FONCTIONS AFFINES (Partie 2)
La droite (d) représentant la fonction f définie par f(x) = ax + b a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine b. Remarques : - Si le
Les fonctions
abscisse (horizontale) nommée x et d'une ordonnée (verticale) nommée y. 3) Calculer l'ordonnée à l'origine d'une droite. 3) Calculer l'ordonnée à ...
LES DROITES ET LES PENTES
L'ordonnée à l'origine qui est représentée par la lettre b
DROITES I) Coefficient directeur ; ordonnée à lorigine
L'équation de la droite est donc : y = • Méthode 7 : Déterminer par le calcul l'équation d'une droite passant par deux points A et B. L'équation est de la forme
Chapitre 7 - Fonctions Quadratiques
Une fonction quadratique a toujours un sommet et une ordonnée `a l'origine ; elle Exemple 2.1 (suite) Calculer l'ordonnée `a l'origine de la parabole.
1. On calcule le coefficient directeur m en utilisant la formule : 2. On
On détermine l'ordonnée à l'origine p en utilisant les coordonnées d'un des points de la droite qui forcément
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L'ordonnée à l'origine de la droite d'équation y = 2x – 1 est : a) 1 b) 2 c) –1 d) 2x. 4. Pour calculer le coefficient directeur m de la droite (AB)
DROITES
La droite D a pour équation x = 3. La droite D' a pour équation y = 3x + 2. Son ordonnée à l'origine est 2 et son coefficient directeur est +3. Exercices
1 Introduction 2 Théorie
trace les données et détermine la pente et l'ordonnée `a l'origine linéaire est une méthode statistique qui calcule la droite qui.
Fonctions linéaires et affines
Pour représenter graphiquement une fonction affine on place l'ordonnée à l'origine sur l'axe des ordonnées puis on calcule les coordonnées de deux autres
[PDF] 2 On détermine lordonnée à lorigine p en utilisant - Mathsenligne
On détermine l'ordonnée à l'origine p en utilisant les coordonnées d'un des points de la droite qui forcément vérifient l'équation y = mx + p dans laquelle on
[PDF] DROITES I) Coefficient directeur ; ordonnée à lorigine
Méthode 2 : Lire le coefficient directeur d'une droite sur un graphique ? Choisir deux points A et B sur la droite
[PDF] DROITES - maths et tiques
La droite D a pour équation x = 3 La droite D' a pour équation y = 3x + 2 Son ordonnée à l'origine est 2 et son coefficient directeur est +3 Exercices
[PDF] FONCTIONS AFFINES (Partie 2) - maths et tiques
La droite (d) représentant la fonction f définie par f(x) = ax + b a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine b Remarques : - Si le
[PDF] Les fonctions
L'équation d'une droite est du type : y = a + • On détermine l'ordonnée à l'origine en utilisant les coordonnées d'un des points de la droite qui forcément
Equations de droites - Maxicours
Détermination de l'ordonnée à l'origine : Il suffit de lire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées Exemples : Déterminer les
[PDF] Fiche méthode équations de droites et coordonnées
Pour déterminer l'ordonnée à l'origine comme on sait que les coordonnées des points de la droite vérifient l'équation de la droite on remplace les
[PDF] LES DROITES ET LES PENTES
2 Trouver l'ordonnée à l'origine Afin de trouver la valeur de il s'agit d'utiliser un point connu de la droite et la pente qui vient d'être déterminée :
[PDF] Modèle mathématique
Ordonnée à l'origine B : Graphiquement : Ordonnée du point d'intersection de la droite et de l'axe des ordonnées Représentation graphique
[PDF] M1? Les droites du plan
Une droite (d) sécante à l'axe des ordonnées a pour équation y = mx + p où m est le coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine de la droite (d) Une
Comment calculer T-ON l'ordonnée a l'origine ?
Détermination de l'ordonnée à l'origine : Il suffit de lire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. L'équation est de la forme y = px + d. L'ordonnée à l'origine est 1.Comment calculer l'ordonnée a l'origine avec 2 points ?
Trouver l'équation d'une droite à partir de deux points
Isoler le paramètre b afin de trouver la valeur de l'ordonnée à l'origine. ?rire l'équation de la droite sous la forme y=mx+b y = m x + b avec les valeurs des paramètres m et b. b .Méthode
1calculer l'abscisse du point N avec la formule : xN=2xA+xC;2calculer l'ordonnée du point N avec la formule : yN=2yA+yC;3conclure en donnant les coordonnées de N:(xN;yN)
GYMNASE DE BURIER
Chapitre 7 - Fonctions Quadratiques
Sarah D´egallier Rochat1. Fonctions quadratiques et paraboles Une fonction quadratique est une fonction de la forme f(x) =ax2+bx+caveca?= 0.La courbe repr´esentative d"une fonction quadratique est uneparabole.O1 1xySia> 0la parabole
estconvexeO1 1xySia< 0la parabole
estconcaveGYMNASE DE BURIER1MSt1 Exercice 1.1Les paraboles suivantes sont-elle convexes ou concaves?O1 1xyConcaveO1
1xyConvexe
Exercice 1.2Les fonctions suivantes sont-elles quadratiques? Si oui, la parabole correspondante est-elle convexe ou concave? a)-2x2+ 5x-21Oui / Concave (a=-2<0)b)4-x2Oui / Concave (a=-1<0)c)15x2+ 2x+ 1Non
d)3x+ 1Non e)3x+x2Oui / Convexe (a= 1<0)f)⎷x2+ 3x-2Non2. Points caract´eristiques Soit la parabole d"´equationy=x2+ 4x-5. Ses points caract´eristiques sont les suivants.O1 1xyAxe de sym´etriex=-2SommetS(-2,-9)-9-2
Ordonn´ee `a l"origineH(0,-5)Z´eroZ1(1,0)Z´eroZ2(-5,0)Une fonction quadratique a toujours un sommet et une ordonn´ee `a
l"origine; elle peut avoir 0, 1 ou 2 z´eros.GYMNASE DE BURIER1MSt2 Soity=ax2+bx+cl"´equation d"une parabole.Coordonn´ees du sommetS=? -b2a;-Δ4a?avecΔ= b2-4ac.Equation de l"axe de sym´etriex=-b2a(droite verticale passant par le sommet)Exemple 2.1Soit la parabole d"´equationy=-12 x2-x+ 4. Calculer les coordonn´ees du sommet et l"´equation de l"axe de sym´etrie.On aa=-12,b=-1etc=4.
On calcule :Δ= (-1)2-4·?-12
?·4=1+8=9On remplace :S=? -12·(-1294·(-12
?-1,92?L"´equation de l"axe de sym´etrie est doncx=-1.Exemple 2.2Soitf(x) =ax2+bx+cune fonction quadratique.
Calculerf(0).f(0) =a·02+b·0+c=cLe pointH(0;c)fait donc partie du graphe de la fonction (i.e, de
la parabole).On appelle ce point l"ordonn´ee `a l"origine car ilcorrespond `a la valeur de l"ordonn´ee (y) lorsquex= 0.Ordonn´ee `a l"origineH= (0;c)Exemple 2.1 (suite)Calculer l"ordonn´ee `a l"origine de la parabole
d"´equationy=-12 x2-x+ 4. Placer ce point ainsi que le sommet et l"axe de sym´etrie sur le graphique.On aH= (0;c)= (0;4).GYMNASE DE BURIER1MSt3 O11xySommetS?-1;92
?Axe de sym´etriex=-1Ordonn´ee `a l"origineH(0;4)Soitf(x) =ax2+bx+c. Les z´eros de la fonctionf(x)
correspondent aux solutions de l"´equationax2+bx+c= 0.Z´eros (1) SiΔ>0, il y a deux intersections : Z1?-b+⎷Δ
2a;0? etZ2?-b-⎷Δ 2a;0? Z1(x1;0)Z
2(x2;0)xy
(2) SiΔ = 0, il y a une seule intersection : Z1?-b2a;0?xy
Z1(x1;0)(3) SiΔ<0, il n"y a pas intersections.
xyGYMNASE DE BURIER1MSt4 Exemple 2.1 (suite)Calculer les z´eros de la fonction f(x) =-12 x2-x+ 4. Compl´eter le graphique pr´ec´edent.On r´esoud l"´equation-12 x2-x+ 4 = 0.- 12 x2-x+ 4 = 0MEE 12 (x2+2x-8)= 0SP 12 (x+4)(x-2)= 0?S={-4;2}Il y a deux solutions, il y aura donc deux z´eros : Z1(-4;0)etZ2(2;0)Remarque 2.1La premi`ere coordonn´ee du sommetxSd"une
parabole est toujours ´egale `a la moyenne des premi`eres coordonn´ees des z´erosxZ1etxZ2xS=xZ1+xZ22
S"il n"y a qu"un z´ero, on axS=xZ.Exemple 2.2Dans l"exemple pr´ec´edent, on avait S -1;92 ,Z1(-4;0)etZ2(2;0) V´erifier la formule de la remarque pr´ec´edente.On axS=-1,xZ1=-4etxZ2=2.Donc x S?=xZ1+xZ22? -1?=-4+22? -1?=-1?GYMNASE DE BURIER1MSt53. Calcul avec les coordonn´ees
Rappel 3.1Un point(x;y)fait partie d"une courbe si sescoordonn´ees satisfont l"´equation de cette courbe.Exemple 3.1Le point(-2;4)fait-il partie de la parabole
y=-2x2-5x+ 1?4?=-2·(-2)2-5·(-2)+1?4?=-8+10+1?4?=3?NonRappel 3.2On appellez ´eroles valeurs telle sque f(x) = 0.Exemple 3.2Quels sont les z´eros de la fonction
f(x) = 2x2-12x+ 18?On r´esoud l"´equationf(x) = 0:2x2-12x+ 18 = 0MEE
?2(x2-6x+9)= 0PR ?2(x-3)2= 0?S={3}La fonction n"a qu"un z´ero :x= 3.Intersection entre une droite et une parabole Exemple 3.3Calculer les coordonn´ees des points d"intersection entre la parabole d"´equationyf=x2-2x-1et la droite d"´equationyg=x-1.O1 1xy I1(0;-1)I
2(3;2)On cherche les valeurs de x pour
lesquellesyf=yg:x2-2x-1=x-1-x+ 1?x2-3x= 0CL
?x(x-3)= 0?S={0,3}On remplace dansygpour trouver la deuxi`eme coordonn´ee;x= 0?y=x-1=0 -1 =-1?I1(0;-1)x= 3?y=x-1=3 -1 =2 ?I2(3;2)GYMNASE DE BURIER1MSt6
Lorsque que l"on cherche les points d"intersection entre une droite et une parabole, trois cas sont possibles :O1 1xyDeux intersectionsO1
1xyUne intersection
La droite et la para-
bole sont tangentesO1 1xy Aucune intersectionIntersection entre deux paraboles distinctes O1 1xy I1(-2;1)Exemple 3.4Calculer les coordonn´ees
des points d"intersection des para- boles d"´equationyf=x2+ 6x+ 9et y g=-x2-2x+ 1.On cherche les valeurs de x pour lesquellesyf=yg:x2+ 6x+ 9=-x2-2x+ 1+x2+ 2x-1?2x2+ 8x+ 8= 0CL
?2(x2+ 4x+ 4)= 0CL?2(x+ 2)2= 0?S={-2}On remplace dansyfpour trouver la deuxi`eme coordonn´ee;x=-2?y=x2+ 6x+ 9= (-2)2+ 6·(-2) + 9= 4-12 + 9 =1 ?I1(-2;1)GYMNASE DE BURIER1MSt7
Lorsque l"on calcule l"intersection entre deux paraboles distinctes, trois cas sont possibles :O1 1xyDeux intersectionsO1
1xyUne intersection
Les paraboles sont
tangentesO1 1xyAucune intersection4. Application pratique
Exemple 4.1Une balle est tir´ee en l"air `a partir du sol. La hauteur h(en m`etres) de la balle en fonction du tempst(en secondes) est donn´ee parh(t) =-4t2+28 t.O101t [s]h [m]
S(3.5; 49)a) Calculer la hauteur maximale at-
teinte par la balle.La hauteur maximale de la balle cor- respond au sommet de la pa rabole.On calcule donc les coordonn´ees du sommetS?-b2a;-Δ4a?.La balle atteindra le sommet au temps t=-b2a=-282·(-4)=-28-8=3 .5s. Pour trouver la hauteur, on peut remplacert= 3.5dans l"´equation h(t):h(3.5) =-4·(3.5)2+28 ·3.5=49 La hauteur maximale de la balle (atteinte apr`es 3.5 secondes) sera donc de49m`etres.GYMNASE DE BURIER1MSt8 b) Calculer le temps que met la balle pour retomber au sol. Nous devons calculer pour quelles valeurs detl"on a h(t) =-4t2+28 t= 0.On calculeΔ:Δ =b2-4ac=282-4·(-4)·0= 784>0On a donc deux solutions :
x1=-b+⎷Δ
2a= -28+ 28 2·(-4)=0 x2=-b-⎷Δ
2a= -28-282·(-4)= -56-8=7 La balle met donc7secondespour retomber sur le sol.5. Optimisation Exemple 5.1Robert veut faire un parc rectangulaire pour son chien. Il a 10 m`etres de barri`ere. De quelle taille doivent ˆetre la longueurLet lala rgeurxdu parc pour maximiser son aireA? Exprimer l"aire en fonction dexet tracer le graphe de la fonction.L=2-xL=2-x xxSoitx la la rgeurdu pa rcet L sa lon- gueur .Le p´erim`etre du parc vaut P= 2x+ 2L= 10.On cherche `a maximiser l"aireA=x·L.On exprimeLen fonction dex:2x+ 2L= 10?2L= 10-2x?L= 5-xL"aire du parc sera donc de
A=x·L=x(5-x)= 5x-x2=-x2+ 5xGYMNASE DE BURIER1MSt9 O1 1xA Z1(0,0)Z
2(5,0)S(2.5,6.25)Tra¸cons le graphe de la fonc-
tion. Pour cela, calculons les co- ordonn´ees des z´eros et du som- met.-x2+ 5x= 0MEE ? -x(x-5)= 0On a S={0;5}et doncZ1(0,0)
etZ2(5,0).On calcule ensuite les coordonn´ees du sommet S( -b2a,-Δ4a) : b2a=-5-2= 2.5-Δ4a=-52-4·(-1)·04·(-1)=
154=6.25L"aire est maximale quand la largeur vautx= 2.5met la longueury= 5-x= 5-2.5 = 2.5m.Le parc doit donc ˆetre carr´e pour que l"aire soit maximale!GYMNASE DE BURIER1MSt10quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
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