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Méthodes de géométrie dans l'espace
Déterminer une équation cartésienne de plan L'équation cartésienne d'un plan est du type ax + by + cz + d = 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d'un vecteur normal du plan . On procède en deux étapes : D'abord déterminer un vecteur normal au planEnsuite déterminer d .
Première étape : Déterminer un vecteur normal au plan (ABC)Rappels :
Un vecteur est normal au plan s'il est orthogonal au plan Un vecteur est orthogonal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs sécants du plan Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul Si on a );;(zyxur et )';';'(zyxvr alors '''zzyyxxvu++=×rr Soit nr un vecteur normal de (ABC) alors 0=×ABnr et 0=×ACnr et 0=×CBnr Deux équations suffisent donc on garde par exemple 0=×ABnr et 0=×ACnr Ensuite , on détermine deux des coordonnées de nr en fonction de la troisième . On choisit une valeur pour cette variable et on en déduit les deux autres .Exemple
Déterminer un vecteur normal de (ABC) avec A(0 ;2 ;3) , B(1 ;0 ;5) et C(1 ;1 ;0) .On a : )2;2;1(-AB et )3;1;1(--AC
On pose nr(a ;b ;c) .
On a :
0 0 ACn ABnr r donc 03 022cba cba 2 1 L L
En faisant 21LL- : 05=+-cb donc b = 5c
En faisant 221LL- : 08=+-ca donc a = 8c
Puisque tous les vecteurs normaux d'un même plan ont des coordonnées proportionnelles , on peut choisir la valeur qu'on veut pour c . Prenons c = 1 .Alors nr(8 ;5 ;1)
Remarque :
Si on a des fractions , on essaie de choisir c pour ne plus avoir de fractionPar exemple , si on avait eu :
cb ca 5 432 , on pouvait choisir c = 15 . Ainsi , a = 10 et b = 12 .
Deuxième étape : déterminer d
On a les coefficients devant x , y et z . Il manque donc d . Pour cela on remplace (x ;y ;z) par les coordonnées d'un point du plan et on résout l'équation pour trouver dExemple
En gardant l'exemple précédent , on a comme équation cartésienne du plan (ABC) :058=+++dzyx
Il manque d
Du plan (ABC) , on connaît trois points : A , B et C On en choisit un , prenons C ( moins de risque d'erreur de calcul avec des 0 et des 1 ) Méthodes de géométrie dans l'espace 001518=++´+´dOn résout : d = - 13
L'équation de (ABC) est donc : 01358=-++zyx
Remarque 1 : si on avait pris A ou B , on trouvait le même d032508=++´+´d donne d = - 13 avec A
050518=++´+´d donne d = - 13 avec B
Remarque 2 : les équations cartésiennes d'un même plan sont proportionnelles . C'est-à-dire
que l'équation 02621016=-++zyx est aussi une équation de (ABC) . En général , on essaie de les simplifier au maximum .Des variantes
On peut demander l'équation cartésienne d'un plan sans donner trois points du plan . On en donnera un ( pour pouvoir calculer d) mais on donnera des indications qui permettent de trouver le vecteur normal par d'autres raisonnements . Pour cela , quelques règles à retenir ( on peut s'aider de schémas ) Deux plans parallèles ont le même vecteur normal ( à une constante près donc on peut prendre le même )Deux plans orthogonaux ont des vecteurs normaux
orthogonaux Des plans sécants ont des vecteurs normaux non colinéaires ( leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles) Si un plan contient une droite , il contient le vecteur directeur de cette droite . Si une droite est orthogonale à un plan , son vecteur directeur est le vecteur normal du plan . Ici , D est dans P , son vecteur ur est orthogonal à nr D' est orthogonale à P alors son vecteur 'ur est colinéaire ( on peut même considérer égal) à nrMéthodes de géométrie dans l'espace
Exemple
Déterminer l'équation cartésienne du plan P parallèle au plan P' d'équation01232=-+-zyx sachant que P passe par A(0 ;8 ;5)
Puisque P et P' sont parallèles , ils ont même vecteur normal . Le vecteur normal de P' est )3;1;2(-nr : celui de P aussi Donc une équation cartésienne de P est : 032=++-dzyx Puisque A appartient à P , on a : 053802=+´+-´d donc d = - 7Et donc P : 0732=-+-zyx
Représentation paramétrique de droites
On a besoin du vecteur directeur de la droite et d'un point de la droiteOn a alors :
Un point M(x ;y ;z) appartient à la droite D de vecteur directeur );;(cbauret qui passe par le point A()AAAzyx;; si et seulement si : kczz kbyy kaxx A A A avec k réel .Cas classique
On détermine le vecteur directeur de la droite et on applique simplement la formule ci-dessusExemple
Déterminer une représentation paramétrique de (AB) avec A(1 ;2 ;3) et B(0 ;8,4) Commençons par déterminer un vecteur directeur de (AB) ; soyons simples ! )1;6;1(-AB La droite (AB) passe par A et B ( ce qu'on peut être simplistes quand même !)On choisit un point : A par exemple
On applique la formule :
kkczz kkbyy kkaxx A A A 3 621 avec k réel .
Remarque :
Si on choisit B , on a une autre représentation paramétrique de la même droite . '4 '68 kz ky kx avec k' réel En fait , ce qui change pour les points , c'est le " k » . Avec la première qu'on a trouvé , le point A correspond à k = 0 Avec la deuxième : le point A correspond à k' = -1Des variantes
Comme précédemment , on peut donner des indications autres que deux points pour trouver le vecteur directeur de la droite . Deux droites orthogonales ont des vecteurs directeurs orthogonaux ; leurs vecteurs normaux sont orthogonaux ; on peut aussi dire que le vecteur directeur de l'une est le vecteur normal de l'autre . Deux droites parallèles ont le même vecteur directeur et le même vecteur normal .Méthodes de géométrie dans l'espace
Retrouver la représentation paramétrique à partir de deux équations de plansRappels :
L'intersection de deux plans est soit vide , soit un plan , soit une droite Deux plans sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires Autrement dit , quand on a les équations cartésiennes de deux plans , on peut chercher leur intersection . Si c'est une droite , alors on doit pouvoir retrouver la représentation paramétrique de cette droite à partir des deux équations de plans . Pour cela , on utilise les combinaisons linéaires pour exprimer deux variables en fonction de la troisième .Exemple
Soient P : 02573=+-+zyx et P' : 0432=-+-zyx
On veut déterminer la représentation paramétrique de la droite intersection de ces deux plans
Commençons par vérifier que ces deux plans sont bien sécants : On a )5;7;3(-nr vecteur normal de P et )1;3;2('-nr vecteur normal de P' . Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles ( en effet : n'est pas un tableau de proportionnalité ) Les deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires et donc les plans sont sécants Déterminons maintenant la représentation paramétrique de la droite d'intersectionOn considère le système :
043202573
zyx zyx 2 1 L L On utilise les combinaisons linéaires , comme si on cherchait à résoudre les système par
Gauss , par exemple :
2312LL- et 2713LL+:
016823
022823
zy zx ce qui donne zy zx 238 23
1623
8 23
22
On pose alors z = k et on a la représentation paramétrique de la droite intersection de P et P' :
kz ky kx 238 23
1623
8 23
22
avec k réel
Vecteur et point de cette droite
On peut ainsi en déduire un vecteur directeur de cette droite : ÷ø ae1;23 8;238ur ou puisque les
vecteurs directeurs sont tous colinéaires : ()23;8;8ur ; et un point de cette droite : ÷ø ae-0;23 16;23 22et pas de simplification car les points ne sont pas " proportionnels » , eux !
3 7 - 5
2 - 3 1
Méthodes de géométrie dans l'espace
Equation cartésienne d'une sphère
L'équation cartésienne d'une sphère de centre A er de rayon R est : ()()()2222RzzyyxxAAA=-+-+-On donne le rayon et le centre
Dans ce cas , on applique simplement la formule ci-dessusExemple
Déterminer une équation cartésienne d'une sphère de centre A(5 ;3 ;0) et de rayon 6 ()()()2222RzzyyxxAAA=-+-+- donne ()()()22226035=-+-+-zyx c'est-à-dire : ()()3635222=+-+-zyx On donne une équation et on veut retrouver centre et rayon Pour cela on utilise la forme canonique pour faire réapparaitre la formule de la définitionExemple
Déterminer l'ensemble des points M(x ;y ;z) de l'espace qui vérifient :010243²²²=+-+-++zyxzyx
On regroupe les termes " en famille » : 0102²4²3²=+-+++-zzyyxxOn sait que xx3²- est le début de
2 23÷ø
ae-x mais 493²2
3 2 ae-xxxDonc xx3²- = 4
9 2 3 2 ae-x . On procède de même avec les y et avec les z , on obtient : ()()01011424 9 2 3222 ae-zyx
Soit ()()04
19122322
2 ae-zyx et donc ()()4 19122
322
2 ae-zyx On a donc l'équation cartésienne d'une sphère de centre A÷ø ae-1;2;2
3 et de rayon 2
19Intersection d'une droite et d'un plan
On a besoin d'une équation cartésienne du plan et de la représentation paramétrique d'une
droiteOn remplace dans l'équation du plan les x , y et z par ceux de la représentation paramétrique
de la droite , on détermine k .Exemple
Déterminer le point d'intersection du plan P : 08432=-++zyx et de la droite D dont une représentation paramétrique est : kz ky kx 3 1 32avec k réel On remplace dans l'équation de P : 08)3(4)1(3)32(2=-+++-+-kkk . On résout :
05=+k donc k = - 5 . On a donc :
253651
17)5(32
z y x et le point d'intersection estB(17 ;-6 ;-2) .
Méthodes de géométrie dans l'espace
Distance d'un point à une droite dans l'espace
Rappels :
Dans le plan : Soit d une droite d'équation ax + b + c = 0 et soit M(u,v) un point du plan : Alors la distance de M à d est donnée par ²²ba cbvau Dans l'espace : Soit P un plan de l'espace d'équation ax + by + cz + d = 0 et soit M(u,v,w) un point de l'espace . Alors la distance de M à P est donnée par²²²cba
dcwbvau On a ces deux formules à notre disposition qui permettent de calculer des distances ; hélas aucune ne s'applique à cette situation !On doit donc utiliser le projeté orthogonal .
Méthode : on cherche à déterminer la distance d'un point A à la droite D .1) On détermine la représentation paramétrique de D .
2) On appelle H le projeté orthogonal de A sur D
3) Par définition , H est sur D donc les coordonnées de H vérifient la représentation
paramétrique de D .4) Par définition , (AH) et D sont orthogonales donc on utilise le produit scalaire :
0=×uAHret on détermine k .
5) On calcule la longueur AH
Exemple
Déterminer la distance de A(2 ;3 ;1) à la droite D de représentation paramétrique : kz ky kx 2332
1 avec k réel . Soit H(x ;y ;z) le projeté orthogonal de A sur D alors H est sur D et donc kz ky kx 23
32
1
A partir de la représentation paramétrique de D , on peut déterminer un vecteur directeur de
D : )2;3;1(--ur ; de plus )1;3;2(---zyxAH c'est-à-dire )123;332;21(---+---kkkAH et donc )22;35;1(kkkAH-+--- (AH) et D sont orthogonales donc 0=×uAHr donc : 0)22(2)35(3)1(1=--+-+---kkkCe qui donne : 01418=+-k donc 7
9 14 18==kOn a donc )7
922;7935;7
91(´-´+---AH donc ÷ø
ae---7 4;7 8;7 16AHCalculons maintenant AH = 7
8427 336
7 4 7 8 7 16 222
ae+÷ø ae+÷ø ae
La distance de A à D est donc 7
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