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Elasticité MMC_Page de garde
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INTRODUCT MMI Ex TION A LA MECANIQU MIILIEUX CONTINUS
Corrigés. Exercice A. Soit un tenseur symétrique. Dans la base.
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Mécanique des matériaux
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2.8 Petits déplacements et petites déformations : élasticité linéaire . G. Duvaut F. Léné
ÉLASTICITÉ - uliegebe
Les équations de l'élasticité linéaire sont établies au chapitre 4 En ce qui concerne la compatibilité on peut en première lecture s'arrêter après les équa-tions de Beltrami-Michell Suivent trois chapitres d'application Le premier traite de la torsion des poutres prismatiques un problème où les insu sances de la résistance
ÉLASTICITÉ
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PROBLÈMES SUR LA VISCOÉLASTICITÉ LINÉAIRE Problème 03 – 01 Lequel de ces matériaux est thermodynamiquement admissible? Justi?ez votre réponse pour chaque matériau C(t) = 2 6 6 6 6 6 6 4 7 17 17 0 0 0 17 7:5 4:5 0 0 0 17 4:5 7:5 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 7 3 7 7 7 7 7 7 5 exp[ t] (1a) C(t) = 3Jexp[ 2t]+4K(2+3t+5t2
ELASTICIT ´ E - EXERCICES´
ELASTICIT´ E - EXERCICES´ Contraintes planes - D´eformations planes Nous travaillons ici dans un syst`eme de coordonn´ees cart´esien (O;x1;x2;x3)dans l’hypoth`ese des petites perturbations et avec une loi de comportement
Viscoélasticité pour le Calcul des structures
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OSCILLATEURHARMONIQUE:CORRECTIONS - Institut national de
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d)Pour Eun espace vectoriel et pune application linéaire de Edans lui-même on dé?nitf: E?Eparf(x) = p(p(x)) Exercice3(Autourdesendomorphismesnilpotents) SoitEunespacevectorieldedimension?nienetfunendomorphismedeE 1 Onsupposequefestnilpotentc’est-à-direqu’unecertainepuissancedefestnulle
MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES SOLUTIONS DES EXERCICES
1 Analyse élastique 1 1 Donner la solution (champs des contraintes et des déplacements) en élasticité Le volume étudié est à symétrie sphérique constitué d’un matériau homogène et isotrope; les conditions aux limites possèdent aussi la symétrie sphérique
Microéconomie et mathématique (avec solutions) 3 Élasticités
élasticité-revenu de la demande (er) 1 Les variables se rapportent au bien X à l'exception de PY (= Prix du bien Y) Demande : Q = 200 - 5P - 2PY + 0 2R (R = Revenu) si P = 10 PY = 12 R = 1000 3 91 Calculez e 3 92 Calculez ec 3 93 Calculez er 3 10 Élasticité-prix de la demande (e) élasticité-prix croisée de la demande (ec) et
Quel est le théorème de l'élasticité linéaire?
- 104 CHAPITRE 5. ÉLASTICITÉ LINÉAIRE Théorème 6 Si un champ de déformations satisfait aux seules quationsé de ompcatibilité T 11= 0, T 22= 0 et T 33= 0 dans un domaine V, le tenseur T
Quelle est la différence entre la théorie de l’élas-ticité et la plasticité?
- Avec la théorie de l’Élas- ticité, puis la théorie de la Plasticité, le comportement du matériau constitutif étant pris en compte, le calcul des structures permet d’envisager aussi le second critère en calculant les déformations et déplacements de l’ouvrage sous l’e?et des diverses sollicitations.
Quel est le mode d'exposé d'un problème élastique linéaire?
- Le présent mode d'exposé suit la méthode développée par l'auteur [17, 21, 20, 18]. Soit donc un problème élastique linéaire, dont la solution est caractérisée par des déplacements uet des contraintes ?, obtenues par avriation des fonc- tionnelles ˆ E(u) = R
Comment calculer le problème élastique?
- comme des ariablesv indépendantes et à ignorer au départ les relations (9.25). Dans cette optique, le problème élastique consiste à minimiser la fonctionnelle E(";u) = U(") + P(u) (9.26) avec U(") = Z V
OSCILLATEUR HARMONIQUE : CORRECTIONS
Exercices prioritaires :Deux ressorts accrochés?Exercice n° 1Deux ressorts sans masse de longueursl1etl2au repos et de raideursk1etk2sont accrochés
bout à bout et tendus horizontalement entre deux murs distants deDÈl1Ål2 . Le dispositif est immobile. Remarque: L"énoncé définissant les constantes de raideur des ressorts, il est implicitementsupposé que l"on peut utiliser l"approximation linéaire pour modéliser l"élasticité des res-
sorts.1.C alculerl "allongementde ch acundes r essorts.On notex1etx2les allongements respectifs
des ressorts 1 et 2, à l"équilibre, comme re- présenté sur le schéma ci-contre.Ces deux inconnues sont reliées par la re-
lationDAEl1Åx1Ål2Å x2, donc il suffit de trouver une équation sans inconnues sup-plémentaires pour pouvoir trouverx1etx2.On va voir que ceci est possible en considérant le point d"attache A des deux ressorts.
Référentiel: terrestre, supposé galiléen (on ne demande pas ici de justification. On admettra que pour les problèmes posés dans ce TD cette hypothèse est vérifiée avec une bonne approximation. voir cours pour un peu plus de détails.) Repère: On choisit comme repèreR(0,~i) (voir le schéma ci-dessus) Système: On considère comme système le point d"attache A des deux ressorts. Bilan des forces extérieures(BFE) : Faisons un bilan des forces extérieures s"exerçant sur ce système : -forces à distance : aucune, car la masse de ce point étant nulle, le poids est nul. -forces de contact :UJF L1 1 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 - la force de rappel exercée par le ressort 1 sur A : ~F1!AAE¡k1x1~i - la force de rappel exercée par le ressort 2 sur A : ~F1!AAEk2x2~i PI: Le référentiel étant galiléen, on peut uti- liser le principe d"inertie. Puisque le système est immobile, d"après le principe d"inertie, le système est isolé. Ainsi :F1!AÅ~F2!AAE¡k1x1~iÅk2x2~iAE~0.Ainsi, en projetant cette relation sur Ox, on obtient : 0AE¡k1x1Åk2x2(1), relation que
l"on peut réécrire ainsi :x1AEk2x2k 1. On a donc bien obtenu une nouvelle équation reliantx1etx2, sans inconnue supplé- mentaire. En utilisantDAEl1Ål2Åx1Åx2, on obtient les résultats cherchés : x1AEk2k
1Åk2(D¡(l1Ål2)) etx2AEk1k
1Åk2(D¡(l1Ål2)).
Remarques :
- Les résultats sont bien homogènes. - Les résultats sont symétriques par échange des indices 1 et 2 : ceci est cohérent avec le fait que les deux ressorts ont des rôles équivalents - Si la somme des longueurs à vide correspond àD, on s"attend à un allongement nul des ressorts, ce qui est bien le cas avec les relations obtenues.(Cette étude a été menée en supposant les ressorts compressibles. On pouvait donc considérer le
cas oùDÇl1Ål2. Ceci n"est pas toujours vérifié, par exemple avec ceux utilisés lors du TP, où les
spires se retrouvent au contact les unes des autres lorsque l"on essaie de comprimer le ressort àpartir de sa position de repos. Dans ce cas, l"approximation linéaire n"est plus valable et on ne peut
donc pas utiliser les équations trouvées.)2.C alculerp ourch aquer essortla for cequ "ile xercesur l emur au quelil est fixé. C omparer.
Afin de prévoir la force exercée par le mur sur le ressort 1, isolons maintenant le sys- tème consitué par le ressort 1.Système: {ressort 1}
Bilan des forces extérieures:
-forces de contact : la force de rappel exercée par le ressort 2 au point A : ~F2!A la force exercée par le mur ~Fmur!1.PI -Le système étant à l"équilibre, d"après le PI :~F2!AÅ~Fmur!1AE~0.UJF L1 2 TD Phy 12a/12b
Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014Ainsi :
1Åk2(D¡(l1Ål2))~i.
Or ~F1!murAE¡~Fmur!1, donc :F1!murAEk1k2k
1Åk2(D¡(l1Ål2))~i.
De même, en isolant le ressort 2, on obtient :
F2!murAE¡k1k2k
1Åk2(D¡(l1Ål2))~i.
Onremarqueque:
Il s"agit de la relation que l"on obtient à l"aide du PI appliqué au système constitué par
l"association des deux ressorts. Le résultat est donc cohérent.3.C alculerla for cequi ag itsu rle p ointcommun aux deu xr essorts,lo rsqueles r essortssont
écartés dexpar rapport à la position d"équilibre. Soit ~Fla force exercée sur le point d"attache A.On a :
Ainsi, en utilisant la relation (1), on obtient :
FAE¡(k1Åk2)x~i.
ressort accroché au mur de gauche, de constante de raideurk1Åk2, et de longueur àvidel1Åx1.4.E nsupp osantq uece point commun a une mas sem, écrire l"équation qui régit le mouve-
ment dem. Pour cela on repérera la masse sur un axe horizontal par sa positionx(xAE0 quand le système est immobile). ment) sont perpendiculaires au mouvement et se compensent. En projetant sur l"axeOxet en utilisant la forme trouvée à la question précédente (xa bien la même défini-
tion) on a : m xAE05.Dé terminercomplètementx(t)ensupposantqu"àtAE0lamasseestlâchéedepuisx0sans vitesse.UJF L1 3 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014L"équation différentielle à résoudre est une équation différentielle homogène linéaire
à rechercher des solutions exponentielles complexes. Ici nous sommes dans un cas classique (terme du premier ordre absent et terme constant positif) caractéristique de l"oscillateur harmonique. Les solutions sont des fonctions sinusoïdales de pulsa- tion!0AEqk1Åk2m
x(t)AEAcos(!0tÅÁ) oux(t)AE®cos(!0t)ůsin(!0t) tions connues car l"équation est d"ordre 2. Ici les deux conditions connues sont les conditions initiales sur la position et la vi- tesse :x(0)AEx0etx(0)AE0. On trouve facilement (AAEx0etÁAE0) ou (®AEx0et¯AE0) ce qui nous donne la solution complète : x(t)AEx0cos(!0t) avec!0AEsk1Åk2m
Ressort et gravité
?Exercice n° 2 Une massemest pendue à un ressort sans masse de raideurket de longueur à videl0. On repérera la position de la massempar sa coordonnéezsur un axe vertical.Orientons l"axe vertical par un vecteur unitaire
# uzdirigé vers le bas.1.Dé terminerla long ueurl00du ressort lorsquemest à l"équilibre.Les forces sur la massemsont son poidsm#gAEmg# uzet la force de rappel du ressort#FAE¡k(l00¡l0)# uz(sil00Èl0le ressort est en extension et donc "tire vers le haut" ce qui
explique le signe "-»). L"équilibre de la masse s"écrit donc : m #gÅ#FAE#0,mg# uz¡k(l00¡l0)# uzAE#0)mg¡k(l00¡l0)AE0UJF L1 4 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014On en déduit donc la position d"équilibre.
l00AEl0Åmgk
2. O né cartela masse v ersl ebas d "uned istance¢zpar rapport à sa position d"équilibre. dez. Le choix de l"origine deszle plus naturel pourrait être celui correspondant à l"allon- gement " à vide ». Dans ce cas l"allongement du ressort vaudrazet la force de rap- pel s"écrira très simplement#FAE ¡kz# uz. Cependant nous savons par expérience que la masse va osciller autour de sa position d"équilibre et il apparaît donc judicieux de choisirl"origineencepoint.Danscecaslaforcederappels"écrit#FAE¡k(zÅl00¡l0)# uz.Le PFD s"écrit donc :
m #aAEm#gÅ#F,m¨z# uzAEmg# uz¡k(zÅl00¡l0)# uz)m¨zAEmg¡k(z¡l00¡l0) Comme on a montré quek(l00¡l0)AEmgon en déduit que l"équation du mouvement est : m¨zAE¡kz3.Résoudr ecett eéqu ationen supp osantqu "àtAE0 on a lâché la masse sans vitesse initiale.
L"équation différentielle à résoudre est une équation différentielle homogène linéaire
à rechercher des solutions exponentielles complexes. Ici nous sommes dans un cas classique (terme du premier ordre absent et terme constant positif) caractéristique de l"oscillateur harmonique. Les solutions sont des fonctions sinusoïdales de pulsa- tion!0AEqk m z(t)AEAcos(!0tÅÁ) ouz(t)AE®cos(!0t)ůsin(!0t) tions connues car l"équation est d"ordre 2. Ici les deux conditions connues sont les conditions initiales sur la position et la vi- tesse :z(0)AE¢zetz(0)AE0. On trouve facilement (AAE¢zetÁAE0) ou (®AE¢zet¯AE0) ce qui nous donne la solution complète :UJF L1 5 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 z(t)AE¢zcos(!0t) avec!0AEsk m i Remarquez que si le choix de l"origine deszavait été fait sur la position d"équi- libre du ressort à vide (l0), l"équation différentielle du mouvement aurait com- tion homogène en faisant le changement de variablez!ZÅmgk (ce qui revient à changer l"origine desz). L"autre possibilité est de résoudre l"équation telle quelle en prenant la solution générale sans second membre et une solution particulière (icizAEmgkest une solution particulière évidente).4.R eprendrel epr oblèmeen u tilisantla con servationde l "énergieméca nique.
Toutes les forces considérées sont conservatives on peut donc appliquer le théorème de conservation de l"énergie mécanique totale. Le poids dérive de l"énergie potentielle¡mgz(Ozest vers le bas). La force de rappel dérive de l"énergie élastique 12 k(zÅl00¡l0)2. Le théorème s"écrit donc : 12 mz2¡mgzÅ12 k(zÅl00¡l0)2AECte l"équation du mouvement précédente.Le pendule simple ??,Exercice n° 3La solution se trouve dans le poly de TD
Un pendule, constitué d"une boule de massemattachée à l"extrémité d"un fil inextensible de
longueurLet de masse négligeable, est suspendu à un point fixeO. On met le pendule enmouvement, par exemple en l"écartant d"un angleµ0à la verticale, le fil étant tendu, puis en
le lâchant sans vitesse initiale. On néglige tous les frottements. L"objectif est de faire le tour du
problème, lequel a de nombreuses applications :E tablirl"équationdifférentielledumouvementdelaboule.Cetteéquationdifférentiellegéné-
rale n"a pas de solution analytique en termes d"équation du mouvement (expression des co-ordonnées en fonction du temps), c"est-à-dire que l"on ne sait pas la résoudre avec un crayonUJF L1 6 TD Phy 12a/12b
Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 et un papier, sauf dans le cas del"approximation des petites oscillations. Hormis quelques casparticuliers, seuls des calculs approchés (effectués par ordinateur) permettent de s"en sortir.
Résou drel "équationdiff érentielled ansl ec asde l"approximation des petites oscillationset en
déduire dans ce cas l"équation temporelle du mouvement. I lest c ependantpossible de calcule ran alytiquementl av itessee nfon ctionde la position d e la bouledans le cas général.L "expressionde la v itessep ermetd ec onnaîtrela ten siondu fil en f onctionde l ap ositionde l a
boule.Résolution du problème général :
Pour ceux qui veulent se débrouiller tout seul, traiter les différentes étapes ci-dessus.Résolution guidée :
Soit un repèreR(O,~i,~j),Oétant le point où est fixé le fil du pendule,Oxl"axe vertical dirigé
vers le bas etOyl"axe horizontal dirigé vers la droite. Soitµl"angle polaire entreOxet le fil du
pendule compté positivement dans le sens direct. 1.E quationdiff érentielledu m ouvement:
(a) Q uepeutondiresurlemouvementdelaboule?endéduirel"expressiondesvecteurs position, vitesse et accélération en fonction deµ,dµdt etd2µdt 2. (b) T ranscrirel esc onditionsi nitialespou rµetdµdt (c) F airele bil andes f orcese xtérieuresexer céessur l abou le. (d) E crirele pr incipefon damentalde la dy namique.P rojeterl "équationv ectorielleob- tenue dans les directions de ~uret~uµ. (e) E ndédu irel "équationd ifférentielled umou vement. 2.A pproximationdes pet itesoscill ations:
Calculer l"angleµ(en degrés) tel que l"erreur relative faite en écrivant sin(µ)AEµest égale
à 5%. Réécrire l"équation différentielle en faisant l"hypothèse queµreste suffisamment
petit pour quesin(µ)'µ. Résoudre cette nouvelle équation différentielle pour établir
l"équation horaire du mouvementµ(t) en tenant compte des conditions initiales. 3.V itesseen f onctionde la posit ion:
Il est tout à fait possible (et c"est souvent le cas) d"exprimer la vitesse en fonction de la po-Voici la séquence à suivre :
(a) r eprendrel "équationdiff érentielledu mouv ementsan sfair ed "approximation. (b) pou réviter l adér ivéesecon de,réécr irel "équationen posan t!AEdµdt , doncd2µdt2AEd!dt
(c) fa irepasser dtau numérateur. (d) on se r etrouveav ecd "uncôté d!qui serait facile à intégrer, et de l"autre sinµdtquine s"intègre pas, mais qui serait facile à intégrer si on avait sinµdµ.UJF L1 7 TD Phy 12a/12b
Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 (e) r emplacerdon csin µdtpar sinµdµdtdµ, puisdtdµpar1! (f)int égrerséparémen tles di fférentiellessur !et surµ, pour obtenir l"expression finale
4.T ensiondu fi l:
Reprendre l"équation obtenue par la projection du PFD suivant ~uret en déduire l"expres- sion du module de la force de tension du fil en fonction deµ.Application :
Un enfant un peu trop grand se balance de bon coeur sur une balançoire dont les cordes sontusées. En quel point de la trajectoire le risque de rupture des cordes est-il le plus grand?Exercices supplémentaires :
Molécule diatomique
??Exercice n° 4Une molécule de diazote (N
2) peut être vue comme un système de deux massesmliées. On
associe à la liaison une énergie potentielle caractérisant la cohésion de la molécule.
Cette énergie est une fonctionEp(r) oùrest la distance séparant les deux atomes.Ep(r) est caractérisée par : -Ep(r)!0 lorsquer! Å1(l"énergie d"interaction est nulle lorsque les deux atomes sont éloignés) -Ep(r)! Å1lorsquer!0 (il est impossible de super- poser les deux atomes) -Ep(r) passe par un minimumE0Ç0 enrAEr0(enr0laliaison est à son point d"équilibre)1.E nr aisonnantsu rla for mema thématiquede Ep(r), montrer qu"il existe une zone autour
der0dans laquelle la liaison chimique peut être modélisée par un ressort. En écrivantEp(r) par son développement de Taylor : E p(r)AEEp(r0)ÅdEpdr (r0)(r¡r0)Åd2Epdr2(r0)(r¡r0)22
Å...ÅdnEpdr
n(r0)(r¡r0)nn!Å...UJF L1 8 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 on voit qu"autour der0, point pour lequeldEpdr (r0)AE0, on peut trouver un domaine dans lequel l"énergie est décrite par : E p(r)AEEp(r0)Åd2Epdr2(r0)(r¡r0)22
Cette forme quadratique est caractéristique de celle de l"oscillateur harmonique.Notez que le signe positif de
d2Epdr2(r0) est impératif (minimum d"énergie, force de rap-
pel). Notez aussi que si le terme d"ordre 2 est nul alors le premier terme sera d"ordre 4et on sort du cadre de l"oscillateur harmonique.2.Do nnerl "expressiond ela c onstantede r aideurken fonction ded2Epdr
2(r0) L"énergie élastique d"un ressort de raideurkestElAE12 k¢l2. Par analogie avec ce qui précède on a : kAEd2Epdr2(r0)Ressort et frottement visqueux : analogie électrocinétique
??Exercice n° 5tème est posé sur un support horizontal n"exerçant aucun frottement sur la masse. On repérera
la position de la massempar sa coordonnéexsur un axe horizontal (xAE¡l0repère le point fixedu ressort etxAE0 repère le point d"équilibre de la masse). L"air (le fluide dans lequel se déplace
la masse) exerce une force de frottement visqueux qui s"exprime#fAE ¡´#voù´est un coeffi-
cient positif dépendant de la viscosité du fluide et de la forme de la masse (aérodynamique).
1. É tablirl "équationdiff érentiellequ iré gitle mou vementde la mas se. Les forces extérieures s"appliquant sur la massemsont : le poidsm#g(vertical), la réaction du support#R(verticale car il n"y a pas de frottements), la force de rappel (horizontale)#FAE ¡kx# uxet la force visqueuse (horizontale)#fAE ¡´#vAE ¡´x# ux. LePFD nous dit :
m #aAEm#gÅ#RÅ#FÅ#f)sur(Oz) 0AER¡mgetsur (Ox)m¨xAE¡kx¡´xUJF L1 9 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 L"équation sur (Oz) ne nous donne rien sur le mouvement (la réaction compense le poids). Le mouvement est donné par l"équation surOx: xÅ´m xÅkm xAE02.C omparerc etteéqu ationà cell eq uirégit l at ensionau xbor nesdu c ondensateurd "un circuit RLC série. La loi des mailles appliquée au circuit s"écrit :uRÅuLÅuCAE0. Par ailleurs nous connaissons les propriétés du circuit vis à vis de la charge du condensateur (atten- tion aux conventions adoptées sur la figure pour les signes). - Courant :iAEdqdt AEq - Capacité :uCAEqC - Résistance :uRAERiAERdqdtAERCuC
- Inductance :uLAELdidtAELC¨uC
Onadonc
¨uCÅRL
uCÅ1LC uC3.D iscuterdes di fférentsr égimesqu el "onobt ientpour le mou vementen fon ctiond el "im- portance relative des deux paramètres®AE4kmet¯AE´2. Nous avons une équation différentielle homogène, linéaire du deuxième ordre à co- efficients constants. En cherchant des solutions sous la formeertoùr2Con montre rÅkmAE0.Laformedumouvementvadépendredu
fait que ces solutions soient purement réelles ou non. C"est le signe du discriminant ¢AE(´2¡4km)/mqui va donc définir les différents régimes.®Ç¯(¢È0) :les deux solutions sont réelles et négativesr1AE¡1/¿1etr2AE¡1/¿2. La
solution de l"équation différentielle va s"écrire : x(t)AEAe¡t¿1ÅBe¡t¿
2 On a un mouvement purement amorti caractérisé par les deux constantes de temps¿1et¿2®È¯(¢Ç0) :les deux solutions sont complexes conjuguées et à partie réelle néga-
tive :r1AE¡1/¿Åi!etr2AE¡1/¿¡i!. La solution de l"équation différentielle va s"écrire : x(t)AEAe¡t¿ cos(!tÅÁ)UJF L1 10 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 On a un mouvement oscillant amorti. La pseudo période d"oscillation estTAE2¼/!et la constante de temps d"amortissement est¿. On peut noter que la
pseudo période tend versT0AE2¼pm/klorsque le frottement diminue et s"al- longe pour tendre vers l"infini lorsque le frottement augmente pour atteindre un niveau tel que´2AE4km.®AE¯(¢AE0) :onauneseulesolutionréelleetnégativedeuxfoisdégénéréerAE¡1/¿AE
¡´/2m. La solution de l"équation différentielle va s"écrire : x(t)AE(AtÅB)e¡t¿C"est le régime critique (retour à l"équilibre le plus rapide sans oscillations).Pendule simple et énergie
??Exercice n° 6 On considère une masse ponctuellemfixée au bout d"une tige rigide, de longueurl, pouvant tourner librement dans un plan vertical autour de l"autre extrémité O. 1. Dé finiru necoor donnéer eprésentantde man ièrec ommodel aposition de la mas sem. La tige étant rigide et de longueurlconstante, le mouvement de la massemseraLa coordonnéeµpermet alors de définir complètement le mouvement.2.É crireson éner giecinét iqueEcet son énergie potentielleEp
tation graphique. Les forces s"appliquant à la masse sont son poids (ver- tical) et la réaction de la tige (portée par la tige) qui ne travaille pas puisque perpendiculaire à la trajectoire. tentielle ne dérive que du poids (EpAEmghoùhestl"élévation de la masse).lmOEn prenant comme origine d"énergie potentielle le point bas de la trajectoire on a :
E pAEmgl(1¡cosµ) etEcÅEpAEcteAEEm0)EcAEEm0Åmgl(cosµ¡1)UJF L1 11 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014Figure : E
pet Ecpour Em0AE2mgl-10-505100.00.51.01.52.0qHradLEpmgl-10-505100.00.51.01.52.0qHradLEcmgl3.D iscuterq ualitativementle mouv ementde la m assem, selon la valeur de son énergie
mécanique totale.SiEm0È2mgl, le pendule tourne.
SiEm0AE2mgl, le pendule arrive àµAE¼avec une vitesse nulle.SiEm0Ç2mgl, le pendule oscille entre§µmaxavecmgl(1¡cosµmax)AEEm0.4.O nsuppose qu ela ma ssemreste au voisinage de sa position d"équilibre. Écrire une ex-
pression du développement limité deEpautour de cette position d"équilibre. En déduire l"équation du mouvement. A quel autre système connu est-on ramené?Pourµpetit, cosµ'1¡µ22
, ce qui donne : E pAEmglµ22 etEcAEml2µ22 On écrit la conservation de l"énergie mécanique et on la dérive : mglµ22
Åml2µ22
µAE0
On est ramené à l"équation différentielle d"un oscillateur harmonique de pulsation 0AErgquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14[PDF] élasticité logarithme
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