Fiche aide-mémoire 7 : Commutant dune matrice. 1 Des remarques
Si M commute avec la matrice A qui est carrée d'ordre n Pour trouver le commutant d'une matrice diagonale (ou d'une matrice “simple” au sens où elle ...
Commutant dune matrice
(a) Montrer que M commute avec les matrices Eii. Dans cette question A est une matrice diagonalisable de Mn(IK)
corrreduc - copie
morphismes de E qui commutent avec f. C'est un sous-espace vectoriel de L(E). (a) Trouver les matrices qui commutent avec une matrice car- rée diagonale à
MPSI 2 DS 07
Réciproquement une matrice diagonale commute avec toute matrice diagonale. Q 8 Montrons que. (. X2 = A. ) (i). ??.
Réduction
Soit A une matrice carrée de format 2 telle que A2 est diagonalisable et TrA = 0. X commute avec A et donc laisse stable les trois droites propres de A.
Commutant d’une matrice
(a) Montrer que M commute avec les matrices Eii. Dans cette question A est une matrice diagonalisable de Mn(IK)
Ex 1 classique On consid`ere la matrice J ? Mn(R) remplie de 1: J
On suppose que A commute avec toutes les matrices diagonales. Montrer que A est une matrice diagonale. Ex 8. Facile classique. Soit une matrice U triangulaire
Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul matriciel - Correction
Exercice 9 : Soit T une matrice triangulaire supérieure de taille n. Montrer que T commute avec sa transposée ei et seulement si elle est diagonale.
Calcul matriciel
puissances d'une matrice et dans certains cas
réduction.pdf
On suppose en outre que C commute avec les matrices A et B. Soit A une matrice diagonalisable de Mn(R) admettant une valeur propre multiple ?.
Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr
2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres vecteurs propres etc §1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples? Addition multiplication puissance polynôme déterminant inversion (si possible) images et noyau lié ou libre rang résolution d’un système etc
Sur la diagonalisation des matrices 2x2 - univ-rennes1fr
Aest aussi une matrice diag-onale 1 2 Matrices diagonalisables D e nition 2 Une matrice M 2M n(K) est dite diagonalisable si elle est semblable a une matrice diagonale Ceci est equivalent a dire qu’il existe une matrice inversible P 2 GL(n;K) telle que la matrice M0= P 1MP soit diagonale Rappelons que GL(n;K) d esigne l’ensemble des
Exo7 - Cours de mathématiques
qui déterminent exactement quand une matrice est diagonalisable Nous reprenons pas à pas les notions du chapitre « Valeurs propres vecteurs propres » mais du point de vue plus théorique des applications linéaires Notations Dans ce chapitre E est un K-espace vectoriel K est un corps Dans les exemples de ce chapitre K
Amphi 5 : Diagonalisation des matrices symétriques réelles
Soit A une matrice sym etrique r eelle de M n(R) Alors : 1 A est diagonalisable sur R 2 Les espaces propres sont deux a deux orthogonaux Il existe donc une matrice orthogonale P telle que P 1AP est diagonale
Sur la diagonalisation des matrices 2x2 - univ-rennes1fr
U est une matrice inversible dont les colonnes sont des vecteurs propres de M alors U?1MU est diagonale Par conséquent diagonaliser M continument revient donc peu ou prou à faire un choix pour les vecteurs propres de M qui dépende continument de M Ce choix est toujours possible localement au voisinage d'une matrice dont toutes les
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Comment savoir si une matrice est diagonale ?
n, U?1MU = D alors les coe cients diagonaux de D sont des aleursv propres de M et les vecteurs colonnes de U sont des vecteurs propres de M. Réciproquement, si U est une matrice inversible dont les colonnes sont des vecteurs propres de M, alors U?1MU est diagonale.
Quels sont les exercices de diagonalisation des matrices ?
Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices.
Comment diagonaliser le continument d'une matrice ?
Par conséquent, diagonaliser M continument revient donc peu ou prou à faire un choix pour les vecteurs propres de M, qui dépende continument de M. Ce choix est toujours possible localement, au voisinage d'une matrice dont toutes les aleursv propres sont distinctes. C'est une application classique du théorème d'inversion locale.
Comment calculer la diagonalisation de matrices symétriques ?
5.2 Diagonalisation de matrices symétriques 49 Exemple 5.1 Soit f une application linéaire de R3dans R3telle que A = M can,can(f) = ? ? 6 ?2 ?1 ?2 6 ?1 ?1 ?1 5 ? ?. Les valeurs propres de A sont ?1= 8, ?2= 6 et ?3= 3. A est donc diagonalisable.
Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul
matriciel - Correction des exercicesTatiana Labopin-Richard
21 janvier 2015
1 Somme et produit
Exercice 1 :PourA?Mn(K), on noteσ(A)la somme des termes deA. On pose J=( ((1···1...(1)...1···.1)
Vérifier queJAJ=σ(A)J.
Correction :σ(A) =n?
k=1n l=1a k,l. Par produit, nous avonsB=AJa pour terme généralbi,j=n l=1a i,let doncC=JAJa pour terme généralci,j=n k=1b k,j= n k=1n l=1a k,l=σ(A).Exercice 2 :SoitM=?a b
c d?Pour toutn≥2, note :Mn=?anbn
c ndn? .Démontrer que pour toutn≥2, on a b n+cn=an+dn. Correction :Pour toutn≥1, en exploitantMn+1+M×Mn, on a 1 a n+1=aan+bcn b n+1=abn+bdn c n+1=can+dcn d n+1=cbn+ddnPar suite,
a n+1+dn+1-(bn+1+cn+1) = (a-c)(an-bn) + (b-d)(cn-dn). Sachant quea≥cetb≥d, il suffit d"établir quean≥bnetcn≥dnpour conclure. Pourn= 1la proposition est vérifiée. Pourn≥2, exploitonsMn=Mn-1M: a n=an-1a+bn-1c b n=an-1b+bn-1d c n=cn-1a+dn-1c d n=cn-1b+dn-1dOn a alors
a n-bn=an-1(a-b) +bn-1(c-d) et c n-bn=cn-1(a-b) +dn-1(c-d) On montre par récurrence quean,bn,cnetdnsont positifs, ce qui merpet de conclure puisquea-b≥0etc-d≥0. Exercice 3 :Que peut-on dire d"une matrice qui vérifieTr(AAT) = 0? Correction :NotonsB=AT. Par définition, on a doncbi,j=aj,i. NotonsC=AB. Nous avons alors
c i,j=n k=1a i,kaj,k et doncci,i=n k=1a2i,k.Ainsi,
Tr(AAT) =n
i=1n k=1a2i,k. 2 C"est donc la somme des carrées de tous les coefficients deA. Ainsi, si cette somme est nulle, cela signifie que chacun des termes est nul et donc que la matriceAest nulle.
Exercice 3bis :Calculer les puissances nième des matrices suivantes :A=?1 1
0 2? , A=?a b 0a? , A=?cos(θ)-sin(θ) sin(θ) cos(θ)?Correction :1)An=?1an
0 2 n? avecan+1= 1 + 2ance qui implique que a n= 2n-1.2) Par récurrence, on montre queAn=?annan-1b
0an?3) Par récurrence, on montre queAn=?cos(nθ)-sin(nθ)
sin(nθ) cos(nθ)?2 L"anneauxMn(K)est non commutatif et pos-
sèdes des diviseurs de 0 (pourn≥2)Exercice 4 :SoitA=(
(1 2 6 0 1 20 0 1)
). Calculer la puissance nième deApour tout n.Correction :Nous avonsA=I3+NavecN=A=(
(0 2 6 0 0 20 0 0)
). La matrice Nest niloptente d"indice 3 et elle commute avec la matriceI3. On peut donc appliquer la binôme de Newton qui nous donne : A n=n? k=0? n k? N kIn-k3=2? k=0? n k? N k=( (1 2n2n(n+ 2)0 1 2n
0 0 1)
Exercice 5 :SoientAetBdeux matrices de taillesnvérifiantAB-BA=A.Montrer que pout tout entier naturel non nulk,
A k+1B-BAk+1= (k+ 1)Ak+1. Correction :Montrons le résultat par récurrence. 3 Initialisation : Lorsquek= 1, nous avonsAB-BA=Apar hypothèse. Hérédité : Supposons la propriété vraie au rangk. Nous avons alors : A k+1B-BAk+1=A(AkB-BAk) +ABAk-BAk+1 =AkAk+ (AB-BA)Ak =kAk+1+Ak+1 = (k+ 1)Ak+1 On retiendra la technique classique qui consiste, à la première ligne des équa- tions à faire apparaître les termes dont on a besoin, puis à compenser en les enlevant tout de suite après. Exercice 6 :SoitM?GLnK. Montrer l"existence d"un polynômeQ?K[X] tel queQ(X) = 0etQn"admet pas 0 pour racine (on admettra l"existence deP?K[X]non nul tel queP(M) = 0).
Correction :SoitP, on écritP=XrQavecrentier naturel etQn"admettant pas 0 pour racine. On a alors M rQ(M) =P(M) = 0. En simplifiant par la matrice inversibleMr, on obtientQ(M) = 0. Exercice 7 :SoitAsymétrique inversible de taillen. Montrer que l"inverse deAest symétrique. Correction :Nous avons par hypothèsesAT=AetAA-1=In. Ainsi (AA-1)T= (A-1A)T=In (A-1)TAT=AT(A-1)T=In (A-1)TA=A(A-1)T=InDonc(A-1)T=A-1par unicité de l"inverse deA.
Exercice 8 :Démontrer le dernière ligne du tableau. Trouver un contre- exemple lorsqu"on regarde le produit de trois matrices.Correction :
Tr(AB) =n
i=1? n? k=1a i,kbk,i? =n k=1? n? i=1b k,iai,k? =Tr(BA).Par ailleurs, pour
A=?1 1
3 0? , B=?1 1 2 1? , C=?1 1 0 1? 4 on obtientTr(ABC) = 10etTr(CBA) = 14. Exercice 9 :SoitTune matrice triangulaire supérieure de taillen. Montrer queTcommute avec sa transposée, ei et seulement si elle est diagonale.Correction :Par récurrance surn≥1.
Initialisation :n= 1immédiat.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rangn≥1. SoitT?Mn+1(K) triangulaire supérieure commutant avec sa transposée. Nous avonsT=?α XT
0 n,1S? avecαun scalaire,δtriangulaire supérieure,X?Mn,1(K)etS?Mn(K). Ainsi,TTT=TTTimplique d"une part, en identifiant les coefficients(1,1)que2=α2+XTX. DoncX= 0. Et d"autre part,STS=SST. Par hypothèse de
récurrence, nous en déduisons alors queSest diagonale. DoncTest diagonale. Exercice 10 :Existe-il des matricesAetBtelles queAB-BA=In? Correction :Non, carTr(AB) =Tr(BA)impliqueTr(AB-BA) = 0?=Tr(In).
Exercice 11 :Soient(A,B)?Mn(K)tels queAB-BA=A. CalculerTr(Ap) pour tout entier non nulp.Correction :
Tr(A) =Tr(AB-BA) =Tr(AB)-Tr(BA) = 0
Tr(Ap) =Tr(Ap-1(AB-BA))
=Tr(ApB)-Tr(AP-1BA) OrTr(Ap-1BA) =Tr((Ap-1B)A) =Tr(A(Ap-1B)) =Tr(ApB)
et doncTr(Ap= 0). Exercice 12 :Calculer le produit de deux matrices élémentaires.A=Ei,jEk,l= (ap,q)p,qalors
a p,q=?r= 1n(δp,iδr,j)(δr,kδq,l) =δj,kδp,iδq,l, et donc : 5 E i,jEk,l=δj,kEi,l.Exercice 13 :SoitA?Mn(K). Montrer que :
?B?Mn(K), AB=BA? ?λ?K, A=λIn. Correction :SiAest solution, alorsAEi,j=Ei,jAdoncai,i=aj,jpour tout (i,j)etai,k= 0pour toutk?=i. DoncA=λIn. Réciproque immédiate. Exercice 14 :Quelles sont les matrices carrées qui commutent avec toutes les matrices carrées? Correction :SoitMvérifiant. Alors pouri?=j,Ei,jM=MEi,j. l"égalité en indice(i,i)donnemj,i= 0et l"égalité en indice(i,j)donnemj,j=mi,i. DoncM=λIn.
Exercice 15 :Soitn≥2.
a) Montrer que{A?Mn(R)/?M?GLn(R), AM=MA}={λIn, λ?R}. b) SoitA?Mn(R). On suppose que ?M,N?Mn(R), A=MN?A=NM.Montrer qu"il existeλ?Rtel queA=λIn.
Correction :
a) SoitAcommutant avec toutes les matrices inversibles. Soiti?=j. Pour M=In+Ei,j,AM=MAdonneAEi,j=Ei,jA. On retombe sur l"exercice précédent. b) SoitBune matrice inversible. Nous avonsA= (AB-1)Bce qui implique queA=B(AB-1)et donc queAB=BA. Ainsi,Acommute avec toutes les matrices inversibles et on retourne à la question 1. Exercice 16 :SoitAetBdeux matrices carrées de taillentelles que pour toute matrice carrée de taillen,Tr(AX) =Tr(BX). Montrer queA=B. Correction :Nous avonsAEi,jqui est la matrice avec des 0 partout sauf sur la colonnej, où peut lire la ième colonne deA. Donc,Tr(AEi,j) =aj,i. Ainsi, nous avonsaj,i=bj,ipour tout(i,j)doncA=B. 63 Inverser une matrice
3.1 Le pivot de Gauss
Exercice 17 :Calculer l"inverse de la matriceA=(
(1 1-1 1 1 02 1 1)
Correction :Par le pivot de Gauss, on trouveA-1=(
(1-2 1 -1 3-1 -1 1 0)3.2 Mais il y a d"autres méthodes
Exercice 18 :Justifier l"existence et calculer l"inverse de la matriceAtrian- gulaire supérieure ayant des1sur la diagonale et des-1au dessus. Correction :dans ce cas, il est plus facile d"écrire le système : ?????x1-(x2+···+xn) =y1
x n-1-xn=yn-1 x n=yn(1) ce qui se résoud en n=yn x n-1=yn-1+yn x n-2=yn-2+yn-1+ 2yn x1=y1+y2+ 2y3+···+ 2n-2yn(2)
et doncA-1=( ((((((((((1 1 2...2n-2 .........2 ......1 ...1)Exercice 19 :Calculer l"inverse de la matriceA=(
(2-1 2 5-3 3 -1 0-2) 7 Correction :Nous avons(A+I)3= 03. DoncA3+ 3A2+ 3A+I= 0. Ainsi,Aest inversible etA-1=-(A2+ 3A+I).
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