[PDF] Exercices corrigés algèbre linéaire - Dauphine-PSL Paris

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Exercices corrigés algèbre linéaire

Jean-Jérôme Casanova

Exercice 1 (Vérifications de linéarité)

a) L"a pplicationf: (x,y,z)?→x+ 2y-3z+ 1deR3dansRest-elle linéaire ? b) L"applic ationg: (x,y,z)?→(x+ 2y-3z,y+ 5z)deR3dansR2est-elle linéaire ? c) L"applic ationh: (x,y,z)?→x2+ydeR3dansRest-elle linéaire ? d) P ourc haqueαdeR, on définit une applicationfαdeR3dansR3parfα(x,y,z) = (x+y+z,α,αxy). Pour quelles valeurs deαl"applicationfαest-elle linéaire ? e) L"applic ation?:P?→P?-P2deR[X]dansR[X]est-elle linéaire ? f) L"application ?:P?→(X2+ 1)P?(X-3)deR[X]dansR[X]est-elle linéaire ?

Exercice 2 (Partiel, 2016)

Les applications suivantes sont-elles linéaires ? a) P ourE=R, on définitf:E→Eparf(x) =x2+ 2x+ 1. b) P ourE=R4, on définitf:E→Rparf(x1,...,x4) =x1+x2+x3+x4+ 1. c) P ourE=C([0,1],R)l"espace vectoriel des fonctions continues, on définitΦ :

C([0,1],R)→C([0,1],R)par

Φ(f) =?x?→?x2

0f(y)dy?.

d) P ourEun espace vectoriel etpune application linéaire deEdans lui-même, on définitf:E→Eparf(x) =p(p(x)).

Exercice 3 (Autour des endomorphismes nilpotents)

SoitEun espace vectoriel de dimension finienetfun endomorphisme deE. 1. On supp oseque festnilpotent, c"est-à-dire qu"une certaine puissance defest nulle. On appelleindice de nilpotence defle plus petit entierpvérifiant :fp= 0mais f p-1?= 0. 1 (a)M ontrerque si xest un vecteur vérifiantfp-1(x)?= 0, alors la famille(x,f(x),...,fp-1(x)) est une famille libre deE. (b) (c) O nsupp oseque l"indice de nilp otencede festn. Montrer qu"il existex0?E tel que(x0,...,fn-1(x0))soit une base deE. 2. On supp oseque p ourtout xdeEil existepx?Ntel quefpx(x) = 0. Montrer que f n= 0.

Exercice 4

SoitB= (e1,e2,e3)une base deR3. On définit trois vecteursv1,v2,v3deR3par : v

1= 2e1-4e2+e3

v 2=-e1 v

3=e2-2e1.

On noteVla famille(v1,v2,v3). C"est une base deR3(pourquoi ?). On considère un endomorphismeudéfini par sa matrice dans la baseB: M

B(u) =(

(2-1 2 -1-2 1

1-2 1)

Écrire la matriceMV(u)deudans la baseV.

Exercice 5

Soiente1, e2, e3trois vecteurs deR3. On suppose queB= (e1,e2,e3)est une base de R 3. On noteTl"application linéaire définie parT(e1) =T(e3) =e3etT(e2) =-e1+e2+e3. 1. (a)

Déc rirele no yaude T.

(b)

Donner la matrice de Tdans la baseB. On la noteA.

2.

On p osef1=e1-e3, f2=e1-e2, f3=-e1+e2+e3.

(a) Calculer e1, e2, e3en fonction def1, f2, f3.Les vecteursf1, f2, f3forment-ils une base deR3? (b) Ecr irela matrice de Tdans la base(f1,f2,f3). On la noteB. 2

3.On note P=(

(1 1-1 0-1 1 -1 0 1) Vérifier quePest inversible et calculerP-1.Quelle relation relieA, B, PetP-1?

Exercice 6

1. Soien ta,betctrois réels. Calculer le déterminant? ??????1 1 1 a b c a

2b2c2?

2. Soien ta1,..,andes réels. Calculer le déterminant? a

1... an......

a n-11... an-1n?

Exercice 7

On notea, b, cdes réels. Calculer les déterminants suivants. D 1=?

0 1 0 0

1 0 1 1

2 3 1 1?

c a+b+c b b c c a+b+c b c c c a+b+c?

0 1 0 3 0

a0a0 3 b a0a0

0b0 0a?

Exercice 8

SoitAune matrice deMn(R)diagonalisable. Montrer l"égalitéKer(A) = Ker(A2).

Exercice 9

SoitAla matrice?1 4

1 1? . On noteΦl"application M

2(R)→ M2(R)

M?→AM.

1. Écrire la matrice de Φdans la base canonique deM2(R). 2.

Déter minerles v aleurspropres de Φ.

3.

Dire si Φest diagonalisable.

3

Correction 1

a) SoitEetFdeux espaces vectoriels etT:E→Fune application linéaire. Alors on a nécessairementT(0E) =T(0.0E) = 0.T(0E) = 0F(une application linéaire envoie0 sur0).

Dans le cas qui nous intéresse on a :

f(0,0,0) = 1?= 0, doncfn"est pas une application linéaire (il s"agit en fait d"une application dite affine, en dimension1x?→ax+best affine sib?= 0etx?→axest linéaire). b) SoitX1= (x1,y1,z1)?R3,X2= (x2,y2,z2)?R3etλ?R. Montrons que f(X1+λ.X2) =f(X1) +λ.f(X2): f(X1+λ.X2) =f((x1+λx2,y1+λy2,z1+λz2)) = (x1+λx2+ 2(y1+λy2)-3(z1+λz2),y1+λy2+ 5(z1+λz2)) = (x1+ 2y1-3z1,y1+ 5z1) +λ.(x2+ 2y2-3z2,y2+ 5z2) =f(X1) +λ.f(X2). Ainsifest bien une application linéaire deR3andR2. c) Ici le terme enx2nous indique que l"application ne va pas être linéaire. En effet si on calcule:f((1,0,0) + (1,0,0)) =f(2,0,0) = 4 f(1,0,0) +f(1,0,0) = 2. Ainsif((1,0,0)+(1,0,0))?=f(1,0,0)+f(1,0,0)doncfn"est pas une application linéaire. d) La première composante de l"applicationfα(le morceau enx+y+z) va être linéaire indépendamment deα. La partie problématique, du point de vue de la linéarité, est le terme enαxy. Ce terme est un produit qui va se comporter comme le terme enx2de

l"exemple précédent siα?= 0. Pour que l"applicationfαsoit linéaire il faut que ses deux

composantes le soient. L"applicationfαdevrait donc être linéaire si et seulement siα= 0.

Vérifions maintenant ce résultat.

On suppose queα= 0. On a alors, pour tout(x,y,z)?R3,f0(x,y,z) = (x+y+z,0). On montre ensuite quef0est une application linéaire en procédant comme pour b). Supposons maintenantα?= 0. On cherche un exemple qui met en évidence le défaut de linéarité en se focalisant sur le termeαxy. On a : f

α((1,1,0) + (1,1,0)) =fα(2,2,0) = (4,4α)

f α(1,1,0) +fα(1,1,0) = (2,α) + (2,α) = (4,2α). Ainsifα((1,1,0)+(1,1,0))?=fα(1,1,0)+fα(1,1,0)etfαn"est pas une application linéaire (lorsqueα?= 0). 4 e) Comme précédemment le terme enP2nous indique que l"application n"est pas linéaire. En effet:?(1 + 1) =?(2) = (2)?+ (2)2= 4 ?(1) +?(1) = 2.((1)?+ (1)2) = 2.(1) = 2. Donc?(1 + 1)?=?(1) +?(1)et?n"est pas une application linéaire. f) Dans cet exemple on pourrait penser, comme précédemment, que la présence d"une terme enX2va venir perturber la linéarité de l"application. Cependant il faut faire attention, ici la variable en argument de?estPet nonX. Ainsi pour tout polynôme Q?R[X], l"applicationP?→QP(i.e. la multiplication par le polynômeQ) est une application linéaire. De même l"applicationP?→P?est linéaire et finalement l"applicationP?→P(X-3) est aussi linéaire (un exemple d"application de cette fonction pour fixer les idées : si

P=X2+ 1,P(X-3) = (X-3)2+ 1).

L"application?est donc linéaire comme composée de trois applications linéaires. On peut aussi le démontrer directement. Soit(P,Q)?R[X]2etλ?R. On calcule : ?(P+λQ) = (X2+ 1)(P+λQ)?(X-3) = (X2+ 1)(P?+λQ?)(X-3)en utilisant la linéarité de la dérivation = (X2+ 1)[P?(X-3) +λQ?(X-3)] = (X2+ 1)P?(X-3) +λ(X2+ 1)Q?(X-3) =?(P) +λ?(Q). L"application?est donc une application linéaire deR[X]dans lui même.

Correction 2

a) On af(0) = 1doncfn"est pas une application linéaire. b) On af(0,0,0,0) = 1doncfn"est pas une application linéaire. c) Vérifions queΦest une application linéaire. Soit(f,g)?E2etλ?R. On a, pour toutx?[0,1]:

Φ(f+λg)(x) =?

x2 0 (f+λg)(y)dy x2 0 (f(y) +λg(y))dy x2 0 f(y)dy+λ? x2 0 g(y)dypar linéarité de l"intégrale = Φ(f)(x) +λΦ(g)(x). La relation précédente étant vraie pour toutx?[0,1]on en déduit queΦ(f+λg) = Φ(f) +λΦ(g)et l"applicationΦest bien une application linéaire deEdans lui même. d)La composée d"applications linéaires est linéaire. En effet soit(x,y)?E2etλ?R (en supposant queEest unRespace vectoriel). On a : f(x+λy) =p(p(x+λy)) =p(p(x) +λp(y)) =p(p(x)) +λp(p(y)), 5 en utilisant deux fois la linéarité de l"applicationp. Ainsi l"applicationfest bien une application linéaire deEdans lui même.

Correction 3

1)a) Soitfun endomorphisme nilpotent deEd"indice de nilpotencep?N. Soitxun

vecteur deEvérifiantfp-1(x)?= 0. Montrons tout d"abord la propriété suivante : pour touti?N,fi(x)est différent de aussifp+k=fk◦fp=fk◦0L(E)= 0L(E)pour toutk?N?(iciL(E)désigne l"ensemble des applications linéaires deEdansE, dans la suite on notera tout simplement0à la place de0L(E,E)). D"autre part, si, par l"absurde, on avaitfi(x) = 0aveci < p-1(le cas i=p-1étant impossible par hypothèse surx) il existeraitk?N?tel quei+k=p-1 etfp-1(x) = (fk◦fi)(x) =fk(fi(x)) =fk(0) = 0ce qui est une contradiction avec f p-1(x)?= 0. Montrons maintenant que la famille(x,f(x),...,fp-1(x))est libre. Soit(λ0,...,λp-1)? R ptel que p-1? i=0λ ifi(x) = 0,(?) avec la conventionf0=IdL(E). On compose alors la somme précédente avecfp-1: f p-1( (p-1? i=0λ ifi(x)) =p-1? i=0λ ifp-1+i(x) =λ0fp-1(x). Ainsiλ0fp-1(x) = 0et puisquefp-1(x)?= 0on en déduit queλ0= 0. On continue alors en procédant par récurrence. Nous venons de faire l"initialisation. Soitk < p-1un indice quelconque mais fixé. Supposons queλi= 0pour touti? {0,...,k}. Montrons queλk+1= 0. On compose(?)avecfp-2-k: f p-2-k( (p-1? i=k+1λ ifi(x)) =λk+1fp-1(x) = 0.

Ainsiλk+1= 0ce qui conclut l"hérédité et finalement on obtient que(λ0,...,λp-1) = 0Rp

et la famille(x,f(x),...,fp-1(x))est libre. b)Eétant un espace vectoriel de dimensionnon ne peut pas avoir de famille libre comme montré précédemment,fn=fk+p=fk◦fp=fk◦0 = 0. c) Si l"indice de nilpotence defestnalors, il existex?Etel quefn-1(x)?= 0. D"après le point a) la famille(x,f(x),...,fn-1(x))est libre. Puisque cette famille possède néléments il s"agit d"une famille libre maximale dansE(qui est de dimensionn) et c"est donc une base.

2) Soit(e1,...,en)une base deE. Soit(p1,...,pn)?Nntel quefpi(ei) = 0pour tout

6 quefpm(ei) = 0pour touti? {1,...,n}). Soitx=?ni=1xieiun vecteur deE, on a : f pm(x) =n i=1x ifpm(ei) = 0. Ainsifpm= 0etfest un endomorphisme nilpotent. En utilisant 1)b) on en déduit que f n= 0.

Correction 4

La famille(v1,v2,v3)est une base deR3car elle est génératrice minimale. En effet, e

1est obtenu directement à partir dev2. Le vecteure2=v3-2v2et de même on obtient

e

3=v1+2v2+4(v3-2v2). AinsiR3=Vect?e1,e2,e3? ?Vect?v1,v2,v3? ?R3et la famille

(v1,v2,v3)est génératrice minimale. On veut écrire la matriceMV(u)de l"endomorphismeudans la baseV. La matrice M V(u)est obtenu en concaténant les vecteurs colonnesu(v1),u(v2)etu(v3)exprimés dans la baseV. Commençons par exprimer(u(v1),u(v2),u(v3))dans la baseB, puis dans la baseV. On a : u(v1) =( (2-1 2 -1-2 1

1-2 1)

(2 -4 1) (10 7 11) )= 11v1-90v2+ 51v3 u(v2) =( (2-1 2 -1-2 1

1-2 1)

(-1 0 0) (-2 1 -1) )=-v1+ 6v2-3v3 u(v3) =( (2-1 2 -1-2 1

1-2 1)

(-2 1 0) (-5 0 -4) )=-v1+ 11v2-4v3 Pour exprimer les vecteurs, par exemple(10,7,11)(notons que cette écriture est équiva- lente à10e1+ 7e2+ 11e3), dans la baseV, on cherche(λ1,λ2,λ3)?R3tel que:

10e1+ 7e2+ 11e3=λ1v1+λ2v2+λ3v3,

puis on résout le système. Finalement la matriceMV(u)deudans la baseVest donnée par: M

V(u) =(

(11-1-1 -90 +6 11

51-3-4)

Correction 5

1)a)Soit-→U= (x,y,z)T?R3. On a

T(-→U) =T(xe1+ye2+ze3) =xe3+y(-e1+e2+e3)+ze3=-ye1+ye2+(x+y+z)e3. 7

Ainsi,

U=( (x y z) )?Ker(T)??y= 0 x+y+z= 0?? ??x=k1, k1?R y= 0 z=-k1?-→U=k1( (1 0 -1) ), k1?R, et Ker(T) =Vect? (1 0 -1) b)Pour écrire la matrice de l"application linéaireTdans la baseBon calculT(e1), T(e2)etT(e3)que l"on exprime dans la baseBpuis on concatène ces vecteurs pour formerA. Les vecteursT(ei)(i= 1,2,3) étant donnés dans l"énoncé on a directement : A=( (0-1 0 0 1 0

1 1 1)

2)a) On a

??f

1=e1-e3

f

2=e1-e2

f

3=-e1+e2+e3??

??e

3=e1-f1=f2+f3

e

1=f2+e2=f1+f2+f3

e

2=f1+f3(L3←L3+L1)

AinsiR3=Vect?e1,e2,e3? ?Vect?f1,f2,f3?. La famille(f1,f2,f3)est donc génératrice minimale et c"est une base. b)On a :

T(f1) =(

(0-1 0 0 1 0

1 1 1)

(1 0 -1) )= 0R3en remarquant quef1?Ker(T),

T(f2) =(

(0-1 0 0 1 0

1 1 1)

(1 -1 0) (1 -1 0) )=f2,

T(f3) =(

(0-1 0 0 1 0

1 1 1)

(-1 1 1) (-1 1 1) )=f3. Ainsi la matriceBdeTdans la base(f1,f2,f3)est donnée par : B=( (0 0 0 0 1 0

0 0 1)

8

3) On va vérifier quePest inversible et calculerP-1en même temps.Pest inversible

si et seulement si, pour toutY?R3, il existe un uniqueX?R3tel quePX=Y. On fixe doncY= (y1,y2,y3)T?R3et on résout le système : ??x

1+x2-x3=y1

-x2+x3=y2 -x1+x3=y3?? ??x

2=y1+y3(L1←L1+L3)

x

3=y1+y2+y3

x

1=y1+y2

Le système précédent admet donc une unique solution,Pest inversible etP-1est donnée par : P -1=( (1 1 0 1 0 1

1 1 1)

??x

1=1 y1+1 y2+0 y3

x

2=1 y1+0 y2+1 y3

x

3=1 y1+1 y2+1 y3.

Deuxième méthode :Pest la matrice de passage de la baseBà la baseV, elle est donc inversible. La matriceP-1est la matrice de passage de la baseVà la baseB. Pour écrire cette matrice on utilise la relation (obtenue précédemment dans l"exercice) : ??e

1=f1+f2+f3

e

2=f1+f3

e

3=f2+f3

Cela nous donne directementP-1en concaténant leseiexprimés en fonction desfi. Finalement la formule du changement de base sur les matrices donne :

A=PBP-1.

Rappel :

Soitf:E→Eune application linéaire. SoitBetB?deux bases deE. On noteA (respectivementB) la matrice defdans la baseB(respectivementB?). Soituun vecteur deE. SoitXle vecteur colonne associé àudans la baseBetYle vecteur colonne associé àudans la baseB?. On a la relationX=PYavecPla matrice de passage deBàB?. Si on calculf(u)et que l"on exprime le résultat dans la baseBon a :quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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