[PDF] INSA Toulouse cycle préparatoire Mathématiques - Analyse 1

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INSA Toulouse, cycle preparatoire

Mathematiques - Analyse 1

Comportement de fonctions : equivalences de fonctions, developpements limites, developpements asymptotiques. Integration : integrales simples, fonctions rationnelles, integrales generalisees. Ressources issues de nombreux enseignants (-chercheurs) de la communaute et tout particulierement de l'INSA Toulouse, departement de mathematiques appliquees (GMM).

Polycopie edite par J. Monnier, professeur INSA.

jerome.monnier@insa-toulouse.fr

Table des matieres

partie 1. Equivalences, Developpements Limites, Developpements

Asymptotiques1

Chapitre 1. Equivalences de fonctions 1

1. Comparaison de fonctions 1

2. Calculs de limites a l'aide d'equivalents 8

Chapitre 2. Formules de Taylor & Developpements Limites 11

1. Formules de Taylor 11

2. Developpements limites 13

3. Recapitulatif des Developpements Limites des fonctions usuelles en 0 27

Chapitre 3. Developpements Asymptotiques 29

1. Principe et premier exemple 29

2. Etude des branches innies de fonctions 30

3. Calcul de limites a l'aide de DL et DA 33

partie 2. Integration35

Chapitre 4. Integrales simples 37

1. Generalites 37

2. Fonctions en escalier 38

3. Denition de l'integrale 40

4. Proprietes fondamentales des fonctions integrables 41

5. Primitives 43

6. Pour aller plus loin : Conditions susantes d'integrabilite; Inegalite de

Cauchy-Schwarz 45

7. Pour aller plus loin : quelques proprietes fondamentales de l'integrale 46

Chapitre 5. Primitives de fonctions rationnelles 49

4 Table des matieres

1. Primitives des termes de la forme

1(xa)n49

2. Primitives des termes de la forme

ax+b(x2+px+q)n50

3. Pour aller plus loin : Polyn^omes et fractions en sinus et cosinus 52

4. Polyn^omes en sinx;cosx52

5. Fractions en sinxet cosx53

6. Pour aller plus loin : fonctions hyperboliques sh et ch 55

Chapitre 6. Integrales generalisees 57

1. Denitions et proprietes immediates 57

2. Les integrales (generalisees) de Riemann 60

3. Pour aller plus loin : Le critere de Cauchy 62

4. Integrales de fonctions positives 64

5. Convergence absolue 66

Premiere partie

Equivalences, Developpements Limites,

Developpements Asymptotiques

Chapitre 1

Equivalences de fonctions

Dans ce chapitre,Idesigne un intervalle ayant au moins deux points et sauf mention contraire,f:I!Rdesigne une fonction denie surI, a valeurs reelles.

1. Comparaison de fonctions

Dans cette section,aappartient aRi.e.aest un reel ni ou bienaest egal a1. Les fonctions considerees sont denies dans un voisinage dea(ou dea+ou dea), sauf peut-^etre ena.

1.1. Notations de Landau.

1.1.1.Denitions.Soitfetgdeux fonctions denies dans un voisinage dea(ou de

a +ou dea), sauf peut-^etre ena. On suppose quegne s'annule pas dans un voisinage deasauf peut-^etre ena. On introduit ici deux notations.D efinition1.1.On dit quefestdominee pargau voisinage deaet on notef=Oa(g)ou f(x) =Ox!ag(x)s'il existe >0et >0tels que sijxaj alorsjf(x)j jg(x)j.

Autrement dit,

fg (x)est borne au voisinage dea. D efinition1.2.On dit quefestnegligeable devantgenaet on notef=oa(g)ouf(x) = o x!ag(x)si pour tout" >0, il existe >0tel que sijxaj alorsjf(x)j "jg(x)j.

Autrement dit,

fg (x)tend vers 0, au pointa.On a l'equivalence suivante : f(x) =ox!ag(x)()il existe une fonction"telle quef(x) =g(x)"(x);avec limx!a"(x) = 01

2 1. EQUIVALENCES DE FONCTIONS

Vous pouvez choisir l'ecriture qui vous convient le mieux. Dans les deux cas, il est important de faire gurer le point ou ces egalites ont lieu, en mettant le pointasous le signeodans le premier cas, et en ecrivant lima"(x) = 0 dans le deuxieme. En eet, cette notion "fnegligeable devantg" est une notion locale. On ne comparefet gqu'au voisinage du pointa. Les caracterisations utilisees dans la pratique s'obtiennent directement :Proposition1.1. (1)f(x) =ox!ag(x)si et seulement silimx!af(x)g(x)= 0. (2)f(x) =Ox!ag(x)si et seulement sifg (x)est bornee dans un voisinage dea.Par exemple on a : (1)x=ox!+1xsi et seulement si < . (2)x=ox!0xsi et seulement si > .Aussi on ecrit : (1)f(x) =ox!a(1) si et seulement si limx!af(x) = 0.

(2)f(x) =Ox!a(1) si et seulement sifest bornee au voisinage dea.Dans ce cours, on se servira tres majoritairement du concept de

oa(:), et tres peu du O a(:). **Pour aller plus loin

1.1.2.Proprietes. En utilisant les caracterisations ci-dessus, on obtient les resultats

suivants. Proposition1.2.Soitf,gethdes fonctions denies dans un voisinage dea, sauf peut-^etre ena. On suppose quegethne s'annulent pas dans un voisinage deasauf peut-^etre ena. (1) Sif=oa(g)alorsf=Oa(g). (2) Sif=oa(g)alorsfh=oa(gh).

1. COMPARAISON DE FONCTIONS 3

(3) Sif=Oa(g)alorsfh=Oa(gh). Proposition1.3.Soitf;g;'; des fonctions denies dans un voisinage dea, sauf peut-^etre ena. On suppose queget ne s'annulent pas dans un voisinage deasauf peut-^etre ena. (1) Sif=oa(g)et'=oa( )alorsf'=oa(g ). (2) Sif=Oa(g)et'=Oa( )alorsf'=Oa(g ). (3) Sif=oa(g)et'=Oa( )alorsf'=oa(g ).

1.1.3.Croissances comparees.Les resultats suivants, appels "croissances comparees",

comparent les croissances desfonctions puissances, logarithme, et exponentielle. Ces resultats sont tres souvent utiles.Proposition1.4.Soit >0,2R. (1)(lnx)=ox!+1(x) i.e. en+1, la puissance polynomiale est toujours "plus forte" que leln. (2)x=ox!+1(ex) i.e. en+1, l'exponentielle est toujours "plus forte" que la puissance polynomiale. (3)jlnxj=o x!0+ 1x

.Tracer de telles fonctions avec un logiciel graphique et/ou calculer de telles quantites par exemple pour := 1=2; = 10

avecxmoyennement grand puis tres grand...

Notons par exemple que (1) est equivalent a lim

+1(lnx)x = 0.

De la proposition precedente decoulent en particulier les majorations suivantes :Pouretstrictement positifs,

(1) pourxdans un voisinage de +1, (lnx)x, (2) pourxdans un voisinage de +1,xex, (3) pourxdans un voisinage de 0+,jlnxj1x .Ceci reste vrai pour0 bien entendu.

4 1. EQUIVALENCES DE FONCTIONS

1.2. Equivalents.

1.2.1.Denition.Soitfetgdeux fonctions denies dans un voisinage dea(ou dea+

ou dea), sauf peut-^etre ena. On suppose quefetgne s'annulent pas dans un voisinage

deasauf peut-^etre ena. On dit quefestequivalente agau voisinage deaet on note :fagouf(x)x!ag(x) sif(x)g(x) =ox!a(g(x))De maniere equivalente,

f(x)x!ag(x) si et seulement s'il existe une fonction"telle quef(x) =g(x)(1 +"(x))avec lim x!a"(x) = 0.Proposition1.5.On a la caracterisation suivante. f(x)x!ag(x)si et seulement silimx!af(x)g(x)= 1:Proposition1.6.On a : (1)f(x)x!ag(x)si et seulement sig(x)x!af(x). (Commutativite).

(2) Sif(x)x!ag(x)etg(x)x!ah(x)alorsf(x)x!ah(x). (Transitivite).Notez qu'une fonction equivalente a une fonction donnee n'est pas unique.

Il est recommande de n'ecrire qu'un seul terme dans le membre de droite d'uneequivalence.

Prenons un exemple :f(x) =xlnxx+ lnx41=x.

En utilisant les croissances comparees, on obtientf(x)+1xlnx. Mais il est vrai egalement quef(x)+1xlnxx, ainsi quef(x)+1xlnx+ 182px. En fait on peut ajouter axlnxtoute fonction qui est negligeable devantxlnxen +1. En termes d'equivalents, on n'apporte aucune information supplementaire en mettant plusieurs termes :seul le terme dominant a un sens. Par contre, on peut ecriref(x) =xlnxx+o+1(x), donc : (f(x)xlnx)+1x. (En fait on vient d'ecrire la un "developpement asymptotique" defen +1; nous verrons cette notion au paragraphe suivant).

Exercice1.1.

a) Donner un equivalent en0decos(x).

1. COMPARAISON DE FONCTIONS 5

b) Donner un equivalent en0et en+1def(x) =x+cos(x).Corollaire1.1.Soitfune fonction polyn^omiale de la forme

f(x) =apxp+ap+1xp+1+:::+anxn;avec0< pn; ap6= 0; an6= 0

Alors,

f(x)x!1anxnetf(x)x!0apxp:Exercice1.2.Donner les equivalents def(x) = 5x3+ 2x2+xen0et en+1.

1.2.2.Premieres proprietes.Proposition1.7.

(1) Soitl2R. On af(x)x!alsi et seulement silimx!af(x) =l. (2) Sifaget silimx!ag(x) =l2R, alorslimx!af(x)existe dansRet vautl.

(3) Sifagalorsfetgsont du m^eme signe au voisinage dea.Proposition1.8.Soitf;gtelles quef(x) =ox!ag(x). Alors,

f(x) +g(x)x!ag(x):

1.2.3.Operations sur les equivalents.Voici la liste des operations usuelles "compa-

tibles" avec les equivalents.Proposition1.9.(1) Produit : sifaget'a , alorsf'ag . (2) Quotient : sifaget'a , alorsf' ag

(3) Composition a droite : sifaget silimx!x0'(x) =a, alorsf('(x))x!x0g('(x)).Par contre, la composition a gauche n'estpas possible a-priori:

fag;'(f(x))a'(g(x)) Un exemple. Soitf:x7!x2+xetg:x7!x2. On a :f(x)+1x2doncf(x)+1g(x).

On a aussi :

ef(x)e g(x)=ex!x!+1+1. Par consequent :ef(x)+1eg(x)...

6 1. EQUIVALENCES DE FONCTIONS

Aussil'addition n'est pas possible sans verication prealable. Donnons un exemple. Soientf:x7!x2+ 1 etg:x7! x2x. On a :f(x)+1x2etg(x)+1x2. On a par ailleurs :f(x) +g(x) =x+ 1+1x. C'est a dire que : faget'a ;f+'ag+

Par contre dans le cas particulier suivant, l'addition des equivalents est licite.Proposition1.10.(Addition) Soient;deux reels,fahetgah.

| Si+6= 0,f+ga(+)h, | Si+= 0,f+g=oa(h).**Pour aller plus loin. Dans les cas particuliers suivants, on peut composer a gauche.

Proposition1.11.On suppose quefag. Alors,

(1) Valeur absolue :jfjajgj. (2) Puissance : pour tout >0, sigest strictement positive au voisinage dea,fag.

En particulier,pfapg.

(3) Logarithme sous conditions: silimx!ag(x) =l2[0;+1]et sil6= 1, alorslnf(x)x!alng(x). (4) Exponentielle sous conditions: silimx!a(f(x)g(x)) = 0, alorsef(x)x!aeg(x).

Exemple1.1.Soitf:x7!x+px

2+ 1. On ax2+1+1x2doncpx

2+ 1+1px

2=x.

D'ouf(x)+12x.

Donclimx!+1f(x) = +1, etln(x+px

2+ 1)+1ln(2x)+1ln(x):

1.2.4.Equivalents des fonctions usuelles en0.

Rappelons la denition de la derivee :

lim x!a f(x)f(a)xa =f0(a) De ce resultat, se deduit immediatement la proposition suivante. Proposition1.12.Soitf:I!Rune fonction denie sur l'intervalleI,a2I. Si fest derivable enaavecf0(a)6= 0, alors :f(x)f(a)x!af0(a)(xa)

1. COMPARAISON DE FONCTIONS 7

Notons qu'un Developpement Limite (DL) de Taylor a l'ordrek(pour une fonction de classeCk) permet de generaliser ce resultat. Les DL de Taylor sont etudies au chapitre suivant. De cette proposition, on deduit les equivalents des fonctions suivantes.sinx0xshx0x tanx0xthx0x ln(1 +x)0x ex10x arcsinx0xarctanx0x (1 +x)10xpour tout6= 0Exercice1.3.Demontrer les equivalents classiques ci-dessus. Notons que le resultat precedent ne permet pas de donner l'equivalent en 0 de cosx car cos

0(0) = 0....

Mais on a laProposition1.13.Soitf:I!Rune fonction denie sur l'intervalleI,a2I. Supposons qu'il existek02Ntel quef(k0)(a)existe et soit non nul.

On denit :

s= minfk2N; f(k)(a)6= 0g

Sifest de classeCssurI, alorsf(x)f(a)x!af

(s)(a)s!(xa)sDans le cas de l'equivalent en 0 de cosxon obtient : (cosx1)01=2x2.

On a alors : cosx011=2x2, soit donc : cosx01.

Pour aller plus loin.

8 1. EQUIVALENCES DE FONCTIONS

D emonstration.La formule de Taylor-Young a l'ordrespourfenas'ecrit f(x) =f(a) +f(s)(a)s!(xa)s+ (xa)s"(x);limx!a"(x) = 0

c'est-a-diref(x)f(a) =f(s)(a)s!(xa)s+ox!a((xa)s). D'ou le resultat.Remarque1.1.Pour etudier une fonction au voisinage d'un autre point que0, on se

ramene a une etude en0a l'aide du changement de variable ad-hoc. .Pour etudierf(x)au voisinage dex=a(ani), on posey= (xa)et on etudie g(y) =f(a+y)au voisinage dey= 0. .Pour etudierf(x)au voisinage dex=1, on posey= 1=xet on etudieg(y) = f(1=y)au voisinage dey= 0.2. Calculs de limites a l'aide d'equivalents Le concept d'equivalent constitue un outil tres utile pour calculer des limites a-priori indeterminees. Exemple1.2.Calculer la limite def(x)quandx!adans les dierents cas suivants. On notera en premier lieu l'indetermination a-priori. (1)f(x) =(1 +x2)tanxsin(2x),a= 0.

On a :1 +x201,tanx0xetsin(2x)02x.

En vertu des proprietes de multiplication-division d'equivalents, on a : f(x)01x2x=12

Finalement :limx!0f(x) =12

(2)f(x) =x exx 2+11 ,a= +1.

On a :

xx

2+ 1+11x

!x!+10.

On peut donc utiliser un equivalent deeu1en 0.

On a :eu1u!0u.

Avecu=xx

2+ 1, on obtient :exx

2+11x!+1xx

2+ 1+11x

2. CALCULS DE LIMITES

A L'AIDE D'EQUIVALENTS 9

Ainsi :f(x)+11x

x= 1.

Finalement :limx!+1f(x) = 1.

Chapitre 2

Formules de Taylor & Developpements Limites

Sif:I!Rest derivable en un pointadeI, alors on peut ecrire pour toutx2I,f(x) =f(a) +f0(a)(xa) + (xa)"(x);limx!a"(x) = 0ou encore :f(x) =f(a) +f0(a)(xa) +oa(xa).

Cela revient a approcherfpar une fonction ane au voisinage dea. Exercice2.1.Faire un dessin illustrant cette relation.

1. Formules de Taylor

Dans ce partie sont presentes des theoremes qui etendent le resultat precedent : ce sont les formules dites de Taylor. Sous des hypotheses de regularite sur la fonctionf, on

ecritf, au voisinage d'un pointasous la forme d'un polyn^ome en (xa) plus un reste :f(x) =Pn(xa) + reste; Pnpolyn^ome de degrenLes diverses formules dierent par la forme du reste.

Le "reste" est appele ainsi car negligeable par rapport a (xa)nau voisinage dea: "reste"=o(xa)n. Rappelons que cela signie que "reste" tend vers 0 quandx!a, et ce plus vite que (xa)n. Autrement ecrit : reste(xa)n!x!a0 Nous reviendrons sur ces notions de comparaison de fonctions dans le chapitre suivant. 11

12 2. FORMULES DE TAYLOR & D

EVELOPPEMENTS LIMITES

1.1. Formule de Taylor-Young.

1.1.1.Enonce.Th

eoreme2.1.Soitf:I!Rde classeCnsurI,n2N. Soita2I.

Il existe une fonction"telle que pour toutx2I,

f(x) =f(a) +f0(a)(xa) +f00(a)2! (xa)2+:::+f(n)(a)n!(xa)n+ (xa)n"(x) aveclimx!a"(x) = 0.On notera la validite uniquementlocalede ce developpement. On notera aussi que l'on doit avoirfde classeCn(regularite de la fonction).

Il decoule le resultat suivant.

Proposition2.1.Soitn2N. Sif:I!Rest de classeCn+1et sif(n+1)= 0(i.e. f (n+1)(x) = 0pour toutx2I), alorsfest un polyn^ome de degre au plusnsurI.

Exercice2.2.

a) Montrer que pour les fonctionssin(x)etexp(x), les formules de Taylor existent en tout pointadeRet pour tout degren; n1. b) Donner l'expression de leur formule de Taylor-Young au point0. Exercice2.3.Ecrire la formule de Taylor a l'ordre 3 en0de :cos3(x). On obtient ce que l'on appelle par la suite le Developpement Limite (DL) de Taylor d'ordre 3. Exemple2.1.Revenons a un calcul de limite un peu ardu. Soit : f(x) =tanx(1sinx)sin(2x) 2. D

EVELOPPEMENTS LIMITES 13

On cherche a calculer la limite defau pointa==2.

On eectue le changement de variableh= (xa)pour se ramener en0. On obtient : f(x) =sinh+2

1sinh+2

cos h+2 sin(2h+) cos(h)(1cos(h))sin(h)sin(2h)

Un DL de Taylor montre que :1cos(h)0h22

; ce qui donne nalement : f(x)h!0h2=2h2h=14

On a donc :limx!=2f(x) =14

Pour aller plus loin

1.2. Formule de Taylor-Lagrange.

Th eoreme2.2.Soitf:I!Rde classeCn+1surI,n2N. Pour touta;x2I, il existec2]a;x[tel que f(x) =f(a)+f0(a)(xa)+f00(a)2! (xa)2+:::+f(n)(a)n!(xa)n+f(n+1)(c)(n+ 1)!(xa)n+1:

2. Developpements limites

SoitIun intervalle deRetf:I!R.

L'objectif d'un Developpement Limite (DL) est de comparerfa une fonctionpolyn^omiale dans unvoisinagedea,a2I.

2.1. Denition et lien avec les formules de Taylor.Soitn2N. On dit quef

admet unDeveloppement Limite a l'ordrenena(DLnen a)s'il existe unpolyn^omea coecients reelsPnde degre au plusn, et une fonction":I!R, tels que :8x2I, f(x) =Pn(xa) + (xa)n"(x);limx!a"(x) = 0;

14 2. FORMULES DE TAYLOR & D

EVELOPPEMENTS LIMITES

c'est-a-dire :f(x) =Pn(xa) +ox!a(xa)nP ns'appelle la partie principale defd'ordrenena. On peut montrer qu'un DL en un point a, s'il existe, est unique. Par consequent, pour une fonctionfde classeCnen un pointa(hypothese de regularite requise),la formule de Taylor-Young d'ordrenfournit l'unique DLndefau pointaTh eoreme2.3.Soitf:I!Rde classeCnsurI,n2N. Soita2I.

Alorsfadmet un DLnenade la forme suivante :

f(x) =f(a) +f0(a)(xa) +f00(a)2!

(xa)2+:::+f(n)(a)n!(xa)n+ox!a((xa)n):L'ordre d'un DL se lit sur le reste. Par exemple,f(x) = 2x+ox!0x7est un DL7de

la fonctionfau pointx= 0. **Pour aller plus loin. La denition ci-dessus peut s'etendre afdenie seulement surIn fag(dans le casa reel). Supposons quefadmet un DL0ena, du typef(x) =a0+ox!a(1). En faisant tendre xversa, on obtient limx!af(x) =a0. Ainsi, on peut prolongerfpar continuite ena, en posantf(a) =a0. Dans la suite, on supposera donc quefest denie et continue ena. On supposera egalement que la fonction"qui appara^t dans le DL est continue ena(avec "(a) = 0). Remarque2.1.De cette premiere propriete, on deduit par exemple quelnn'admet pas de DL en 0, ou encore quex7!sin1x n'admet pas de DL en 0, et ce a aucun ordre. Supposons maintenant quefest continue enaet admet un DL1ena, de la forme f(x) =a0+a1(xa)+ox!a(xa). On a vu quea0=f(a). On obtient doncf(x)f(a)xa= a

1+ox!a(1)!x!aa1. La fonctionfest donc derivable ena, avecf0(a) =a1.

2. D

EVELOPPEMENTS LIMITES 15

Reciproquement, sifest derivable ena, alorsf(x)f(a)xa!x!af0(a) doncf(x) =f(a) + f

0(a)(xa) +ox!a(xa), etfadmet un DL1ena.

On a donc le resultat suivant.

Proposition2.2.

(1)fadmet un DL0enasi et seulement sifest continue ena. (2)fadmet un DL1enasi et seulement sifest derivable ena

Attention.Ceci ne se generalise pas pourn2.

Exemple2.2.Soitf:R!R;f(x) =x3sin1x

six6= 0,0six= 0. Montrons quefadmet un DL2en 0. On a deja vu quexsin1x =ox!0(1)doncf(x) = o x!0(x2). Etudions la derivabilite seconde defen 0.fest de classeC1surR, et pourx6= 0, f

0(x) = 3x2sin1x

xcos1x Donc,f0(x)!x!00etfest derivable en 0 de deriveef0(0) = 0.

Pourx6= 0,f0(x)f0(0)x0= 3xsin1x

cos1x ;dont le premier terme tend vers 0 en 0 mais dont le second terme n'admet pas de limite en 0. Ainsi,fn'est pas deux fois derivable en 0. ** Fin "pour aller plus loin" **

2.2. Parite.

Lorsque le fonction consideree est paire ou impaire, il est plus qu'interessant de se rappeler du resultat suivant.

16 2. FORMULES DE TAYLOR & D

EVELOPPEMENTS LIMITESProposition2.3.SoitIun intervalle symetrique par rapport a l'origine, soitf:I!R.

On suppose quefadmet un DLnen 0,n0.

(1) Sifest paire, alorsPn(f)n'a que des puissances paires. (2) Sifest impaire, alorsPn(f)n'a que des puissances impaires. Autrement dit,Pn(f) preserve la parite def.**Pour aller plus loin. Developpement limite a l'ordrenen1.On dit quefadmet un developpement limite a l'ordrenen1s'il existe un polyn^ome a coecients reelsPnde degre au plus net":I!Rune fonction tels que pour toutx2I, f(x) =Pn1x +1x n "(x);limx!1"(x) = 0; c'est-a-dire f(x) =Pn1x ox!1 1x n

2.3. Exemples fondamentaux.Commencons par un exemple trivial : le cas ouf

est elle-meme un polynome!

Soitfune fonction polyn^omiale de la forme

f(x) =a0+a1x+:::+apxp;avecp2N; ap6= 0:

Alorsfadmet un DL en 0 a tout ordre. En eet :

- Sinp,a0+a1x+:::+apxpest un polyn^ome de degren, le reste est nul. - Sin < p,f(x) =a0+a1x+:::+anxn+xn(an+1x+:::+apxpn) =a0+a1x+:::+ a nxn+ox!0(xn). (1) Au travers de l'astuce d'ecriture suivante (astuce a retenir) : (1 +x+x2+:::+xn)(1x) = 1xn+1 2. D

EVELOPPEMENTS LIMITES 17

On en deduit deux developpements limites fort utiles en pratique.

En eet, on obtient :

11x= 1 +x+x2+:::+xn+xn+11x

et donc :1

1x= 1 +x+x2+:::+xn+ox!0(xn)Ou encore en posantx=x, on obtient :1

1 +x= 1x+x2+:::+ (1)nxn+ox!0(xn)(2) La fonction exponentielle etant de classeC1surR, elle admet un DL a tout ordre

en 0. De plus, exp (k)(0) = 1 pour toutk2N. La formule de Taylor-Young donne alors pour toutn2N,e x= 1 +x+x22! +:::+xnn!+ox!0(xn):(3) Les fonctions cosinus et sinus etant de classeC1surR, elles admettent un DL a tout ordre en 0. De plus, pour toutk2N, cos(k)(0) = 1, sin(k)(0) = 0 sikest pair, cos (k)(0) = 0, sin(k)(0) = 1 sikest impair. La formule de Taylor-Young donne alors pour toutn2N,cosx= 1x22! +:::+ (1)nx2n(2n)!+ox!0(x2n+1):et sinx=xx33!

+:::+ (1)nx2n+1(2n+ 1)!+ox!0(x2n+2):Il s'agit du DL a l'ordre 2n+1 de cos et du DL a l'ordre 2n+2 de sin. Notons

aussi que par parite, il s'agit en fait du DL a l'ordre 2n+ 2 (resp. 2n+ 3) de cos (resp. sin). (4) La fonctionf:x7!ln(1+x) etant de classeC1sur ]1;+1[, elle admet un DLquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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