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Introduction aux Equations aux D´eriv´ees
Partielles
B. Helffer `a partir du texte ´etabli par Thierry RamondD´epartement de Math´ematiques
Universit´e Paris-Sud
Version de Janvier-Mai 2007
2Table des mati`eres
1 Qu"est-ce qu"une EDP? 9
1.1 Equations diff´erentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Equations aux D´eriv´ees Partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Premi`eres EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Exemple 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Discussion sur la notion de probl`eme bien pos´e . . . . . . . . . 16
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3 EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Syst`emes diff´erentiels et ´equations diff´erentielles 19
2.1 En guise d"introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 En th´eorie des circuits ´electriques . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 En m´ecanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 R´eduction `a un probl`eme du premier ordre . . . . . . . 20
2.1.4 Quelques mots sur la th´eorie de Cauchy . . . . . . . . 21
2.1.5 Quelques exemples tr`es simples . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Syst`emes diff´erentiels `a coefficients constants . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Etude du syst`eme dans le cas o`uAa des racines r´eelles
distinctes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3 Syst`emes 2×2 homog`enes du premier ordre . . . . . . 27
2.3 Traduction pour les ´equations diff´erentielles d"ordre n . . . . . 31
2.3.1 Equations diff´erentielles homog`enes. . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 La m´ethode de variation des constantes . . . . . . . . . 32
2.4 Syst`emes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
34TABLE DES MATI`ERES
2.4.1 Suivi du syst`eme par changement de base . . . . . . . 35
2.4.2 Cas d"une matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.3 M´ethode g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 EDP lin´eaires du premier ordre 37
3.1 Quelques notions suppl´ementaires autour des d´eriv´ees partielles. 37
3.1.1 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 D´eriv´ees directionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3 Applications de classeCk. . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Les ´equations de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Equations `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 M´ethode des caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 M´ethode du changement de variables . . . . . . . . . . 44
3.4 Equations `a coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2 Un probl`eme de Cauchy pour l"´equation (3.9) . . . . . 47
3.5 Un exemple d"´equation non-lin´eaire : Equation de Burgers . . 48
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6.1 EDP du premier ordre `a coefficients constants . . . . . 50
3.6.2 Courbes int´egrales de champs de vecteurs . . . . . . . . 51
3.6.3 EDP du premier ordre `a coefficients non-constants . . . 51
4 L"´equation des ondes sur un axe 53
4.1 Le mod`ele physique : cordes vibrantes . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Solutions de l"´equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1 Solution g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.2 La formule de D"Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Causalit´e et conservation de l"´energie . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.1 Vitesse de propagation finie . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.2 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Quelques th´eor`emes de base sur les int´egrales de fonction d´ependant
d"un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 L"´equation de Laplace et principe du maximum 67
5.1 Extrema d"une fonction de deux variables . . . . . . . . . . . . 67
5.1.1 Fonctions d"une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.2 Fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 G´en´eralit´es sur l"´equation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Principe du Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
TABLE DES MATI
`ERES55.4 Propri´et´es d"invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5 Le Laplacien en coordonn´ees polaires . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6 Solutions particuli`eres : s´eparation des variables . . . . . . . . 77
5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.7.1 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.7.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7.3 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6TABLE DES MATI`ERES
Avant-Propos
Notre compr´ehension des ph´enom`enes du monde r´eel et notre technolo- gie sont aujourd"hui en grande partie bas´ees sur les ´equations aux d´eriv´ees partielles, qui seront not´ees en abr´eg´e EDP dans la suite. C"est en effet grˆace `a la mod´elisation de ces ph´enom`enes au travers d"EDP que l"on a pu com- prendre le rˆole de tel ou tel param`etre, et surtout obtenir des pr´evisions parfois extrˆemement pr´ecises. L"´etude math´ematique des EDP nous a aussi appris `a faire preuve d"un peu de modestie : on a d´ecouvert l"impossibilit´e de pr´evoir `a moyen terme certains ph´enom`enes gouvern´es par des EDP non- lin´eaires - pensez au d´esormais c´el`ebre effet papillon : une petite variation des conditions initiales peut en temps tr`es long conduire `a des tr`es grandes variations. D"un autre cˆot´e, on a aussi appris `a "entendre la forme d"un tam- bour" : on a d´emontr´e math´ematiquement que les fr´equences ´emises par un tambour lors de la vibration de la membrane - un ph´enom`ene d´ecrit par une EDP, permettent de reconstituer parfaitement la forme du tambour. L"une des choses qu"il faut avoir `a l"esprit `a propos des EDP, c"est qu"il n"est en g´en´eral pas question d"obtenir leurs solutions explicitement! Ce que les math´ematiques peuvent faire par contre, c"est dire si une ou plusieurs solutions existent, et d´ecrire parfois tr`es pr´ecisement certaines propri´et´es de ces solutions. L"apparition d"ordinateurs extrˆemement puissants permet n´eanmoins au- jourd"hui d"obtenir des solutions approch´ees pour des ´equations aux d´eriv´ees partielles, mˆeme tr`es compliqu´ees. C"est ce qui s"est pass´e par exemple lorsque vous regardez les pr´evisions m´et´eorologiques, ou bien lorsque vous voyez les images anim´es d"une simulation d"´ecoulement d"air sur l"aile d"un avion. Le rˆole des math´ematiciens est alors de construire des sch´emas d"approximation, et de d´emontrer la pertinence des simulations en ´etablissant des estimations a priori sur les erreurs commises. Quand sont apparues les EDP? Elles ont ´et´e probablement formul´ees pour la premi`ere fois lors de la naissance de la m´ecanique rationnelle au cours du 17`eme si`ecle (Newton, Leibniz...). Ensuite le "catalogue" des EDP s"est enrichi au fur et `a mesure du d´eveloppement des sciences et en particulier de 78TABLE DES MATI`ERES
la physique. S"il ne faut retenir que quelques noms, on se doit de citer celui d"Euler, puis ceux de Navier et Stokes, pour les ´equations de la m´ecanique des fluides, ceux de Fourier pour l"´equation de la chaleur, de Maxwell pour celles de l"electromagn´etisme, de Schr¨odinger et Heisenberg pour les ´equations de la m´ecanique quantique, et bien sˆur de Einstein pour les EDP de la th´eorie de la relativit´e. Cependant l"´etude syst´ematique des EDP est bien plus r´ecente, et c"est seulement au cours du 20`eme si`ecle que les math´ematiciens ont commenc´e `a d´evelopper l"arsenal n´ecessaire. Un pas de g´eant a´et´e accompli par L. Schwartz lorsqu"il a fait naˆıtre la th´eorie des distributions (autour des ann´ees 1950), et un progr`es au moins comparable est du `a L. H¨ormander pour la mise au point du calcul pseudodiff´erentiel (au d´ebut des ann´ees 1970). Il est certainement bon d"avoir `a l"esprit que l"´etude des EDP reste un domaine de recherche tr`es actif en ce d´ebut de 21`eme si`ecle. D"ailleurs ces recherches n"ont pas seulement un retentissement dans les sciences appliqu´ees, mais jouent aussi un rˆole tr`es important dans le d´eveloppement actuel des math´ematiques elles-mˆemes, `a la fois en g´eometrie et en analyse. Venons-en aux objectifs de ce cours. On souhaite que, apr`es avoir confort´e leurs connaissances des´equations diff´erentielles ordinaires, les´etudiants prennent contact avec les EDP et quelques unes des m´ethodes et des probl`ematiquesquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6[PDF] élasticité formule
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