Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire. Voici une méthode basique pour trouver la réduite de Jordan d'une matrice A ...
Triangularisation jordanisation
https://www.math.univ-paris13.fr/~schwartz/L2/jordan.pdf
1 Introduction 2 Théorème de Jordan
Théorème 1 (Jordan) Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme La seconde méthode consiste à appliquer les théorèmes de Cayley-.
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
et qu'elle est aussi décomposable en blocs de Jordan dans ce même espace. 4). Trigonalisation. Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme
Diagonalisation et trigonalisation 1 Valeurs propres vecteurs
En complément (hors programme) : le théor`eme de Jordan en rapport avec la trigonalisation. 1 Valeurs propres vecteurs propres et polynôme caractéristique.
Technique de la réduite de Jordan
Partie I : Quelques mots sur la Trigonalisation CNS de Trigonalisation : ... Partie II : Méthode de la réduite de Jordan.
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
Pour trigonaliser une matrice il n'y a pas de méthode globale à connaître a priori. Trigonalisation de A en réduite de Jordan :.
Résolution numérique de systèmes linéaires
solution unique) nous allons utiliser des méthodes dites réduction de Gauss-Jordan
La classification des endomorphismes. Le théorème de Jordan
21 oct. 2021 2 Diagonalisation et trigonalisation. 8. 2.1 Sous-espaces en sommes directe ... 5 Le théorème de Jordan et la décomposition de Dunford.
Forme normale de Jordan dune matrice
FORME NORMALE DE JORDAN. 5. BLOCS INDÉPENDANTS. Pour l'algorithme de trigonalisation il n'est pas nécessaire que les valeurs propres.
Triangularisation jordanisation exponentielle de matrices
Triangularisation jordanisation exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ? un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´ee On suppose que le polynˆome caract´eristique est scind´e et soit ? 1 ? n les valeurs propres (non n´ecessairement 2 a 2 distinctes) Th´eor`eme 1 1
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan - e Math
• La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire • La décomposition de Dunford : écrire une matrice comme la somme d’une matrice diagonali-sable et d’une matrice nilpotente • La réduction de Jordan : transformer une matrice en une matrice diagonale par blocs
Technique de la réduite de Jordan - Ensah-community
T particulièrement simple dîte de Jordan de la forme suivante : i) Tous les coeffs ne se trouvant ni sur la diagonale de T ni sur la diagonale d’au dessus sont nuls ii) Sur la diagonale on écrit les valeurs propres inscrites autant de fois que l’ordre de multiplicité iii) Sur la diagonale juste au dessus on a des 0 et des 1
Technique de la réduite de Jordan - reussirenmaths
Technique de la réduite de Jordan Partie I : Quelques mots sur la Trigonalisation Un endomorphisme f d’un espae vetoriel E sur un orps K est trigonalisa le si il existe une base sur laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure Une matrice carrée A de taille n est dîte trigonalisable quand il existe une matrice triangulaire
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
PSI Dupuy de Lôme – Fiche technique 5 : diagonalisation trigonalisation - 1 - Diagonalisation trigonalisation Diagonalisation de matrices • Le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces propres de la matrice et en déterminer des bases
1 Triangularisation
SoientEun espace vectoriel de dimensionnet?un endomorphisme deEde matrice Adans une base donn´ee. On suppose que le polynˆome caract´eristique est scind´e et soit1,...,λnles valeurs propres (non n´ecessairement 2 `a 2 distinctes).
Th´eor`eme 1.1.Il existe une base telle queP´etant la matrice de changement de base la matriceP-1APestr triangulm`ere sup´erieure. P -1AP=(1?...?
0λ2?...?
0...0λi? ?
0...0λn)
La d´emonstration fournit une m´ethode de triangularisation. On va donc en donner les grandes lignes. Elle est bas´ee sur une m´ethode de r´ecurrence. On suppose donc que l"on sait d´emontrer le th´eor`eme `a l"ordren-1. Puis on cherche une valeur propreλet un vecteur propreede l"endomorphisme associ´e (ou ce qui est´equivalent de la matriceA).
On compl`ete en une base deE: (e,v2,...,vn). La matrice de?est dans cette base de la forme : ?λ L 0B?Soit siPest la matrice de passage
P -1AP=?λ L 0B? On applique `a la matriceB(n-1,n-1) l"hypoth`ese de r´ecurrence. C"es-`a-dire que l"on peut trouver des vecteursw2,...,wn(qui forment une base du sous-espace engendr´e par v2,...,vn) tels que si on noteP?la matrice de passage de (v2,...,vn) `a (w2,...,wn) la
matriceP?-1BP?est triangul`ere. Donc ?1 00P?-1?
P -1AP?1 0 0P?? =?1 00P?-1??λ L
0B?? 1 0 0P?? Soit ?1 00P?-1?
P -1AP?1 0 0P?? =?λ LP?0P?-1BP??
qui a les propri´et´es requises. 12 R´eduction de Jordan en dimension2et3
On va donner une autre mani`ere de proc´eder dans des cas particuliers. D"abord : D´efinition 2.1.On appelle r´eduite de JordanJk(λ)la matrice(k,k): ((((λ1 0...0λ1...
...0λ10...0λ)
Une matriceA(2,2), ou un endomorphisme?, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n"est pas diagonalisable a une valeur propre doubleλ. Proposition 2.2.Sous l"hypoth`ese pr´ec´edente il existePtelle queP-1AP=J2(λ). On dira qu"on a jordanis´e la matrice. Une base de Jordanisation est obtenue de la mani`ere suivante. On choisit un vecteurvtelle quew= (?-λId)(v)soit non nul. Alors(w,v) (dans l"ordre) est une telle base. On notera quewest un vecteur propre. On notera que comme on a suppos´eAnon diagonalisable on a ´elimin´e le casA=λI2qui a une valeur propre double. Pour une matriceA(3,3), ou un endomorphisme?, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n"est pas diagonalisable on a deux situations possibles : •Une valeur propre tripleλ. •Une valeur propre doubleλet une valeur propre simpleμ. Proposition 2.3.Sous l"hypoth`ese pr´ec´edente : Dans le premier cas on a toujours(?-λId)3= 0, par Caley Hamilton et par hypoth`ese ??=λId. •Sidim(Eλ) = 1il existePtelle que P -1AP=J3(λ) dim(Eλ) = 1ceci a lieu si et seulement si(?-λId)2?= 0. •Sidim(Eλ) = 2il existePtel que P -1AP=?J2(λ) 00λ?
ceci a lieu si et seulement si(?-λId)2= 0. Pour le premier sous cas une base de Jordanisation est obtenue de la mani`ere suiv- ante. On choisit un vecteurwtel queu= (?-λId)2(w)soit non nul. Alors(u,v,w), avecv= (?-λId)(w), (dans l"ordre) est une telle base. On notera quewest un vecteur propre. Pour le second sous cas une base de Jordanisation est obtenue de la mani`ere suiv- ante. On choisit un vecteurvtel queu= (?-λId)(v)soit non nul. Alorsuest un vecteur propre. On compl`eteuen une base deEλparw,(u,v,w), (dans l"ordre) est la (une) base had oc. 2 •Dans le second cas on peut trouverPtelle que P -1AP=?J2(λ) 00μ?
On cherche un vecteurwpropre associ´e `aμ. Puis on cherche une base de¯Eλ= ker(?-λId)2. Par hypoth`ese ce sous-espace est de dimension2etdim(Eλ) = 1. On cherche un vecteurvde¯Eλtel queu= (?-λId)(v)?= 0,(u,v,w)fournit la base cherch´ee.Voici un exemple, soit la matriceA:
(2-2 2 2 2 21 1 2)
2 est valeur propre triple, le sous espace propre est de dimension 1, (1,1,-1) est vecteur
propre. On cherche un vecteur?wdeR3tel que (A-2I3)2(?w)?= 0. On peut prendre le vecteur u3= (0,0,1). Auquel cas on poseu2= (A-2I3)(u3) = (2,2,0) etu1= (A-2I3)(u2) =
(-4,4,4) et (u1,u2,u3) forment une base de jordanisation. Comme application on peut calculerAnpour tout entiern,n≥0. On poseN=A-2I3. On sait queN3= 0 (Caley Hamilton ou on fait un calcul direct). On ´ecrit A n= (2I3+N)n= 2nI3+n2n-1N+n(n-1)22n-2N2 par application de la formule de Newton, en utilisantN3= 0. CommeN2est ´egale `a (-2 2-4 2-2 42-2 4)
on laisse au lecteur le soin d"´ecrire les formules finales.Voici un autre exemple, soit la matriceA:
(1 0 1 -1 2 11-1 1)
1 est valeur propre double, 2 est valeur propre simple.
Le vecteure3= (1,0,1) est vecteur propre associ´e `a 2. Le vecteure3= (1,1,0) est vecteur propre associ´e `a 2,E1est de dimension 1. On cherche une base du sous-espace¯E2= ker(?-2Id)2. On constate quee1= (0,0,1) ete2= (1,0,1) forment une telel base et que (?-2Id)(e2) =e1.On a la base souhait´ee.
33 Sous-espaces caract´eristiques
Si?est un endomorphisme d"un espace vectorielEde dimensionndont le polynˆome caract´eeistique est scind´e : c ?(X) = (-1)n(X-λ1)α1...(X-λr)αravec lesλi2 `a 2 distincts on d´efinit le sous-espace caract´erisqtique associ´e `aλipar
Eλi= ker(?-λiId)αi
Il est clair que
Eλi?¯Eλi
On admettra
E=¯Eλi?¯Eλ2?...?¯Eλr
4 Jordanisation en dimension4
Cet exemple sera juste abord´e, voici un descriptif des situations possibles avec une valeur propre d"ordre 4. D"abord on remarque que (?-λId)4= 0. •La matriceI4. •Si dim(Eλ) = 1 alors il existePtelle queP-1AP=J4(λ). On trouve une base de Jordanisation en cherchantutel que (?-λId)3(u)?= 0. •Si dim(Eλ) = 2 alors il y a deux sous cas, soit (?-λId)2= 0. existePtelle que P -1AP=?J2(λ) 0quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5[PDF] qu'est ce qu'internet definition
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