivalence de (1; 2). Exercice 11. ? “. Sur R.
Relation déquivalence relation dordre
et après une étude de fonction on calculera le nombre d'antécédents possibles. 2. Page 3. Correction de l'exercice 1 ?. 1. Soient
1 Exemples simples de relations déquivalence 2 Construction de
autre relation (d'équivalence ou non). Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type. Exercice 5. Soit E et F deux ensembles
TD no 7 — Relations déquivalence
Étant donné un réel x calculer sa classe d'équivalence. Combien y a-t-il d'éléments dans cette classe ? Exercice 3. On définit une relation ? sur P(
Corrigé du TD no 7
Il est facile de vérifier que cette application est bijective d'où le résultat. 2. Page 3. Exercice 5. On considère la relation R sur Z × Z?
Arithmétique FICHE I: Relations déquivalence Exercice 1. Trouver
(2) Lister les classes d'équivalence et donner l'ensemble quotient E/R. Exercice 3. On considère la relation d'équivalence sur R2 définie par.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 129 Relation d'équivalence quotient. Soient R et S deux relations d'équivalence sur un ensemble E telles que : ? x
TD 2 : Relations dordre et déquivalence
Exercice 3 : On pose I = [0; 2[ et on munit I de la relation d'ordre ?. 1. Est-ce que I admet un majorant ? une borne supérieure ? un plus grand élément ? 2.
Séance du 09/02/2013 du club de maths dOrsay Relations d
9 Feb 2013 Exercice 2. Parmi ces relations binaires dire lesquelles sont des relations d'équivalence : La relation d'ordre ? sur R. La relation = sur ...
Exercices corrigés -Relations déquivalence et relations dordre
Exercices corrigés - Relations d'équivalence et relations d'ordre · La relation n'est pas réflexive : une droite n'est pas orthogonale à elle-même · La relation
[PDF] RELATION BINAIRE - Licence de mathématiques Lyon 1
Exercice 2 : 1 Montrer que la relation de congruence modulo [ ] Est une relation d'équivalence sur 2 En vous servant de la division euclidienne
[PDF] Corrigé du TD no 7
Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive symétrique ou transitive 1 La relation R sur Q définie par : xRy ? xy = 0
[PDF] Relations déquivalence - Thierry Sageaux
25 sept 2018 · Exercice 14 Soient E et F deux ensembles et f ? FE Soit R la relation définie sur E par xRy
[PDF] Relations binaires - Xiffr
Montrer que S est une relation d'équivalence et que R permet de définir une relation d'ordre sur les classes d'équivalences de S Exercice 5 [ 02985 ] [
[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz ? z = z 1 Montrer que R est une relation d'équivalence 2 Déterminer la classe d'équivalence de
[PDF] 1 Relations binaires 2 Relations déquivalence 3 Relations dordre
Une relation binaire est une relation d'équivalence si et seulement si elle est réflexive symétrique et transitive Exemples Le parallélisme est une relation
[PDF] Relation déquivalence Relation dordre
Exercice 1 1 Soit E = N × N on définit R par : (a b)R(a b ) ? a + b = b + a Montrer que R est une relation d'équivalence Identifier E/R
[PDF] Relations binaires sur E Relations d´equivalence Relations dordre
Exercice corrigé en amphi Soit ? la relation binaire définie sur l'ensemble des entiers relatifs par : a?b si et seulement si a - b est pair (a) Montrer que
[PDF] 1 Exemples simples de relations déquivalence 2 Construction de
Exercice 5 Soit E et F deux ensembles et f : E ? F une application On définit le relation ?f sur E comme suit : x ?f y ssi f(x) = f(y)
Comment déterminer une relation d'équivalence ?
Une relation binaire est une relation d'équivalence si et seulement si elle est réflexive, symétrique et transitive. deux ensembles, et f une application de E dans F. La relation sur E définie par aRb ? f(a) = f(b) est une relation d'équivalence.Comment montrer qu'une relation est une relation d'équivalence ?
Une relation R sur un ensemble E est une relation d'équivalence sur E si elle vérifie ces trois propriété :
Réflexivité : Pour tout de x de E, xRx.Symétrie : Pour tout (x,y) de E, si xRy alors yRx.Transitivité : Pour tout (x,y,z) de E si xRy et yRz alors xRz.Quelle est la relation d'équivalence ?
Définition formelle
Une relation d'équivalence sur un ensemble E est une relation binaire ~ sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive. Plus explicitement : ~ est une relation binaire sur E : un couple (x, y) d'éléments de E appartient au graphe de cette relation si et seulement si x ~ y.- Plus formellement, une relation ? est dite antisymétrique si elle vérifie la condition suivante : (x ? y ? y ? x) ? x = y. En d'autres termes, si, dans une relation ? on a à la fois le couple (x, y) et son couple réciproque (y, x), alors x et y sont un seul et même élément.
Université d"Aix-Marseille Portail Descartes
Semestre 12019-2020
Planche 5
Relations d"équivalenceSoitEun ensemble; une relationsurEest diterelation d"équivalencesi elle est :
réflexive :8x2E; xx symétrique :8x2E;8y2E;sixyalorsyx transitive :8x2E;8y2E;8z2E;sixyetyzalorsxz.1 Exemples simples de relations d"équivalence
Précisez si les relations suivantes sont des relations d"équivalence. Si les relations ne le sont pas, précisez laquelle
(ou lesquelles) des trois propriétés de définition n"est pas remplie.Exercice 1(Relations surE=R)
1.xyssijxyj<1.
2.xyssixy2Q.
3.xyssix+y2Q.
Exercice 2(Relations surE=Z.)
1.xyssixy2
2Zouxy3
2Z.2.xyssix+y= 2.
3.xyssi9p2Z;9q2Zxp=yq.
Exercice 3(Relations sur l"ensembleEdes droites du plan )1.d1d2ssid1jjd2.
2.d1d2ssid1?d2.
Exercice 4(Relations sur l"ensembleEdes applicationsf:R!R)1.fgssi l"ensembleEf;g:=fx2R:f(x)6=g(x)gest fini.
2.fgssi l"ensembleEf;gest vide ou a un seul élément.
2 Construction de relations d"équivalence à partir des applications
ou d"autres relationsIl est parfois possible de construire une relation d"équivalence utile à partir d"une application ou à partir d"une
autre relation (d"équivalence ou non). Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type.
Exercice 5
SoitEetFdeux ensembles, etf:E!Fune application. On définit le relationfsurEcomme suit : xfyssif(x) =f(y):Prouvez queest une relation d"équivalence.
Exercice 6
SoitE=fa; b; c; dget la relationsurEdont l"ensemble suivant donne la liste de tous les couples(x;y)tels
quexy: G1. Laquelle (ou lesquelles) des trois propriétés définissant une relation d"équivalence n"est pas respectée par?
2. Rajouter à l"ensembleGun couple(x;y)2EEde sorte que la nouvelle relation ainsi formée soit une
relation d"équivalence. Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalenceExercice 7SoitEun ensemble, et1,2, deux relations d"équivalence surE. On définit la réunion des relations1et2
comme étant la relationUsurE: xUyssi(x1youx2y); et l"intersection des relations1et2comme la relationSsurE: xSyssi(x1yetx2y):1. Est-ce queUest une relation d"équivalence?
2. Même question pourS.
3 Classe d"équivalence d"un élément
SoitEun ensemble etune relation d"équivalence surE. Pour tout élémentx2E, le sous-ensemble [x] =fy2E:xyg deEs"appelle laclasse d"équivalencedexdansE. On a les propriétés : -8x2E;x2[x]; -8x2E;8y2E; xyssi[x] = [y]; -8x2E;8y2E;non(xy)ssi[x]\[y] =;:Les exercices suivants (8-12) sont des cas particuliers de la construction d"une relation d"équivalence décrite à
l"exercice 5.Exercice 8
Soit la relationsurR2définie par :
(x;y)(x0;y0)ssix=x0:1. Trouvez une applicationf:R2!Rtelle que la relationsoit de la formef.
2. Déterminer[(x0;y0)], la classe d"équivalence d"un élément(x0; y0)deR2.
Exercice 9
Soit la relationsurC(l"ensemble des nombres complexes) définie par : zz0ssijzj=jz0j:1. Trouvez une applicationf:C!Rtelle que la relationsoit de la formef.
2. Déterminer[z0], la classe d"équivalence d"un élémentz0deC.
Exercice 10
Soit la relationsurRdéfinie par :
xyssix2y2=xy:1. Trouvez une applicationf:R!Rtelle que la relationsoit de la formef.
2. Déterminer[1], la classe d"équivalence du nombre réel1.
3. Trouvez tous lesa2Rdont la classe d"équivalence[a]est un ensemble qui ne contient qu"un seul élément.
Exercice 11
Soit la relationsurRdéfinie par :
xyssixey=yex:1. Trouvez une applicationf:R!Rtelle que la relationsoit de la formef.
2. Déterminer[1], la classe d"équivalence de1, et[1], la classe d"équivalence de1.
3. Trouvez tous lesx2Rdont la classe d"équivalence est un ensemble qui ne contient qu"un seul élément.
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