RELATION BINAIRE
Exercice 5 : Soit un ensemble et soit une partie de . On définit dans ( ) la relation d'équivalence en posant pour tout couple ( )
Relations déquivalence Exercice 1. ? “) Exercice 2. ? “) Exercice 3. ?
25 Sept 2018 Montrer que R est une relation d'équivalence. Donner la classe d'équivalence de (1; 2). Exercice 11. ? “. Sur R.
Relation déquivalence relation dordre
et après une étude de fonction on calculera le nombre d'antécédents possibles. 2. Page 3. Correction de l'exercice 1 ?. 1. Soient
1 Exemples simples de relations déquivalence 2 Construction de
autre relation (d'équivalence ou non). Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type. Exercice 5. Soit E et F deux ensembles
TD no 7 — Relations déquivalence
Étant donné un réel x calculer sa classe d'équivalence. Combien y a-t-il d'éléments dans cette classe ? Exercice 3. On définit une relation ? sur P(
Corrigé du TD no 7
Il est facile de vérifier que cette application est bijective d'où le résultat. 2. Page 3. Exercice 5. On considère la relation R sur Z × Z?
Arithmétique FICHE I: Relations déquivalence Exercice 1. Trouver
(2) Lister les classes d'équivalence et donner l'ensemble quotient E/R. Exercice 3. On considère la relation d'équivalence sur R2 définie par.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 129 Relation d'équivalence quotient. Soient R et S deux relations d'équivalence sur un ensemble E telles que : ? x
TD 2 : Relations dordre et déquivalence
Exercice 3 : On pose I = [0; 2[ et on munit I de la relation d'ordre ?. 1. Est-ce que I admet un majorant ? une borne supérieure ? un plus grand élément ? 2.
Séance du 09/02/2013 du club de maths dOrsay Relations d
9 Feb 2013 Exercice 2. Parmi ces relations binaires dire lesquelles sont des relations d'équivalence : La relation d'ordre ? sur R. La relation = sur ...
Exercices corrigés -Relations déquivalence et relations dordre
Exercices corrigés - Relations d'équivalence et relations d'ordre · La relation n'est pas réflexive : une droite n'est pas orthogonale à elle-même · La relation
[PDF] RELATION BINAIRE - Licence de mathématiques Lyon 1
Exercice 2 : 1 Montrer que la relation de congruence modulo [ ] Est une relation d'équivalence sur 2 En vous servant de la division euclidienne
[PDF] Corrigé du TD no 7
Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive symétrique ou transitive 1 La relation R sur Q définie par : xRy ? xy = 0
[PDF] Relations déquivalence - Thierry Sageaux
25 sept 2018 · Exercice 14 Soient E et F deux ensembles et f ? FE Soit R la relation définie sur E par xRy
[PDF] Relations binaires - Xiffr
Montrer que S est une relation d'équivalence et que R permet de définir une relation d'ordre sur les classes d'équivalences de S Exercice 5 [ 02985 ] [
[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz ? z = z 1 Montrer que R est une relation d'équivalence 2 Déterminer la classe d'équivalence de
[PDF] 1 Relations binaires 2 Relations déquivalence 3 Relations dordre
Une relation binaire est une relation d'équivalence si et seulement si elle est réflexive symétrique et transitive Exemples Le parallélisme est une relation
[PDF] Relation déquivalence Relation dordre
Exercice 1 1 Soit E = N × N on définit R par : (a b)R(a b ) ? a + b = b + a Montrer que R est une relation d'équivalence Identifier E/R
[PDF] Relations binaires sur E Relations d´equivalence Relations dordre
Exercice corrigé en amphi Soit ? la relation binaire définie sur l'ensemble des entiers relatifs par : a?b si et seulement si a - b est pair (a) Montrer que
[PDF] 1 Exemples simples de relations déquivalence 2 Construction de
Exercice 5 Soit E et F deux ensembles et f : E ? F une application On définit le relation ?f sur E comme suit : x ?f y ssi f(x) = f(y)
Comment déterminer une relation d'équivalence ?
Une relation binaire est une relation d'équivalence si et seulement si elle est réflexive, symétrique et transitive. deux ensembles, et f une application de E dans F. La relation sur E définie par aRb ? f(a) = f(b) est une relation d'équivalence.Comment montrer qu'une relation est une relation d'équivalence ?
Une relation R sur un ensemble E est une relation d'équivalence sur E si elle vérifie ces trois propriété :
Réflexivité : Pour tout de x de E, xRx.Symétrie : Pour tout (x,y) de E, si xRy alors yRx.Transitivité : Pour tout (x,y,z) de E si xRy et yRz alors xRz.Quelle est la relation d'équivalence ?
Définition formelle
Une relation d'équivalence sur un ensemble E est une relation binaire ~ sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive. Plus explicitement : ~ est une relation binaire sur E : un couple (x, y) d'éléments de E appartient au graphe de cette relation si et seulement si x ~ y.- Plus formellement, une relation ? est dite antisymétrique si elle vérifie la condition suivante : (x ? y ? y ? x) ? x = y. En d'autres termes, si, dans une relation ? on a à la fois le couple (x, y) et son couple réciproque (y, x), alors x et y sont un seul et même élément.
FACULTÉ DESSCIENCESJEANPERRINLICENCE2 MATH
Arithmétique
FICHE I: Relations d"équivalenceExercice 1.Trouver toutes les relations d"équivalence possibles sur l"ensemble
f1;2;3g. Exercice 2.SoitE=f1;2;3;4;5getRla relation binaire donnée par (1) Vérifier que Rest une relation d"équivalence. (2) Lister les c lassesd"équivalence et donner l"ensemble quotient E=R. Exercice 3.On considère la relation d"équivalence surR2définie par (x1;y1)R(x2;y2),x21+y21=x22+y22: (1)Montrer que Rest une relation d"équivalence.
(2) Décrire la c lassed"équivalence d"un point quelconque (x;y). (3)Montrer que l"appl ication
R2=R!R+
(x;y)7!x2+y2 est bien définie et que c"est une bijection. Exercice 4.SoitEl"ensemble des nombres premiers strictements supérieurs à2. On considère la relationRsurEdéfinie par : pRq()p+q2 2E: Cette relation est-elle une relation d"équivalence? Exercice 5.Les relationsRdéfinies ci-dessous sont-elles des relations d"équi- valence surC? (1)zRz0() jzj=jz0j (2)zRz0()ez=ez0 (3)zRz0() jzz0j= 1 (4)zRz0() jzz0j<1 (5)zRz0() jezz0j= 1 Exercice 6.SoitEun ensemble etx2E. Les relationsRdéfinies ci-dessous sont-elles des relations d"équivalence surP(E)? (1)ARB()AB (2)ARB()A\B6=; (3)ARB()x2A[B (4)ARB()(x2A\Boux2A\B) 1 Exercice 7.SoitEun ensemple etAE. On définit surP(E)la relation d"équivalenceRparXRY()A\X=A\Y:
(1) Vérifier que Rest une relation d"équivalence. (2)Expliciter les c lassesde ;,E,AetA.
(3) Montrer que si B=A\X, alorsBest l"unique représentant deXinclus dansA. (4)Trouver une bijection entre P(E)=RetP(A).
Exercice 8.SoitRla relation binaire définie surRpar xRy()x2y2=xy: (1)Montrer que Rest une relation d"équivalence.
(2) Déterminer la c lassed "équivalencede xpour tout réelx. (3)Déterminer l"ensemble quot ient.
Exercice 9.SoitU12l"ensemble des racines 12-èmes de l"unité dansC. On dé- finit dessus la relation binaireR()4=4:
(1)Montrer que c"est une relat iond"équivalence .
(2) Décrire l"ensemble des c lassesd"équivalence . Exercice 10.SoitRla relation binaire définie surZNpar (a;b)R(c;d)()ad=bc: (1)Montrer que c"est une relat iond"équivalence .
(2) Montrer que toute c lasseadmet un uniq uereprésentant (p;q)avecpgcd(p;q) = 1. (Félicitations, vous venez de construire les rationnels à partir des nombres en- tiers.) Exercice 11.Dans la situation de l"exercide 3, montrer que la relation d"équi- valenceRest en fait égale àRfpour une fonctionfbien trouvée (cf. cours). Revoir la dernière question à la lumière de cette nouvelle interprétation. Exercice 12.Faire de même pour l"exercice 5, dans les cas où l"on a bien une relation d"équivalence.Exercice 13.8 Faire de même pour l"exercice 5.
Exercice 14.SoitEl"ensemble des fonctions continues par morceaux de[0;1] dansR(i.e. continues sauf en un nombre fini de points). Muni de l"addition des fonctions, c"est un groupe abélien. On considère l"application:E!Rqui envoie une fonction vers son intégrale sur[0;1]. SoitFle sous-ensemble deE constitué des fonctions qui sont nulle sauf en un nombre fini de points. (1)Montrer que Fest un sous-groupe deE.
(2) Quand deux fonctions sont-ell eséquivalentes par la relation associée à F? (3)Montrer que passe au quotientE=F.
2 Exercice 15.Soitn2N. On considère la fonctionpgcd(;n) :Z!Zqui à un entiermassociepgcd(m;n). (Rappelons que sin2N,pgcd(0;n)est bien défini et vautn.) (1) Montrer que cette fonction pas seaux c lassesd"équivalence modulo n. (2) En déduire une a pplicationpgcd(() modn;n) :Z=nZ!Z=nZtelle que pgcd(mmodn;n) = pgcd(m;n) modn. (3) P ourq uelsentiers k2Nla fonctionpgcd(;k)passe-t-elle aux classes mo- dulon? Exercice 16.Dans le contexte de l"exercice 10, on définit la loi + suivante sur ZN: (a;b) + (c;d) = (ad+bc;bd) (où le + du membre de droite est l"addition usuelle des entiers). (1) Montrer que cette loi est associative ,commutative ,qu"elle a un élément neutre, mais que la plupart des éléments n"ont pas d"opposé. (2) Montrer que cette loi passe au quotient par l arelation d"équivalence de l"exercice 10. (3) Montrer que la l oiinduite sur le quotient est une loi de groupe ,abélien de surcroit. (Félicitations, vous venez de définir l"addition des rationnels.) Exercice 17.Soit?une loi interneEE!Equi passe au quotient par une relation d"équivalenceRsurE. Montrer que si?est associative ou commutative, il en est de même de la loi induite sur le quotientE=R. 3quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43[PDF] ordre de grandeur de la voie lactée
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