[PDF] Comprendre les dérivées partielles et leurs notations





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Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables

plusieurs variables (parmi lesquels les dérivées partielles les différentielles …). Appliquons la formule qui donne l'élasticité de la fonction k :.





Titre II

La dérivée partielle ?U/?X est égale à l'utilité marginale de X l'élasticité de substitution de la fonction Cobb-Douglas est égale à 1.



Interpréter les coefficients dune régression linéaire Modèle niveau

Formellement il s'agit de la dérivée partielle. En Notons qu'il convient de parler d'élasticité partielle puisque la régression prend en compte.



Modèle destimation de lélasticité de substitution et du progrès

où la dérivée partielle de F par rapport à ses arguments est dénotée par les termes FL FK et Ft. À ce niveau de dérivation



La notion délasticité et ses applications Motivations Contenu 1. La

alors l'élasticité prix de la demande de glace est calculée Toutefois élasticité et dérivée sont liées par une formule « magique ».



1 Préférences du consommateur

calculer l'élasticité de la demande par rapport au revenu et l'élasticité rapport de la dérivée (partielle) de la fonction d'utilité U par rapport à la ...



1 Exercice 1 : élasticité-prix et élasticité-revenu

Indication : aidez-vous des rappels de maths mis en ligne. L'objectif est de vous rappeler qu'il ne faut pas confondre différentielle (d) et dérivée partielle ( 



Introduction `a lanalyse microéconomique Compléments utiles sur

Ce qui implique en prenant la définition de l'élasticité-prix (croisée) et de Si on prend la dérivée partielle de cette expression par rapport `a pj



Fonctions de deux variables

Ca se dessine ou se visualise. Page 6. Dérivées partielles. Pour une fonction de deux variables il y a deux 



Comprendre les dérivées partielles et leurs notations

Pour pouvoir calculer la dérivée partielle d’une expression constituée d’unefonctiondontlesargumentssontdesexpressionsnontrivialecomme par exemple Bfpu2;uv;cospuvqq Bu il faut faire appel à la règle de dérivation en chaîne qui exprime les dérivées partielles de la composition de deux fonc-



Les élasticités de la demande - AUNEGE

Notions sur les équations aux dérivées partieles Pour étudier les phénomènes réels on utilse Notions sur les équations aux dérivées partielesPour étudier les phénomènes réels on utilse mécanique électromagnétisme acoustiques thermo dynamiques quantiques relativistes etc les lois de la physique : Cet e étude se par des équations



Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables

Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables Elle a toutes les propriétés des dérivées 1 2 Différentielle Nous admettrons que si une fonction est continue et possède des dérivées partielles continues alors elle est différentiable



Exo7 - Cours de mathématiques

Méthode Pour calculer une dérivée partielle par rapport à une variable on n’utilise que rarement la définitionavec les limites car il suffit de dériver par rapport à cette variable en considérant les autres variables commedes constantes Exemple 2 Calculer les dérivées partielles premières de la fonctionf:R2?Rdéfinie par f(xy) =x2e3y Solution



Dérivées partielles et directionnelles - e Math

Dérivées partielles et directionnelles Exercice 1 Déterminer pour chacune des fonctions suivantes le domaine de dé?nition D f Pour chacune des fonctions calculer ensuite les dérivées partielles en chaque point du domaine de dé?nition lorsqu’elles existent : 1 f(x;y)=x2exp(xy) 2 f(x;y)=ln(x+ p x2+y2) 3 f(x;y)=sin2x+cos y 4 f(x;y;z)=x2y2



Equations aux Dérivées Partielles - École des ponts ParisTech

Notre objectif est de présenter les principaux résultats concernant les propriétés qualitatives des solutions aux équations aux dérivées partielles ainsi que les mé- thodes de discrétisation usuelles en nous concentrant sur les problèmes elliptiques et paraboliques Au passage nous complèterons le cours d’analyse de première an- née [2]



Résolution numérique des équations aux dérivées partielles (PDE)

Comme elles impliquent plusieurs paramètres l’équation différentielle fait intervenir des dérivées partielles par rapport à chacun des paramètres Equation d’onde Equation de diffusion (chaleur) Equation de Shrodinger D’où le terme « PDE » pour « Partial Differential Equation »



Introduction aux Equations aux D´eriv´ees Partielles

Avant-Propos Notre compr´ehension des ph´enom`enes du monde r´eel et notre technolo-gie sont aujourd’hui en grande partie bas´ees sur les ´equations aux d´eriv´ees



Notions sur les équations aux dérivées partielles

Nous avons l'habitude de classer les équations aux dérivées partielles en trois grandes classes fondamentales d'équation : elliptiqueparabolique et l'équation hyperbolique La physique la biologie et les sciences pour l'ingénieur nécessitant de savoir résoudre une grande ariétésv des équations di érentielles aux dérivées partielles



Plasticité/viscoplasticité 3D - PSL

NOTE : dérivée partielle de s ? et de J par rapport à s ? On aura à exprimer ¶J ¶s ? pour calculer n ? La dérivée de s ? par rapport à s ? est le tenseur J ? = I 1 3 I ? I ? qui s’écrit en notation indicielle : Jijkl = 1 2 ( d ik jl + il jk) 1 3 ij kl en effet : s ? = J ?: s ? Dérivée de J par rapport à s ?: ¶J ¶s



Analyse Numérique des Equations aux Dérivées Partielles

Analyse Numérique des Equations aux Dérivées Partielles Partie théorique Franck Boyer Master MAPI3 Première année Université Paul Sabatier - Toulouse 3



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1 L'équation (2) est dérivée sous la contrainte que l'élasticité de substitution entre L et K est constante (sur ce point voir l'article de H Rose) De plus l'équation est dérivée à partir de l'hypothèse que la fonction de production est homogène au premier degré

Comment calculer les élasticités?

  • Ces élasticités peuvent aussi être estimées à partir des enquêtes de consommation des ménages. L'estimation des élasticités à partir de données observées de prix, revenus et de consommations s'effectue en utilisant les techniques de régression simple.

Comment calculer les dérivées partielles secondes ?

  • 1.3. Les dérivées partielles secondes Soit f une fonction numérique à n variables x1, x2, x3, …., xn définie sur un domaine D de IRn admettant n dérivées partielles premières continues sur D On appelle dérivée partielle seconde de f par rapport à xi xj au point ?2f X0 = (x01, x02, x03, …., x0n), notée (X0) ou f’’

Quels sont les problèmes particuliers d’élasticité?

  • 3 – Problèmes particuliers d’élasticité 3 – 1 Contraintes planes Nous rappelons qu’un solide est en état de contraintes planes par rapport au repère associé sur les vecteurs (, ee 12 ), si le tenseur des contraintes est de la forme : 11 12 21 22

Quelle est la valeur de l’élasticité?

  • La valeur de l’élasticité nous renseigne sur le type de bien auquel on a affaire A savoir : La valeur d’une élasticité-prix de la demande nous renseigne sur la pente de la courbe de demande :

Comprendre les dérivées partielles et leurs

notations

Kévin Santugini

Ce mini-poly est destiné aux personnes déjà familières avec la notion de dérivation d"une fonction d"une seule variable. Le but de ce mini-poly est d"introduire la notion de différentiation des fonctions à plusieurs variables. Nous allons présenter la théorie dans un ordre unusuel. Nous allons commen- cer par la notion de dérivée partielle car dans les applications (en physique, mécanique ou autre) ce sont les dérivées partielles qui apparaissent le plus fréquemment. De plus, les notations usuelles pour les dérivées partielles sont très souvent déconcertantes quand elles sont vues pour la première fois. Aussi insisterons nous beaucoup sur la signification des différentes notations utili- sées pour les dérivées partielles. Les notions plus élaborées, entre autres la différentielle, seront abordées dans un second temps.

1 Les dérivées partielles

1.1 Vision calculatoire

Nous commençons par montrer comment définir et calculer une dérivée partielle à partir la notion de dérivée d"une fonction d"une seule variable. Cela permettra de définir la notion de dérivée partielle, d"en expliquer les notations et surtout d"expliquer comment calculer rapidement une dérivée partielle

1. Commençons par un exemple Soitfla fonction

f: ÑE px;yq ÞÑsinpxy2q Pour calculer la dérivée partielle defsuivant la première variablex, on fixe y, puis on considère l"applicationxÞÑsinpxy2qpuis on calcule sa dérivée que l"on noteBfBxpx;yq y2cospxy2q: De même, pour calculer la dérivée partielle defsuivant la la deuxième variabley, on fixexpuis on considère l"applicationyÞÑsinpxy2qpuis on

1. À la condition bien entendu de savoir calculer rapidement la dérivée d"une fonction

d"une seule variable. 1

1. Les dérivées partielles2calcule sa dérivée :

BfBypx;yq 2xycospxy2q:

Étendons maintenant ce procédé. Soitdun entier,d¥1. Considérons une fonctionfd"un ouvert deRdà valeur dans un espace vectorielE: f: ÑE px1;:::;xdq ÞÑfpx1;:::;xdq:

Soitpx1;:::;xdqdans

. Nous allons considérer l"application : :tsPR| px1;:::;xi1;s;xi1;:::;xdq P u ÑE sÞÑfpx1;:::;xi1;s;xi1;:::;xdq Si cette fonction d"une seule variable est dérivable ensxi, alors on dit que fadmet une dérivée partielle enx px1;:::;xdqsuivant saievariable. On note BfBxicette dérivée partielle que l"on définit par Cela revient à considérer que toutes les variablesxjpourj1;:::;det jisont constantes et à dériver suivant la variablexide la même manière que l"on dérive une fonction d"une seule variable scalaire.

Il est aussi courant d"utiliser la notation

BBxipfqpour désigner cette même

dérivée partielle : (1.2) par convention. Les parenthèses autour dufsont parfois élidées. La nota- tion (1.2) est surtout utilisée pour des raisons esthétiques, quand le numé- rateur serait trop long si on utilisait la notation (1.1). Nous utiliserons cette notation à la section §3. Pour gagner de la place, une autre notation utilisée omet la barre de fraction et le dénominateur. Par convention, B (1.3) Les parenthèses autour dufsont souvent élidées.

1.2 Dérivées partielles et notations

Nous allons maintenant nous atteler à une grande source de confusion dans l"apprentissage du calcul différentiel multivariables : les notations. Mais Comprendre les dérivées partielles et leurs notations KévinSantugini. Enseirb-matmeca

1. Les dérivées partielles3avant de les expliquer, nous devons expliquer pourquoi elles sont si difficiles à

maîtriser. Elles sont difficiles car les notations des dérivées partielles ne sont pas conformes aux notations utilisées pour les fonctions. Commençons par un petit aparté sur les notions de notations positionnelles et désignationnelles 2 pour les fonctions.

1.2.1 Notations positionnelles et notations désignationnelles

En effet, en mathématique, le choix a été fait pour les fonctions d"utiliser une notation "positionnelle" : c"est la position des arguments qui compte et non la lettre employée pour l"argument dans la définition de la fonction. Ainsi poserf:px;yq ÞÑxyouf:py;xq ÞÑyxest complètement équivalent. Par exemple, dans les deux cas,fp1;2q 1. Il s"agit là d"une convention très largement respectée mais cette convention n"était pas la seule convention possible. Il aurait été tout à fait possible d"imaginer qu"une autre conven- tion s"impose. Cette convention que nous appellerions notation désignation- nelle utiliserait des expressions du stylefpx2;y1q, icixetysont ce que l"on appelle des désignateurs. Dans cette convention, l"ordre des argu- ments n"aurait plus d"importance, la variablexdans l"expression defserait remplacée par2et la variableypar1. Et dans cette notation, on aurait fpx2;y1q fpy1;x2q. Ce qui implique que dans une notation désignationnelle,f:px;yq ÞÑxyouf:py;xq ÞÑyx, ne sont pas équi- valentes. Bien sûr, les notations désignationnelles ne sont jamais employées en mathématiques mais elles le sont parfois en informatique, connues sous le nom de " named parameters », " pass-by-name », ou " keyword arguments » comme, entre autres, enFORTRAN3. Quel rapport avec les dérivées partielles? Et bien, c"est très simple.Alors que toutes les notations pour les fonctions sont positionnelles, la notation usuelle pour les dérivées partielle est désignationnelle. Et c"est exactement à cause de cette incohérence que ceux qui viennent de découvrir les dérivées partielles s"emmêlent les pinceaux. Prenons un exemple. Considérons une fonction de deux variables scalaires f:px;yq ÞÑfpx;yq: Dans BfBxp1;xq, lexentre parenthèses, dans la liste d"arguments, se réfère à la deuxième variable car les arguments d"une fonction suivent les notations positionnelles. Et inversement, lexau dénominateur, dansBx, se réfère à la première variable car il suit une notation désignationnelle et dans la définition def, le premier paramètre s"appellex. La présence duxentre parenthèses dans la liste d"arguments ne change pas le sens deBxau dénominateur. Donc,

dans la même formule, unxse réfère à la première variable et un autre2. Les mots " désignationnelles » et " positionnelles » ne sont pas standardisés en ma-

thématiques pour les fonctions.

3. À partir duFORTRAN90

Comprendre les dérivées partielles et leurs notations KévinSantugini. Enseirb-matmeca

1. Les dérivées partielles4se réfère à la seconde. Avec des notations aussi incohérentes, il n"est guère

surprenant que les novices en calcul différentiel multivariables se sentent perdus. Malheureusement, ces notations sont maintenant trop ancrées dans l"usage pour les remplacer par des notations plus cohérentes donc il faudra faire avec. Remarque1.1.Si vous n"êtes pas encore convaincu de l"incohérence complète des notations usuelles pour les dérivées partielles, l"exemple suivant devrait vous convaincre. Considérons les deux fonctions suivantes : f:R2ÑR px;yq ÞÑcospxqsinpyqg:R2ÑR py;xq ÞÑcospyqsinpxq Au sens des fonctions,fg. Et donc la dérivée partielle defsuivant la première variable est égale à la dérivée partielle degsuivant la première variable. Mais la désignation de la première variable defestxalors que la désignation de la première variable degesty. Ainsi la dérivée partielle de fsuivant la première variable est notéeBfBxet celle degest notéeBgBy. Aussi a-t-on : fg;BfBxBgBy;BfByBgBx: Exactement le contraire d"une notation pratique, intuitive et cohérente. Mais, malheureusement, comme dit plus haut, ces notations sont maintenant stan- darts et nous devrons faire avec.

1.2.2 Comprendre la notation des dérivées partielles

Maintenant que nous avons expliqué le problème inhérent aux notations usuels pour les dérivées partielles, nous allons expliquer un moyen pratique de savoir suivant quel variable on dérive quand on rencontre la dérivée partielle d"une fonction. Pour cela, nous allons expliciter la notion de désignateur dans les notations. Un désignateur est juste un caractère qui désigne une position d"argument dans une fonction. Et par facilité, le caractère utilisé comme désignateur pour une position d"argument est le même caractère que celui utilisé pour la variable se situant à cette position dans la définition de la fonction. Explicitons tout cela dans une notation maison : f:R3ÑR px;y;zq ÞÑfpxÒ x;y y;z zq Les caractères sous les flèches représentent les désignateurs. Les désignateurs ne changent pas et ce quel que soit les arguments que l"on " appelle ». Aussi,

écrira-t-on :

fpxÒ x;y y;z zq; fp1Ò x;1Ò y;2Ò zq;BfBxp2Ò x;3Ò y;x zq;BfByp1Ò x;xy y;x 2 zq;BfBzpzÒ x;x y;y zq:(1.4) Comprendre les dérivées partielles et leurs notations KévinSantugini. Enseirb-matmeca

1. Les dérivées partielles5LesBx,ByetBzaux dénominateurs se réfèrent toujours à la position de

l"argument désignée par le caractère sous la flèche qui est celui employé dans la définition de la fonction. Ainsi

BfBxse réfère (pour cette fonctionf)

toujours à la dérivée partielle suivant la première variable. Lexdans leBBxn"est ni un réel ni un élément d"un ensemble quelconque,c"est une chaîne

de caractères associée à la position d"un argumentde la fonction dont on souhaite calculer une dérivée partielle. Avec ces notations explicites, tout est clair. Mais ces notations étant non conventionnelles, il faut éviter de les écrire ailleurs que sur un brouillon. Le mieux est d"être capable de s"en passer et de se contenter de les rajouter mentalement chaque fois que l"on rencontre une dérivée partielle de fonction.

1.3 Dérivation partielle d"expressions

Une notation très couramment utilisée consiste à dériver non une fonc- tion mais une expression mathématique. Il n"y a aucune différence avec la notion de dérivation d"une fonction. Il s"agit simplement d"une notation ou plus exactement d"un abus de notation permettant d"éviter de définir une fonction au préalable (et de lui réserver une lettre) avant de calculer sa dérivée partielle. Par expression mathématique, nous entendons juste la par- tie après leÞÑd"une fonction. Par exemple,xyz,sinpxqcospyq,yx2xzet tanpxyqpeuvent être vu comme des expressions mathématiques. La dérivée partielle d"une expression se calcule exactement comme la dérivée partielle d"une fonction. Regardons un exemple :

Bx2yz2Bx2xyz2:(1.5)

Le résultat est obtenu en considérant toutes les variables présentes numéra- teur exceptéxcomme fixes. Il s"agit d"un raccourci et d"un abus de notation pour la dérivée partielle suivantxde la fonctionpx;y;zq ÞÑx2yz2calculée au pointpx;y;zq. Cet abus de notation permet de gagner en concision et est très répandu. Il est aussi courant de rencontrer l"expression, non au numé- rateur mais à droite de la fraction, en ne laissant qu"un "B» au numérateur de la fraction :BBxpx2yz2q 2xyz2:(1.6) Les notations (1.5) et (1.6) ont exactement la même signification. On choisit en général l"une ou l"autre de ces notations en fonction de raisons esthétiques. Typiquement, on emploiera la notation (1.6) si l"expression est très longue. Notez que c"est la présence d"une expression entre parenthèses qui distingue la dérivée partielle d"expression (1.6) et la dérivée partielle de fonction (1.2). Dans cette dernière, seul des lettres qui ont déjà été définies comme fonctions apparaissent. Alors, que dans la première apparaissent une ou des lettres qui n"ont pas été préalablement définies comme des fonctions. Comprendre les dérivées partielles et leurs notations KévinSantugini. Enseirb-matmeca

2. Dérivées partielles et changement de variable6On peut aussi introduire des fonctions dans l"expression. Soit

f:R3ÑR px;y;zq ÞÑfpx;y;zq On peut alors écrire les dérivées partielles d"expressions suivantes :

Bfpu2;uv;cospuvqqBu;Bfpu2;uv;cospuvqqBv:

Ici, contrairement aux dérivées partielle de fonctions, la liste d"argument est au dessus de la barre de fraction et non à côté. Quand on dérive une expression, leBuau dénominateur se réfère auxuprésent au numérateur. Si on pose : :R2ÑR; pu;vq ÞÑ pu2;uv;cospuvqq: alors, par définition, on a les égalités suivantes entre dérivées partielles de fonctions et dérivées partielles d"expressions : Bpf qBuBfpu2;uv;cospuvqqBu;Bpf qBvBfpu2;uv;cospuvqqBv: ou si on préfère l"autre notation : Bpf qBuBBupfpu2;uv;cospuvqqq;Bpf qBvBBvpfpu2;uv;cospuvqqq: Si jamais une expression ne dépend que d"une unique variable, alors, on rem- place le "B» par un "d» dans la notation et on parle de dérivée totale. Cela ne change rien au calcul. Par exemple, on notera préférentiellement dfpt;t;tqdt, respectivement ddtpfpt;t;tqq, au lieu deBfpt;t;tqBt, respectivementBBtpfpt;t;tqq. Pour pouvoir calculer la dérivée partielle d"une expression constituée d"une fonction dont les arguments sont des expressions non triviale, comme par exemple Bfpu2;uv;cospuvqqBu, il faut faire appel à la règle de dérivation en chaîne qui exprime les dérivées partielles de la composition de deux fonc- tions en fonction des dérivées partielles de chacune des deux fonctions. Règle que nous donnons à la section 2.

2 Dérivées partielles et changement de variable

Pour calculer les dérivées partielles de compositions de fonctions ou après un changement de variable, on peut utiliser la formule de dérivation en chaîne. Avant d"énoncer cette formule, il est utile de disposer de la définition suivante Comprendre les dérivées partielles et leurs notations KévinSantugini. Enseirb-matmeca

2. Dérivées partielles et changement de variable7Définition 2.1.SoitpdansN. Soit

un ouvert deRp. Soit f:

ÑRm;

py1;:::;ypq ÞÑfpy1;:::;ypq: une fonction. La fonctionfest dite de classeC1sur si elle est continue sur , admet des dérivées partiellesBfByksuivant chacune de ses variablesyk en tout point de , et si ces dérivées partiellesBfByksont continues sur

Aussi, nous admettrons le résultat suivant.Proposition 2.2: Règle de dérivation en chaîne

Soitm;n;ptrois entiers naturels. Soit

fun ouvert deRpet soit un ouvert deRn. Soient deux fonctions continues : f: fÑRmquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20
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