Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE
Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE. Exercice 1 : on considère le carré de centre et de côté 8. Calculer les produits scalaires suivants :.
Produit scalaire : exercices
Produit scalaire : exercices. Les réponses aux questions sont Calculer les produits scalaires suivants : ... 1re Série Générale - Produit scalaire.
Exercices sur le produit scalaire
17 mai 2011 scalaire. Exercice 1 : Sur les expressions du produit scalaire ... 1) Calculer les produits scalaires suivants : ... exercices. Premi`ere S.
Première générale - Produit scalaire - Exercices
Calculer les produits scalaires ?. BA??. BC et ?. CA??. CB. 5. Quelle est l'aire du triangle ABC ? Exercice 5 corrigé disponible. Exercice 6. Exercice 7
Produit scalaire – Exercices Spécialité Mathématiques Activité 1
Produit scalaire – Exercices Partie A – Premiers calculs de produits scalaires. Exercice 1 ... Calculer les produits scalaires suivants :.
produit scalaire:Exercices corrigés
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Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans lespace
Que peut-on dire de ? Partie B : Produit scalaire dans l'espace. Exercice 1. On considère le cube d'arête et de centre . Calculer en
TD-PRODUIT SCALAIRE DANS 2 Etude analytique -Applications
TD PRODUIT SCALAIRE. PROF : ATMANI NAJIB. 1BAC SM BIOF http:// xriadiat.e-monsite.com Etude analytique -Applications: cercle. Exercices avec corrections ...
Première S 2010-2011 Exercices sur le produit scalaire équations
Exercices sur le produit scalaire équations de droite et de cercles. 1. Exercice 1 : Distance d'un point à une droite.
1 S Exercices sur le produit scalaire dans le plan
Exercices sur le produit scalaire dans le plan. 1 Soit ABCD un carré de côté a. Calculer les produits scalaires. 1. AB AC p =.
Exercice 1
: Distance d"un point à une droite.On se donne une droite (
D) dont l"équation cartésienne est de la forme ax + by + c = 0 et un point A(xA; yB).
Déterminer la distance de A à la droite (
D). d(A,D) = AH
1)Application
On donne les points A
)))-3 2 ;-1; B(-1;3) et C(5;1) a)Déterminer une équation de la droite (BC)
b) En déduire la distance du point A à la droite (BC). c)Autre méthode :
On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC).Déterminer un vecteur
n normal à la droite (BC).Calculer
AB. n de deux manières différentes et en déduire la longueur AH. Première S 2010-2011 Exercices sur le produit scalaire, équations de droite et de cercles 2Exercice 2
: équations cartésiennes de cercle et de droite1) Déterminer une équation du cercle (c) de centre A(2 ;3) et passant par le
point B(1 ;4).2) Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T) au cercle (c)
passant par le point B.3) Déterminer les coordonnées du point C, intersection de (T) avec l"axe des
abscisses.Exercice 3
: Ensemble des points M tels que AM. u = k.On considère les points A(3 ;2) et B(-1 ;0).
1) Déterminer et construire l"ensemble
D des points M(x ;y), tels que
AM. AB = 0.1) Déterminer une équation cartésienne et construire l"ensemble Δ des points
M, tels que
AM.AB = 5.
2) Pourquoi D et Δ sont-elles parallèles ?
3) Soit k un réel donné.
Déterminer la nature de l"ensemble D
k des points M du plan vérifiant AMAB = k.
Exercice 4
: Relations d"Al-Kashi et formule des sinus Soit ABC un triangle. On utilise les notations du théorème d"Al-Kashi.1) Démontrer que l"aire S de ABC peut s"écrire :
S = 1 2´bc´sin dA
2) Déterminer deux autres relations analogues à celle du 1) et établir la
" formule des sinus » : Première S 2010-2011 Exercices sur le produit scalaire, équations de droite et de cercles 3 a sin dA = b sin dB = c sin dC = abc 2S3) Applications
a) On donne BC = a = 6, dB = 45° et dC = 75°. Déterminer la valeur exacte de b, puis celle de c, en utilisant a² = b² + c² -2bc´cos dA .
b) On donne c = 10,5, b = 12 et dC = 60°.Résoudre dans Y l"équation d"inconnue a :
C² = a² + b² - 2ab
´cos dC .
Combien de triangles obtient-on ?
Les triangles obtenus sont-ils isométriques ?
Première S Exercices sur le produit scalaire 2010-2011CORRECTION
4Exercice 1
: Distance d"un point à une droite.Un vecteur normal à D a pour coordonnées
n((( )))a b.Les vecteurs
AH et n sont colinéaires.Donc il existe k
Î Y tel que
AH = k
n.On a alors : AH² = k²(a² + b²).
Le point H(x
H; yH) appartient à D; donc axH + by + c = 0
D"autre part,
AH (((
)))xH - xA
yH - yA.On a donc
AH = k
n ???xH - xA = ka
yH - yA = kb
D"où : a(x
H - xA) + b(yH - yA) = ka² + kb² = k(a² + b²)D"où : k =
a(xH - xA) + b(yH - yA)
a² + b² = axH + byH - axA - byA a² + b² =-c - axA - byA a² + b²Finalement : AH = |k|
a² + b² = |axA + byA + c|´a² + b² a² + b² =|axA + byA + c| a² + b²Donc d(A,
D) = |ax
A + byA + c|
a² + b²2) Application
Première S Exercices sur le produit scalaire 2010-2011CORRECTION
5 a) Une équation réduite de la droite (BC) est : y = yC - yB
xC - xB(x - xB) + yBSoit y = -4
6 (x + 1) + 3Soit : y = -
2 3 (x + 1) + 3Ou encore : 3y = -2x - 2 + 9
Soit : 2x + 3y - 7 = 0 : équation cartésienne de la droite (BC). b) On a donc d(A, (BC)) = |2´(-1,5) + 3´(-1) -7|2² + 3² = 1313 = 13 » 3,61
c)Autre méthode
BC (((
)))6 -4 Donc n ((( )))23 est un vecteur normal à la droite (BC) car
BC . n = 0 AB. n = ((( )))0,5 4.((( )))23 = 0,5
´2 + 4´3 = 13
AB. n = ( AH + HB). n = AH. n + HB. n = AH. n (car HB ^ n). Or AH et n sont colinéaires et de même sens puisque AB. n > 0. Donc AH. n = AH´|| n ||D"où : 13 = AH
´2² + 3² = AH´13
On retrouve AH = d(A,(BC)) =
13 Première S Exercices sur le produit scalaire 2010-2011CORRECTION
6Exercice 2
1) AB² = (2 - 1)² + (4 - 3)² = 2
Une équation du cercle (x) est donc (x - 2)² + (y - 3)² = 22) Un vecteur normal à la droite recherchée est le vecteur
n = AB. Soit n((( )))-1 1 Une équation de la droite cherchée (T) est donc de la forme : -x + y + c = 0 BÎ (T) -1 + 4 + c = 0
Donc c = -3
Une équation cartésienne de (T) est donc -x + y - 3 = 03) Pour y = 0, on a x = -3
C(-3 ;0)
Première S Exercices sur le produit scalaire 2010-2011CORRECTION
7Exercice 3
: Ensemble des points M tels que AM. u = k.1) M(x ;y) Î D Û
AM.AB = 0
)))x - 3 y - 2.((( )))-1 - 30 - 2 = 0
Û -4(x - 3) - 2(y - 2) = 0
Û-4x + 12 - 2y + 4 = 0
Û 2x + y - 8 = 0
Il s"agit d"une droite d"équation 2x + y - 8 = 0. D est la droite passant par A et perpendiculaire à (AB).2) M(x ;y)
AM.AB = 5
)))x - 3 y - 2.((( )))-1 - 30 - 2 = 5
Û -4(x - 3) - 2(y - 2) = 5
Û-4x + 12 - 2y + 4 = 5
Û 4x + 2y - 11 = 0
Première S Exercices sur le produit scalaire 2010-2011CORRECTION
8 Δ est la droite d"équation 4x + 2y - 11 = 0. D et Δ sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à (AB) (leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.)Soit H le point d"intersection de Δ avec (AB).
AH etAB sont colinéaires ; donc
AH = k
AB avec k Î Y
On a AH.AB = 5 k
AB´
AB.= 5 k = 5
AB² = 5
20 = 1
4D"où :
)))x H - 3 yH - 2 = 1
4 ((( )))-4-2 xH = 3 - 1 = 2 et yH = 2 - 0,5 = 1,5 Donc Δ est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le point H de coordonnées (2;1,5)3) M(x ;y)
Î Dk Û
AM.AB = k
)))x - 3 y - 2.((( )))-1 - 30 - 2 = k
Û -4(x - 3) - 2(y - 2) = k
Û-4x + 12 - 2y + 4 = k
Première S Exercices sur le produit scalaire 2010-2011CORRECTION
9Û 4x + 2y - 16 + k = 0
Dk est la droite d"équation 4x + 2y - 16 + k = 0. Exercice 4 : Relations d"Al-Kashi et formule des sinus1) Soit H le pied de la hauteur issue de B.
Dans le triangle ABH rectangle en H, on a :sin
dA = BH AB = BH cD"où S =
AC´BH
2 = 12´b´c´sin A
2) Avec les pieds des deux autres hauteurs, on obtient :
S = 1 2 ac´sindB = 12ab´sin dC
D"où : 2S = bc
´sin dA = ac´sin dB = ab´sin dC
En divisant par abc chaque membre, on obtient :
sin dA a = sin dB b = sin dC c = 2S abc D"où la formule cherchée, en prenant les inverses : a sin dA = b sin dB = c sin dC = abc 2S Première S Exercices sur le produit scalaire 2010-2011CORRECTION
103) a) On a dA = 180 - dB - dC = 180 - 45 - 75 = 60
D"après la formule des sinus, on obtient :
6 sin 60° = b sin 45°Soit b = 6
´sin 45°sin 60° = 6´2
2´2
3 = 26
Avec la formule d"Al-Kashi, on obtient :
a² = b² + c² - 2bc´cosdA .
36 = 4
´6 + c² -2´´2´6´c´cos 60°
Soit : c² - 2
6c - 12 = 0
Équation du second degré qui a une seule solution positive : c = 6 + 3 2 b) L"équation s"écrit : 10,5² = a² + 12² - a´12
Soit a² - 12a + 33,75 = 0
Les deux solutions de cette équation du second degré sont 4,5 et 4,5.Ce qui donne deux triangles non isométriques :
· a = 7,5 b = 12 c = 10,5
d A» 38,2° ; dB» 81,8 ° ; dC = a60 °
· a = 4,5 b = 12 c = 10,5
d A» 21,8 ; dB» 98,2 ; dC = a60 °
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