Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire. Voici une méthode basique pour trouver la réduite de Jordan d'une matrice A ...
Triangularisation jordanisation
https://www.math.univ-paris13.fr/~schwartz/L2/jordan.pdf
1 Introduction 2 Théorème de Jordan
Théorème 1 (Jordan) Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme La seconde méthode consiste à appliquer les théorèmes de Cayley-.
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
et qu'elle est aussi décomposable en blocs de Jordan dans ce même espace. 4). Trigonalisation. Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme
Diagonalisation et trigonalisation 1 Valeurs propres vecteurs
En complément (hors programme) : le théor`eme de Jordan en rapport avec la trigonalisation. 1 Valeurs propres vecteurs propres et polynôme caractéristique.
Technique de la réduite de Jordan
Partie I : Quelques mots sur la Trigonalisation CNS de Trigonalisation : ... Partie II : Méthode de la réduite de Jordan.
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
Pour trigonaliser une matrice il n'y a pas de méthode globale à connaître a priori. Trigonalisation de A en réduite de Jordan :.
Résolution numérique de systèmes linéaires
solution unique) nous allons utiliser des méthodes dites réduction de Gauss-Jordan
La classification des endomorphismes. Le théorème de Jordan
21 oct. 2021 2 Diagonalisation et trigonalisation. 8. 2.1 Sous-espaces en sommes directe ... 5 Le théorème de Jordan et la décomposition de Dunford.
Forme normale de Jordan dune matrice
FORME NORMALE DE JORDAN. 5. BLOCS INDÉPENDANTS. Pour l'algorithme de trigonalisation il n'est pas nécessaire que les valeurs propres.
Triangularisation jordanisation exponentielle de matrices
Triangularisation jordanisation exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ? un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´ee On suppose que le polynˆome caract´eristique est scind´e et soit ? 1 ? n les valeurs propres (non n´ecessairement 2 a 2 distinctes) Th´eor`eme 1 1
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan - e Math
• La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire • La décomposition de Dunford : écrire une matrice comme la somme d’une matrice diagonali-sable et d’une matrice nilpotente • La réduction de Jordan : transformer une matrice en une matrice diagonale par blocs
Technique de la réduite de Jordan - Ensah-community
T particulièrement simple dîte de Jordan de la forme suivante : i) Tous les coeffs ne se trouvant ni sur la diagonale de T ni sur la diagonale d’au dessus sont nuls ii) Sur la diagonale on écrit les valeurs propres inscrites autant de fois que l’ordre de multiplicité iii) Sur la diagonale juste au dessus on a des 0 et des 1
Technique de la réduite de Jordan - reussirenmaths
Technique de la réduite de Jordan Partie I : Quelques mots sur la Trigonalisation Un endomorphisme f d’un espae vetoriel E sur un orps K est trigonalisa le si il existe une base sur laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure Une matrice carrée A de taille n est dîte trigonalisable quand il existe une matrice triangulaire
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
PSI Dupuy de Lôme – Fiche technique 5 : diagonalisation trigonalisation - 1 - Diagonalisation trigonalisation Diagonalisation de matrices • Le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces propres de la matrice et en déterminer des bases
Décomposition de Dunford
et réduction de JordanNous avons vu que les matrices ne sont pas toutes diagonalisables. On peut néanmoins décomposer
certaines d"entre elles, en une forme la plus simple possible. Nous verrons trois décompositions. La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire. La décomposition de Dunford : écrire une matrice comme la somme d"une matrice diagonali- sable et d"une matrice nilpotente. La réduction de Jordan : transformer une matrice en une matrice diagonale par blocs. Ksera le corpsRouC,EunK-espace vectoriel de dimension finie.1. Trigonalisation
Nous allons montrer que toute matrice, dont le polynôme caractéristique est scindé, est semblable
à une matrice triangulaire.
1.1. Trigonalisation
On rappelle qu"une matriceA= (ai,j)16i,j6nesttriangulaire supérieuresiai,j=0 dès quei>j: A=0 B BB@a1,1a1,2a1,n
0a2,2......
.........an1,n00an,n1
C CCA.Les coefficients sous la diagonale sont tous nuls. Ceux sur la diagonale ou au-dessus peuvent être
nuls ou pas.Définition 1. Une matriceA2Mn(K)esttrigonalisablesurKs"il existe une matrice inversibleP2Mn(K) inversible telle queP1APsoit triangulaire supérieure. Un endomorphismefdeEesttrigonalisables"il existe une base deEdans laquelle lamatrice defsoit triangulaire supérieure.Bien sûr, une matrice diagonalisable est en particulier trigonalisable.
Théorème 1.
Une matriceA2Mn(K)(resp. un endomorphismef) est trigonalisable surKsi et seulement si son polynôme caractéristiqueA(resp.f) est scindé surK.DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN1. TRIGONALISATION2On rappelle qu"un polynôme est scindé surKs"il se décompose en produit de facteurs linéaires
dansK[X]. Remarquons que siK=C, par le théorème de d"Alembert-Gauss, on a :Corollaire 1. Toute matrice A2Mn(C)est trigonalisable surC.Ce n"est pas le cas siK=R.Exemple 1.
SoitA=
01 1 0 2M2 (R). AlorsA(X) =X2+1. Ce polynôme n"est pas scindé surR, doncA n"est pas trigonalisable surR. Si on considère cette même matriceAcomme élément deM2(C), alors elle est trigonalisable (et ici même diagonalisable) surC: il existeP2M2(C)inversible telle queP1APsoit triangulaire supérieure.1.2. Preuve
Démonstration.
=). Sifest trigonalisable, il existe une base deEdans laquelle la matrice defs"écrit A=0 B BB@a1,1a1,2a1,n
0a2,2......
.........an1,n00an,n1
C CCA.On a alors
f(X) =A(X) =n Y i=1(ai,iX), ce qui prouve quefse décompose en produit de facteurs linéaires dansK[X]. =. La démonstration se fait par récurrence sur la dimensionnde l"espace vectorielE. Sin=1,il n"y a rien à démontrer. Supposons le résultat vrai pourn1,n>2étant arbitrairement fixé.
Le polynômefayant au moins une racine dansK, notonsl"une d"entre elles etv1un vecteur propre associé. SoitFl"hyperplan supplémentaire de la droiteKv1: on a doncE=Kv1F. On considère alors une base(v1,v2,...,vn)deEavec, pour26i6n,vi2F. La matrice def dans cette base s"écrit 0 B BB@ 0 ..B 01 C CCA oùBest une matrice carrée de taille(n1)(n1). On a f(X) = (X)det(BXIn1) = (X)B(X). Notonsgla restriction defàF: la matrice degdans la base(v2,...,vn)est égale àB. Par hypothèse de récurrence,g(et doncB) est trigonalisable : en effet,f(X) = (X)g(X), et commefest supposé scindé surK,gl"est également. Par conséquent, il existe une base (w2,...,wn)deFdans laquelle la matrice degest triangulaire supérieure. Ainsi, dans la base (v1,w2,...,wn), la matrice defest triangulaire supérieure. DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN1. TRIGONALISATION31.3. Exemple
Exemple 2.
Soit A=0 @1 42 0 631 4 01
A2M3(R).Démontrons queAest trigonalisable surRet trouvons une matricePtelle queP1APsoit triangu-
laire supérieure. 1. Commençons par calculer le polynôme caractéristique de A:A(X) =
1X42 0 6X3 1 4X == (3X)(2X)2 CommeAest scindé surR, la matrice est trigonalisable surR. (Nous verrons plus tard si elle est diagonalisable ou pas.) 2.Les racines du polynôme caractéristique sont les réels3(avec la multiplicité1), et2(avec la
multiplicité 2). Déterminons les sous-espaces propres associés. SoitE3le sous-espace propre associé à la valeur propre simple3:E3=fv= (x,y,z)2R3jAv=3vg.
v2E3()Av=3v()8 :x+4y2z=3x6y3z=3y
x+4y=3z()x=y=z E3est donc la droite vectorielle engendrée par le vecteurv1= (1,1,1).
SoitE2le sous-espace propre associé à la valeur propre double2:E2=fv= (x,y,z)2R3jAv=2vg.
v2E2()Av=2v()8 :x+4y2z=2x6y3z=2y
x+4y=2z()x=z 4y=3z E2est donc la droite vectorielle engendrée parv2= (4,3,4).
est égale à 2. Par conséquent, on sait que la matriceAne sera pas diagonalisable. Soitv3= (0,0,1). Les vecteurs(v1,v2,v3)forment une base deR3. La matrice de passage (constituée desviécrits en colonne) est P=0 @1 4 0 1 3 01 4 11
A etP1=0 @3 4 0 11 01 0 11
A On aAv1=3v1etAv2=2v2. Il reste à exprimerAv3dans la base(v1,v2,v3): Av3=A(0,0,1) = (2,3,0) =2(3v1+v2v3)3(4v1v2) =6v1+v2+2v3.
3. Ainsi, l"endomorphisme qui a pour matriceAdans la base canonique deR3a pour matriceT dans la base(v1,v2,v3), où T=0 @3 06 0 2 10 0 21
A DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN2. SOUS-ESPACES CARACTÉRISTIQUES4On aurait aussi pu calculerTpar la formuleT=P1AP.
4.Note. D"autres choix pourv3sont possibles. Ici, n"importe quel vecteurv0
3complétant(v1,v2)en
une base deR3conviendrait. Par contre, un autre choix conduirait à une matrice triangulaire T0différente (pour la dernière colonne).Mini-exercices. 1. La matriceA=2827128est-elle trigonalisable surR? Si oui, trouverPtelle queP1APsoit triangulaire supérieure. Même question avec :437 171 75 2421 2
2. Trouver deux matricesT,T02M3(R)qui soient distinctes, triangulaires supérieures et sem- blables.2. Sous-espaces caractéristiques2.1. Lemme des noyaux
Commençons par démontrer le lemme suivant :Lemme 1(Lemme des noyaux).Soitfun endomorphisme deE. SoientPetQdes polynômes deK[X],premiers entre eux. Alors :Ker(PQ)(f) =KerP(f)KerQ(f)Généralisation : soientP1,...,Prdes polynômes deux à deux premiers entre eux. Alors :Ker(P1Pr)(f) =Ker(P1(f))Ker(Pr(f))On a bien sûr des énoncés similaires avec les matrices.
Rappels.
SoientP,Q2K[X]. On dit queP(X)etQ(X)sontpremiers entre euxdansK[X]si les seuls polynômes qui divisent à la foisPetQsont les polynômes constants. En particulier, surC, deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement s"ils n"ont pas de racine commune. Le théorème de Bézout s"énonce ainsi :PetQsont premiers entre eux() 9A,B2K[X]AP+BQ=1.
Démonstration.SoientPetQdeux polynômes premiers entre eux. Alors, d"après le théorème de
Bézout, il existe des polynômesAetBtels queAP+BQ=1. On a donc, pour tout endomorphisme f:A(f)P(f)+B(f)Q(f) =idE.
Autrement dit, pour toutx2E:
A(f)P(f)(x)+B(f)Q(f)(x) =x.
DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN2. SOUS-ESPACES CARACTÉRISTIQUES5Montrons que KerP(f)\KerQ(f) =f0g.
Soitx2KerP(f)\KerQ(f). On a
A(f)P(f)(x)|{z}
=0+B(f)Q(f)(x)|{z} =0=x, doncx=0, ce qui prouve KerP(f)\KerQ(f) =f0g. Montrons que Ker(PQ)(f) =KerP(f)+KerQ(f)par double inclusion.Preuve de K er(PQ)(f)KerP(f)+KerQ(f).
Soitx2Ker(PQ)(f). On a, toujours en raison du théorème de Bézout, x=A(f)P(f)(x)+B(f)Q(f)(x).Montrons queA(f)P(f)(x)2KerQ(f). En effet :
Q(f)A(f)P(f)(x) =A(f)P(f)Q(f)(x) =A(f)(PQ)(f)(x) =0.On a utilisé que les polynômes d"endomorphisme enfcommutent et que(PQ)(f)(x) =0.
De même,B(f)Q(f)(x)2KerP(f). Ainsi,
x=A(f)P(f)(x)|{z}2KerQ(f)+B(f)Q(f)(x)|{z}
2KerP(f),
et doncx2KerP(f)+KerQ(f). Preuve de K erP(f)+KerQ(f)Ker(PQ)(f). Soienty2KerP(f)etz2KerQ(f). Alors :PQ(f)(y+z) =Q(f)P(f)(y)|{z}
=0+P(f)Q(f)(z)|{z} =0=0, et doncy+z2Ker(PQ)(f). Conclusion : Ker(PQ)(f) =KerP(f)KerQ(f).2.2. Sous-espaces caractéristiques Nous avons vu que, lorsquefest diagonalisable, on aE=E1EravecEi=Ker(fiidE)le sous-espace propre associé à la valeur proprei. Nous allons démontrer que même sifn"est
pas diagonalisable, mais si son polynôme caractéristique est scindé surK, on peut écrireE=Ker(f1idE)m1Ker(fridE)mr,
oùmiest la multiplicité de la valeur propreicomme racine du polynôme caractéristique def.Définition 2.
Soitfun endomorphisme deE. Soitune valeur propre defet soitmsa multiplicité en tant que racine def. Lesous-espace caractéristiquedefpour la valeur propreestN =Ker(fidE)m. Pourvaleur propre def, on aEN, carKer(fidE)Ker(fidE)kquel que soitk>1.Exemple 3.
Soit A=0 BB@2 3 0 0
3 4 0 0
1 1 1 0
951 31
CCA2M4(R).
DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN2. SOUS-ESPACES CARACTÉRISTIQUES6 Calculons les sous-espaces caractéristiques deA. Pour déterminer ses valeurs propres, on calcule d"abord son polynôme caractéristique :A(X) =det(AXI4) == (X3)(X1)3
La valeur propre 3 est de multiplicité 1 et la valeur propre 1 est de multiplicité 3.Sous-espace caractéristique associé à=3.Comme la multiplicité de cette valeur propre est1alors le sous-espace caractéristique est aussi
le sous-espace propre :N3=Ker(A3I4)1=E3. Ainsi,N3=fv2R4j(A3I4)v=0g. CommeN3=E3est de dimension 1 etv1= (0,0,0,1)2N3, alors
N3=Rv1.
Sous-espace caractéristique associé à=1.
La multiplicité de cette valeur propre est 3, doncN1=Ker(AI4)3. On a : AI4=0 BB@3 3 0 0
3 3 0 0
1 1 0 0
951 21
CCA(AI4)2=0
BB@0 0 0 0
0 0 0 0
6 6 0 0
5 12 41
CCA(AI4)3=0
BB@0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1644 81
C CA On cherche une base deN1=fv2R4j(AI4)3v=0g. C"est un espace vectoriel de dimension3, dont par exemple(v2,v3,v4)est une base, avec
vquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] qu'est ce qu'internet definition
[PDF] diagonalisation et trigonalisation des endomorphismes
[PDF] qu'est ce qu'internet pdf
[PDF] valeur propre xcas
[PDF] socialisme pdf
[PDF] principes du communisme engels
[PDF] difference entre capitalisme socialisme et communisme
[PDF] le communisme pour les nuls
[PDF] capitalisme pdf
[PDF] différence entre socialisme et communisme
[PDF] gluten de blé farine
[PDF] blé gluten pourcentage
[PDF] gluten de blé bio
[PDF] gluten de blé recette