[PDF] Notes de cours - Algèbre Linéaire





Previous PDF Next PDF



ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

22 mai 2014 Cours d'algèbre linéaire. 1. Espaces vectoriels. 2. Applications linéaires. 3. Matrices. 4. Déterminants. 5. Diagonalisation ...



LALGÈBRE LINÉAIRE POUR TOUS

L'ALGÈBRE LINÉAIRE POUR TOUS. Bruno Vallette. Résumé. — Notes du cours d'Algèbre linéaire pour les économistes donné en deuxième année de.



Notes de Cours dALGEBRE LINEAIRE.

Notes de Cours d'ALGEBRE LINEAIRE. B. Landreau D. Schaub. Département de Mathématiques. Université d'Angers. Introduction. L'alg`ebre linéaire est présente 



ESTIA 1eAnnée - Mathématiques Cours dalgèbre linéaire Edition

26 nov. 2008 Ce cours d'algèbre linéaire se compose de 9 Chapitres. Dans le premier Cha- ... 2.2 Matrice associée à une application linéaire .



Notes de cours - Algèbre Linéaire

Muni d'une base les éléments d'un espace vectoriel de dimension finie sont “encodables" dans des vecteurs qu'on peut manipuler algorithmiquement et sur 



Cours dalgèbre linéaire 2 ème année duniversité.

Ceci est le cours d'algèbre linéaire enseigné à Toulouse à un bon millier groupes d'algèbres



04 - Algèbre linéaire Cours complet

Déterminant d'une famille finie de vecteurs dans une base en dimension finie (hors programme). Définition 15.1 : forme n-linéaire alternée en dimension n.



Algèbre - Cours de première année

La seconde partie est entièrement consacrée à l'algèbre linéaire. Inverse d'une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires .



Résumé de cours dalgèbre linéaire de Math Sup et compléments

Résumé de cours d'algèbre linéaire de Math Sup et compléments. I. Espaces vectoriels - Sous espaces vectoriels. 1) Structure de K-espace vectoriel.



ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

I. Les matrices et abrégé d'algèbre linéaire de l'artillerie il rédige un cours de mathématiques à l'usage de la marine et.



Notes de cours - Algèbre Linéaire - CNRS

Conséquencesimmédiates —L’associativitépermetd’éviterdemettredesparenthèsesdanslessommes devecteurs 9 10 CHAPITRE 2 LES BASES DE L’ALGÈBRE LINÉAIRE —Lacommutativitépermetd’échangerlestermesd’unesomme —Ona0 + u= upourtoutu2E —L’opposédeuestnoté uetu+ ( v) estnotéu vdesortequ’ona pourtoutuu u= 0



Les Bases de l’algèbre linéaire - CNRS

Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Cours complet - 5 - Algèbre linéaire Chap 04 : cours complet 1 Espaces vectoriels réels ou complexes Définition 1 1 : K-espace vectoriel Soit E un ensemble K un corps (égal en général à ou ) On dit que (E+ ) est un K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur K si et seulement si :



Exo7 - Cours de mathématiques

d’une première structure algébrique avec la notion de groupe La seconde partie est entièrement consacrée à l’algèbre linéaire C’est un domaine totalement nouveau pour vous et très riche qui recouvre la notion de matrice et d’espace vectoriel Ces concepts à la fois profonds et



Images

8 CHAPITRE 2 LES BASES DE L’ALGÈBRE LINÉAIRE — La commutativité permet d’échanger les termes d’une somme — On a 0+u = u pour toutu 2 E — L’opposé de u est noté u et u+(v) est noté uv de sorte qu’on a pour toutu uu =0 — Si u+v = u+walorsv = w — 0u =0 — 0=0 — (1)u = u — 2u = u+u 2 1 1 Exemples d

Notes de cours - Algèbre Linéaire

2

Table des matières

1 Introduction 7

1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Les Bases de l"algèbre linéaire 9

2.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.1 Exemples d"espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.2 Espaces vectoriels sur des corps plus généraux . . . . . . .

10

2.1.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.4 Exemples de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . .

11

2.1.5 Espace engendré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.6 Sommes de sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2 Bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.1 Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.2 Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.3 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2.4 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3.2 Propriété universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3.3 Noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3.4 Image d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3.5 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.6 Résolution d"un système linéaire . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.7 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.2 Matrice d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.3 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.4.4 Matrice de la composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.4.5 Propriétés du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4.6 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.5 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.5.1 Décomposition en somme directe . . . . . . . . . . . . . .

23

2.5.2 Sommes directes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.5.3 Produit de deux espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . .

24

2.5.4 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.6 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.6.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
3

4TABLE DES MATIÈRES

2.6.2 Groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.6.3 Signature d"une permutation . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3 Déterminants 33

3.1 Un peu d"histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2 Calcul des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3 Le caractère alterné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.4 Multilinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.5 Règles de calcul de déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 0

3.6 Déterminant d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.7 Déterminant d"une matrice carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.8 Déterminant et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4 Réduction des endomorphismes 51

4.1 Formalisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.4 Conditions suffisantes de diagonalisabilité . . . . . . . . . . . . .

54

4.5 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité . . . . . . .

54

4.6 Changement de corps de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.7 Polynômes d"endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.8 Triangularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.9 Le théorème de Hamilton-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.10 Applications de la réduction des endomorphismes . . . . . . . . .

6 0

4.10.1 Calculs de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

4.10.2 Systèmes différenciels linéaires du premier ordre . . . . .

60

4.10.3 Systèmes linéaires d"ordre quelconque . . . . . . . . . . .

61

4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

5 Orthogonalité 65

5.1 Orthogonalité dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

5.2 Produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5.3 Expressions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

5.3.1 Représentation matricielle dans un espace Euclidien . . .

67

5.3.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.3.3 Reconnaître un produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.3.4 Norme et angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

5.4 Bases orthogonales, orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

5.5 Orthogonalité de sous-espaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

5.5.1 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.5.2 Hyperplan orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.5.3 IsomorphismeEetE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

5.6 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.7 Transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.8 Endomorphisme adjoint et autoadjoint . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.8.1 Adjoint d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.8.2 Endomorphisme autoadjoint . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

5.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

TABLE DES MATIÈRES5

6 Le problème des moindres carrés 83

6.1 Les équations normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

6.2 La géométrie des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

6.3 DécompositionQR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

6.3.1 La méthode de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . .

88

6.3.2 Matrices de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

6.3.3 Application à la résolution de systèmes linéaires . . . . .

89

6.4 Décomposition en valeurs singulières et pseudo-inverse de Moore-

Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.4.1 Décomposition en valeurs singulières . . . . . . . . . . . .

89

6.4.2 Pseudo-inverse de Moore-Penrose. . . . . . . . . . . . . .

90

6TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Introduction

1.1 7

8CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Chapitre 2

Les Bases de l"algèbre linéaire

2.1 Espaces vectoriels

C"est Giuseppe Peano, vers la fin du 19ème siècle, qui dégage le premier les notions d"espaces vectoriels et d"applications linéaires abstraites que nous

étudions dans ce cours.

Les éléments d"un espace vectoriels sont appelés vecteurs. Comme les vec- teurs deR2ouR3, on peut additionner les vecteurs et les multiplier par un nombre. Ces opérations vérifient quelques propriétés que nous allons isoler dans la définition suivante. Definition 1.UnR-espace vectoriel est un triplet(E;+;:)formé d"un ensemble Edont les éléments sont appelés vecteurs, d"une loi d"addition, notée+, qui est une applicationEE!Equi à deux vecteursuetvdeEassocie un vecteuru+v2E, qu"on appellera somme des deux vecteurs, et d"une loi de multiplication par un scalaire notéequi est une applicationRE!Equi associe à un nombre réelet un vecteurule vecteuruqu"on appellera produit du vecteurupar le réel.

Axiomes de la somme :

1.Associativitépour tousu,vetwdeE,u+ (v+w) = (u+v) +w.

2.Commutativitépour tousuetvdeE,u+v=v+u.

3.Neutreil existe un élément deEnoté0tel que, pour toutudeE,

u+ 0 =u.

4.OpposéPour toutudeE, il existev2Etel queu+v= 0.

Axiomes de compatibilité pour la multiplication :

1.produit de réelspour toutudeE,etdeR,()u=(u).

2.Somme de réelspour toutudeE,etdeR,(+)u=u+u.

3.Somme de vecteurspour tousuetvdeE,deR,(u+v) =u+v.

4.UnitéPour toutudeE,1u=u.

Conséquences immédiates

L"asso ciativitép ermetd"éviter de mettre des paren thèsesdans les som mes de vecteurs. 9

10CHAPITRE 2. LES BASES DE L"ALGÈBRE LINÉAIRE

La comm utativitép ermetd"éc hangerles termes d"une somme.

On a 0 +u=upour toutu2E.

L"opp oséde uest notéuetu+ (v)est notéuvde sorte qu"on a, pour toutu,uu= 0.

Si u+v=u+w, alorsv=w.

-0u= 0. -0 = 0. -(1)u=u. -2u=u+u.

2.1.1 Exemples d"espaces vectoriels

R nmuni de la somme de vecteurs et du produit par un réel. L"ensemble des fonctions d"un ensembleIdansR, muni de la somme de fonctions et de la multiplication par un réel.

L"ensemble des suites à valeurs réelles.

L"espaceR[X]des polynômes à coefficients réels, qu"on identifiera aux fonctions de la formeP(x) =Pn k=0akxk. L"ensemble des fonctions d"un ensembleXà valeurs dans un espace vectorielE. Exercice :vérifier que ces ensembles vérifient bien les axiomes définissant les espaces vectoriels.

2.1.2 Espaces vectoriels sur des corps plus généraux

Nous nous limiterons dans ce cours, à de rares exceptions près, aux espaces vectoriels surR. Les nombres réels s"additionnent et se multiplient, les deux lois sont associatives et commutatives, il existe des éléments0et1qui sont des éléments neutres pour l"addition et la multiplication, tout réel a un opposé pour l"addition et tout réel non nul a un inverse pour la multiplication. Il existe d"autres ensembles vérifiant ces propriétés, comme l"ensemble des nombres complexes ou l"ensemble des nombres rationnels. Dedekind donne à de tels ensembles le nom de corps. Les résultats que nous allons énoncer pour les espaces vectoriels surRrestent valables siRest remplacé par un autre corpsquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27
[PDF] ROYAUME DU MAROC - ENSA de Marrakech

[PDF] Math-IV-algèbre Formes (bi)linéaires

[PDF] SMA 2014ai

[PDF] Algèbre bilinéaire

[PDF] Exercices Math Sup et Math Spé - Exo7

[PDF] Base d 'algèbre Chapitre 1 Calcul matriciel

[PDF] Filière : Licence Sciences Economiques et Gestion Journée d

[PDF] aide memoire d algebre - Math inversées

[PDF] ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

[PDF] l1 introduction ? l 'algèbre linéaire - ENT

[PDF] L 'ALGÈBRE LINÉAIRE POUR TOUS

[PDF] Page 1 Page 2 Page 3 Page 4 Page 5 Page 6 Filol J78%l MONIER

[PDF] Cours 3: Algèbre relationnelle Algèbre relationnelle

[PDF] TD 1 : algèbre relationnelle et requêtes SQL de base

[PDF] 1 Exercices