Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE
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Produit scalaire : exercices
Produit scalaire : exercices. Les réponses aux questions sont Calculer les produits scalaires suivants : ... 1re Série Générale - Produit scalaire.
Exercices sur le produit scalaire
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Produit scalaire – Exercices Spécialité Mathématiques Activité 1
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Exercices sur le produit scalaire dans le plan. 1 Soit ABCD un carré de côté a. Calculer les produits scalaires. 1. AB AC p =.
Produit scalaire : exercices
Les réponses aux questions sont disponibles à la fin du documentLe plan est muni d"un repère orthonormal.
Exercice 1 :
On considère les vecteurs
!uet!vtels que :k!uk=2,k!vk=3 et!u!v=1.Calculer :
1)(2!u+!v)(!u!v)
2)(!u+2!v)2
3)(3!u+!v)2
4)(!u!v)2(!u+!v)2
Exercice 2 :
Dans la figure ci-dessous :ABCest un triangle isocèle enA,AIBJest un parallélogramme etBC=4.Calculer les produits scalaires suivants :
1) !BC!BA 2) !BC!JC 3) !BC!AJ 4) !BC!IA 5) !BO!BI 6) !BC!CICOBIJAExercice 3 :
SoitCun cercle de centreOetA,BetCtrois points distincts deC.On noteHle projeté orthogonal deAsur la droite(BC),Dl"intersection entre la hauteur(AH)et le cercleCetEle point du
cercle diamètralement opposé àA.Montrer que!AB!AD=!AC!AD=!AE!AH.
?1 reSérie Générale - Produit scalairecP.Brachet -www .xm1math.net1
Exercice 4 :
SoitABCDun carré,Ile milieu de[AB],Jle milieu de[AD]etKle milieu de[ID]. Montrer que les droites(AK)et(BJ)sont perpendiculaires.? ?Exercice 5 :On considère les pointsA 2
1! etB 1 3! a) Déterminer une équation de la tangente enBau cercleCde centreApassant parB. b) Déterminer une équation du cercleC.Réponses exercice 1 :On développe et on utilise que
!u2=k!uk2=4 ,!v2=k!vk2=9 et!u!v=1.1)(2!u+!v)(!u!v) =2
2)(!u+2!v)2=44
3)(3!u+!v)2=39
4)(!u!v)2(!u+!v)2=4
Réponses exercice 2 :
1) !BC!BA=!BC!BQ=42=8 2) !BC!JC=!BC!BC=42=16 3) !BC!AJ=!BC!OB=42=8 4) !BC!IA=!BC!IB+!BA =!BC!IB+!BC!BA=!BC!JA+42=42+8=16 5) !BO!BI=!BO!AJ=!BO!OB=22=4 6) !BC!CI=!BC!CB+!BI =!BC!CB+!BC!BI=42+!BC!AJ=1642=24Réponses exercice 3 :
!AB!AD=!AH!AD=car!ABse projette orthogonalement en!AHsur(AD).!AC!AD=!AH!AD=car!ACse projette orthogonalement en!AHsur(AD).
Donc, on a bien!AB!AD=!AC!AD.
De plus,!AE!AH=!AD+!DE
!AH=!AD!AH+!DE!AH=!AD!AH+0 (le triangleADEest rectangle enD).Conclusion :
!AB!AD=!AC!AD=!AE!AH.2 c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Générale - Produit scalaireRéponses exercice 4 :
!AK!BJ=!AJ+!JK !BA+!AJ =!AJ+12 !AI !BA+!AJAJ!BA+!AJ!AJ+12
!AI!BA+12 !AI!AJ=0+14 a214 a2+0=0Les droites(AK)et(BJ)sont bien perpendiculaires.
Réponses exercice 5 :
a) !AB 3 2! est un vecteur normal de la tangente qui admet donc une équation de la forme :3x+2y+c=0. La tangente doit passer parB. On en déduit que3(1)+23+c=0,c=9. Une équation de la tangente est donc :3x+2y9=0. b) Le rayon du cercle est égal à la distanceAB. Or,AB=p(3)2+22=p13. Une équation du cercle est donc(xxA)2+(yyA)2=13, c"est à dire(x2)2+(y1)2=13.1 reSérie Générale - Produit scalairecP.Brachet -www .xm1math.net3
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