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Optimisation de formes

BeniaminBogosel

CNRS, Centre de Mathematiques Appliquees

Ecole PolytechniqueBeniaminBogoselOptimisation de formes1/56

Introduction

l'

Optimisation de formes

concerne la minimisation d'une f onctionobjectif J( ) qui depend d'unefo rme dans R2ouR3sous certainescontraintes ce type de probleme appara^t souvent en sciences et en nature aujourd'hui : domaine interessant pour les ingenieurs interface entre mathematiques, physiques, ingenierie mecanique et calcul scientiqueen plein developpement actuellement

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Contenu du cours

Le cours est compose de

6h de cours sur les principaux aspects theoriques

des sessions pratiques concernant l'implementation des algorithmes basiques d'optimisation topologique enFreeFem++

Materiel pour le cours:

http://www.cmap.polytechnique.fr/ ~beniamin.bogosel/ enseignement.html#ENSTA

Contact, questions

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Contenu du 1er cours

1Quelques exemples historiques

Probleme de Dido et inegalite isoperimetrique

Optimisation de forme en nature

Optimisation de formes en architecture

Vers l'optimisation de forme moderne

2Notions de base

C'est quoi un probleme d'optimisation de formes?

Exemples et modeles

Apercu rapide de la methode des elements nis

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Quelques exemples historiques

Probleme de Dido et inegalite isoperimetrique

Optimisation de forme en nature

Optimisation de formes en architecture

Vers l'optimisation de forme moderne

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Probleme de Dido

le mythe de la fondation de la ville de

Ca rthage

la reine de Tyr arrive en Afrique pres de Tunis et demande asile apres l'assassinat de son marion ne lui concede que ce que pourrait couvrir la peau d'un buf elle utilise la peau de beauf pour obtenir une corde de quelques km avec ce corde elle encercle un territoire pour fonder la ville de Carthage

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Probleme de Dido (2)

On arrive donc au probleme suivant :

Comment utiliser la corde d'une longueur donnee pour maximiser l'aire de la surface entouree par la corde ?(gauche) La solution si on peut aussi utiliser le bord de la mer (droite) La solution en utilisant que la corde pour construire le bord

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L'inegalite isoperimetrique

Soit

R2un domaine avec une frontiere reguliere@

. SoitAl'aire de et` la longueur de@ . Alors 4A`2; et l'egalite est atteinte si et seulement si est un disqueDe maniere equivalente on peut dire :

Parmi tous les domaines

R2avecaire p rescrite, le domaine avec le

perimetre minimal est le disqueAutres variantes peuvent ^etres formulees : si une partie du bord est xee

(comme le bord de la mer) alors la pa rtielib reest une pa rtied'un ce rcle

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L'inegalite isoperimetrique (2)

Une de premieres preuves a ete donnee en 1838 par Steiner, mais la preuve etait incomplete : il a prouve que la forme optimale est un disque en supposant qu'elle existeIl existe une multitude de problemes d'optimisation de formes sans solution, pour des raisons mathematiques ou physiquesmaximiser le perimetre a volume xe trouver la piece avec une resistance maximale sous certains chargements la premiere preuve complete en dimension deux : K. Weierstrass 1860 dimension trois : H. Schwarz 1884

Parmi tous les domaines

R3avec

volume prescrit la b ouleminimise l'aire de surface.

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Une autre application

Optimiser le co^ut des fortications

: Ancien P aris

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Quelques exemples historiques

Probleme de Dido et inegalite isoperimetrique

Optimisation de forme en nature

Optimisation de formes en architecture

Vers l'optimisation de forme moderne

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Le nid d'abeilles

probleme isoperimetrique pour une partition la partition en hexagones reguliers a la longueur minimale parmi les partitions en cellules de m^eme airepreuve mathematique complete :T. C. Hales (1999)

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Le nid d'abeilles spherique

Si on xe les aires des patchs noirs et blancs, la structure classique d'un ballon de football

minimise la longueur des r egionsde couture ?pas de preuve mathematique : simulations numeriquesBeniaminBogoselOptimisation de formes13/56

Les boules de savon

Les boules de savon essaient de prendre la forme qui minimise la surface totale englobant toujours un volume xe

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Quelques exemples historiques

Probleme de Dido et inegalite isoperimetrique

Optimisation de forme en nature

Optimisation de formes en architecture

Vers l'optimisation de forme moderne

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A la recherche des designs optimaux

?Theoreme de Hooke "As hangs the exible chain, so but inverted will stand the rigid arch."

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A la recherche des designs optimaux (2)

?A. Gaudi fait le plan de l'eglise de Colonia Guella l'enversen suspendant des poids sur des membranes.

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A la recherche des designs optimaux (3)

?des techniques modernes d'optimisation de formes sont utilisees pour concevoir des b^atimentsQuatar National Convention Center

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A la recherche des designs optimaux (4)

?design desp ontsoptimaux le pont de Bayonne

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Quelques exemples historiques

Probleme de Dido et inegalite isoperimetrique

Optimisation de forme en nature

Optimisation de formes en architecture

Vers l'optimisation de forme moderne

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Vers l'optimisation de forme moderne

?des methodes d'optimisation de formes plus avancees ont emerge apres 1960Le developpement des outils numeriques pour simuler des phenomenes complexes (la methode des elementsnis )L'apparition des ordinateurs plus puissants ?Un domaine important d'inter^et est l' aeronautique , o`u les ingenieurs veulent optimiser le p roldes ailes p ourminimiser latra ^nee maximiser la p ortance

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Vers l'optimisation de forme moderne (2)

?assistance ordinateur : applications ingenierie civile et mecaniqueBeniaminBogoselOptimisation de formes22/56

Vers l'optimisation de forme moderne (3)

?L'optimisation de formes et topologique est utilisee en industrie avec des applications tres variees ?Plusieurs logiciels industriels sont disponibles :OptiStruct,Ansys,Tosca... ?Des structures complexes ne pouvaient pas ^etres fabriquees dans le passe ?... aujourd'hui tout est possible (enn, presque tout) en utilisant lafab rication additive

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Exemple industriels

?Airbus: optimiser la structure d'une aile : economiser1000kg pa ravion ?Renault: optimisation structure interieure hayon, optimisation supports

moteur, etc.

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Quelques methodes en optimisation topologique

"aller-retour" entre ingenieur et responsable simulation : p rocessustr eslent optimisation genetique : si peu de parametres rentrent en jeu optimisation avec algorithme de gradient : b eaucoupplus ecace mais necessite quelques calculs theoriques

![G. Allaire,Conception optimale de structures]optimisation avecdi erentiationautomatique : il n'est pas n ecessairede

calculer le gradient a la main mais n ecessitedes travaux p oussesen informatique

![Mohammadi, Pironneau,Applied Shape Optimization for Fluids]Developpements recents :optimisation top ologiquetr esrapide sur le s

GPU , encore des challenges de codage

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Dans ce cours...

comprendre l'impact des questions d'existence des solutions sur l'approche numeriquevoir comment calculerla d eriveede fo rmedans certains cas standa rd observer des implementations basiques en 2D enFreeFem++: voir comment creer vos propres cas d'optimisation, observer l'impact des parametres sur le design nalvers la n, voir quels sont les dicultes en 3D sur des cas test standard

Disclaimer

Ce cours se veut

u neintro duction al'Optimisation T opologique.L'objectif e st de c omprendrequelques exemples standa rd et de vous fo rmerune id eede ce que

les logiciels font quand ils optimisent des formes.Pour aller plus loinconsultez la liste de r eferencesfournie .

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Notions de base

C'est quoi un probleme d'optimisation de formes?

Exemples et modeles

Apercu rapide de la methode des elements nis

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Optimisation de formes

Formulation typique

min 2AF( )t:q:C( )0 Rdest unefo rmeou une va riablede design Fest unefonction objectif, co ^utqui d ependd' Exemples : volume, perimetre (surface), compliance, etc. C( ) est unefonction contrainte Aest l'ensemble desfo rmesadmissibles informations sur les ensembles contient des eventuelles contraintes ?En mecanique et application physiques,J( ) etC( ) dependent souvent d' via une fonction d' etatu , solution d'une EDP sur

!equation de la chaleur, elasticite linearisee, equation de Stokes, etcBeniaminBogoselOptimisation de formes28/56

Description du processus d'optimisation

Plusieurs ingredients :

un mo delephysique , souvent sous la forme d'une EDP pour decrire le comportement des formesunedescription math ematiquedes fo rmeset leurs va riations(un jeu de

parametres, fonction densite, etc...)unedescription num eriquedes fo rmes(maillage, rep resentationsplines, etc)

?ces choix sont inter-connectees et sont guidees par chaque application particuliere ?trois categories principales : optimisationpa rametrique,g eometriqueet topologique ?points de vue dierents sur le probleme

?les approches mathematiques et numeriques ont des points en communBeniaminBogoselOptimisation de formes29/56

Point de vue theorique

Probleme

min 2AF( );C( )0existence des solutions conditions d'optimalite, regularite des solutions trouver explicitement la solution (souvent impossible) proprietes qualitatives approximation numerique

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Quelques idees concernant l'existence des solutions

Cas classique -f:KRd!R

min x2Kf(x)Resultat classique Une fonction continue sur un compact atteint ses valeurs extremales

Approche classique en optimisation

?continuite+ compacit e= )existence des solutionsQuestions delicates en optimisation de formes quelle topologie choisir sur l'ensemble de formes ? compacite - p eud'ensembles ouverts continuite - b eaucoupd'ensembles ouverts

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Point de vue applicatif

Probleme

min 2AF( );peut-ondiminuer F(

)tout en p reservantles eventuellesc ontraintesavoir des methodes numeriques et algorithmes ecaces pour automatiser la

recherche des domaines meilleursl'existence et la regularite de la solutionne p osentpas de p roblemesp our

les applications en pratique, mais p euventexpliquer un c omportement bizarre d'un algorithme numerique

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Optimisation parametrique

Les formes sont decrites par un jeu de

pa rametres physiques : epaisseur,p oints de contr^ole, etcdescription d'une aile par des NURBS; les parametres p isont les points de contr^oleDescription d'une plaque par son epaisseur h:S !R+BeniaminBogoselOptimisation de formes33/56

Optimisation parametrique (2)

Les parametres qui decrivent les formes sont les seules va riables d'optimisation , et le probleme d'optimisation de formes devient min (pi)2PadJ(p1;:::;pN);

ouPadest l'ensemble despa rametresadmissibles Dans l'optimisation parametrique il est facile de voir la variation de la

forme par rapport a chaque parametrepi

(pi)i=1;:::;N!(pi+pi)i=1;:::;N:Utiliser une telle methode impose une restriction importante sur les designs

possibles et necessite une connaissancea prioridu design optimal souhaiteBeniaminBogoselOptimisation de formes34/56

Optimisation geometrique

La topologie de la forme est xee (le

numero de trous en 2d)La variable d'optimisation est toutela frontiere@ de la forme

L'optimisation geometrique donne plus de

liberte que l'optimisation parametrique

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Optimisation topologique

Dans beaucoup d'applications la

top ologie des formes n'est pas connue, et est sujet d'optimisationDans ce cadre on prefere souvent de ne pas decrire les frontieres des formes et d'utiliser des representations qui permet naturellement des changements de topologieune possibilite est de decrire par des fonctions densiteh:D![0;1].BeniaminBogoselOptimisation de formes36/56

Notions de base

C'est quoi un probleme d'optimisation de formes?

Exemples et modeles

Apercu rapide de la methode des elements nis

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Exemple academique

Une cavit eDRdest remplie par un materiel ayant conductivite thermiqueh:D!R+.Une region

D@Dest tenue a temperature 0Un

ux de chaleur gest applique sur

N=@DnDUnesource de chaleur ou puits f:D!R

actionne a l'interieur deD La temp eratureuh:D!Rdans la cavite est la solution de l' equationde la c haleur 8< :div(hruh) =fdansD u h= 0 sur D h@uh@n=gsur N

Probleme d'optimisation

pa rametrique : la va riable de design est la conductivit eh2 Uad, ou U ad=fh2L1(D);h(x);x2DgBeniaminBogoselOptimisation de formes38/56

Exemple academique : fonctions objectif

La compliance C(h) de la caviteD:

C(h) =Z

D hjruhj2dx=Z Ngu hds; comme une mesure du travail du ux de chaleur surDUneerreur t ypemoindres-ca rresentre uhet la temperature cibleu0:

D(h) =

Z Dquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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