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Collège Jean-Baptiste Clément

?-?, rue Albert Chardavoine ????? DUGNY

COURS DE 3eCOURS DE 3e

Par respect pour l"environnement, merci de

n"imprimer ce cours que si c"est vraiment nécessaire ! Réalisé en LATEX, et souscontrat Creative Commons (plus de détails en dernière page de ce cours)

Ces cours font référence à des numéros d"exercices qui se rapportent au manuelTransmath ?e, programme ???? (cycle ? -

nouvelle réforme), chez Nathan :

COURS DE L"ANNÉE SCOLAIRE ????/????

Des manipulations sont faites à la calculatrice dans ce cours. Bien que le fonctionnement des calculatrices soit sensible-

ment équivalent, c"est la " TI-Collège Plus » de chez Texas Instruments qui a été utilisée :

Table des matières

? Arithmétique?

I Diviseurs d"un nombre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?

II Nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .?

? Outils pour le triangle rectangle?

I Théorème de Pythagore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?

II Trigonométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ?

? Calcul littéral (partie ?)??

I Développements & factorisations : rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

II Identités remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

? Thalès??

I Homothéties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ??

II Calculer une longueur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

III Montrer que deux droites sont parallèles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

IV Montrer que deux droites ne sont pas parallèles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

? Notions de fonction??

I Représentations d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

II Calcul/lecture d"images. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

III Calcul/lecture d"antécédents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

? Triangles semblables??

I Angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ??

II Mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ??

? Statistiques??

I Série statistique sous forme de tableau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

II Paramètres statistiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

? Calcul littéral (partie ?)??

I Équations " produit». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

II Équations carrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .??

III Équations plus compliquées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

IV Inéquations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ??

V Résoudre des problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

? Fonctions linéaires & proportionnalité??

I Fonction linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ??

II Proportionnalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ??

III Grandeurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ??

?? Géométrie dans l"espace??

I Sphères et boules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .??

II Rappels : autres volumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

III Sections de solides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .??

IV Section d"une pyramide (ou d"un cône). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

?? Probabilités??

I Vocabulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ??

II Probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ??

III Exemples d"expériences à deux épreuves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

Table des matières?

?? Agrandissements et réductions?? ?? Fonctions a?nes??

I Dé?nition, image & antécédent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

II Outil pour les fonctions : équation de droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

III Représentation graphique d"une fonction a?ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

?? Calculs numériques??

I Bilan sur les nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

II Puissances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ??

III Racines carrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ??

?Table des matières

ArithmétiqueChapitre1

I-Diviseurs d"un nombre

?. On commence par tracer un trait vertical et on écrit1dans la colonne de gauche et le nombre dans la colonne de

droite.

?. On essaye de diviser ce nombre par2: si le quotient est entier, alors on écrit2à gauche et le quotient à droite.

?. On recommence l"étape précédente avec3, puis avec4, etc.

?. On s"arrête dès que le nombre par lequel on essaye de diviser se trouve déjà dans la colonne de droite.

Méthode (dresser la liste des diviseurs d"un nombre) Exemple : Pour trouver tous les diviseurs de ??, on procède dela manière suivante : ?L"étape ? ne pose en principe pas de soucis. ?63÷2 = 31,5qui n"est pas entier : on passe donc à3. ?63÷3 = 21qui est entier : on écrit donc3à gauche et le quotient21à droite. ?63÷4,63÷5,63÷6(et63÷8) ne donnent pas de quotients entiers. ?63÷7 = 9, donc on écrit7à gauche et le quotient9à droite.1 633 217 9

?On essaye alors de diviser par ?qui est déjà dans la colonne de droite: ce n"est donc pas nécessaire, on a tous les

diviseurs de63. Réponse : les diviseurs de ?? sont ?; ?; ?; ?; ?? et ??. ←-On recopie la liste en écrivant les nombres des ? colonnes dans l"ordre. Exercice :Trouver tous les diviseurs de ???, puis ceux de ??.

Solution:

Pour ???, on trouve360÷1 = 360,360÷2 = 180,360÷3 = 120,360÷4 = 90,360÷5 = 72,

360÷6 = 60,360÷8 = 45,360÷9 = 40,360÷10 = 36,360÷12 = 30,360÷15 = 24et

360÷18 = 20. Le nombre suivant à tester est20qui est déjà dans la colonne de droite, donc

on s"arrête.

Les diviseurs de360sont donc : ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??,

???, ??? et ???.

En revanche, les diviseurs de47sont peu nombreux : ? et ?? seulement...1 3602 1803 1204 905 726 608 459 40

10 36 12 30 15 24 18 20 1 47

- Pour écrire la liste des diviseurs, il su?t d"aller de haut en bas dans la colonne de gauche et continuer de bas en haut danscelle de droite.

- Lorsqu"un nombre est le carré d"un autre (64 = 8×8 = 82), ce dernier apparaîtra ? fois dan le tableau, mais il ne faudra l"écrire qu"une

seule fois dans la liste.

Remarques

Oral :

-En classe : -À la maison :

Donner la liste des diviseurs de :

CHAPITRE ?. ARITHMÉTIQUE?

II-Nombres premiers

?. Dé?nition Unnombre premierest un nombre qui admet exactement deux diviseurs : ? et lui-même.

Dé?nition

Exemples :

?Les nombres ?, ?, ?, ?, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??,??, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ??, ?? et ?? sont tous les nombres premiers

inférieurs à ???. Nous avons déjà rencontré ??...

??? n"est pas un nombre premier car il est certes divisible par? et lui-même, mais aussi par ? ou ?.

??? n"est pas non plus un nombre premier car il est pair (donc aussi dans la table de ?)... ???? n"est pas un nombre premier car ses diviseurs sont ?, ?? et???. Il y en a un de trop!

Oral :

?, ?, ?, ??, ??, ?? p. ??En classe : ??, ??, ?? p. ??À la maison : ?? p. ?? ?. Décomposition en produit de facteurs premier

Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut se décomposer de manièreunique en un produit de nombres

premiers.

Propriété

La méthode la plus rapide est de chercher les diviseurs premiers dans l"ordre croissant : ?. On écrit le nombre sur une ligne, à gauche. ?. Est-ce que le nombre est divisible par ? (? ernombre premier) : si non, on retente l"étape ? avec le nombre

premier suivant (ici ?, puis ?, puis ?, etc.); si oui, on ajoute÷2-→ainsi que le résultat à la suite du nombre. On

reprend alors l"étape ? avec cenouveau nombre, mais toujours le même facteur premier (ici ?). ?. On s"arrêtelorsque l"on tombe sur ?. Méthode (décomposer un nombre en produit de facteurs premiers)

Exemple : Pour trouver la décomposition en facteurs premiers de ???, on procède de la manière suivante :

180
Réponse : on écrit alors180 = 2×2×3×3×5 = 22×32×5 ←-On recopie la liste des diviseurs premiers, autant de fois qu"ils apparaissent, éventuellement sous la forme de puissances Exercice :Décomposer ???? en en produit de facteurs premiers.

Solution:1600÷2-→800÷2-→400÷2-→200÷2-→100÷2-→50÷2-→25÷5-→5÷5-→1, d"où :1600 = 26×52.

Oral :

??, ??, ?? p. ??En classe : ? p. ?? ? ??, ?? p. ??À la maison : ? p. ?? ? ??, ??, ?? p. ??

Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, il su?t de saisir ce nombre suivi directement des

touches (sans appuyer sur

À la calculatrice

?CHAPITRE ?. ARITHMÉTIQUE ?. Fractions irréductibles

Pour rendre une fraction irréductible, on peut décomposer son numérateur et dénominateur en produits de

nombre premiers, et simplifier par les nombres premiers communs.

Propriété

Exemple : On va rendre la fraction1 600180irréductible. Grâce au paragraphe précédent, on peut écrire que :

1 600

2×2×5×5

La calculatrice rend déjà une fraction automatiquement irréductible, ce qui est très pratique pour véri?er le résultat, mais elle ne donnera

jamais la rédaction associée à ce calcul!

Remarque

Oral :

??, ??, ?? p. ??En classe : ??, ?? p. ??À la maison : ??, ??, ?? p. ?? Tableur : ?? p. ?? / Problème ouvert : ??? p. ??

CHAPITRE ?. ARITHMÉTIQUE?

Outils pour le triangle rectangleChapitre2

I-Théorème de Pythagore

?. Calculer une longueur SiABCest un triangle rectangle enA, alorsBC2=BA2+AC2.

Théorème de Pythagore

Exemple(Calcul de l"hypoténuse):

A CB ? cm ? cm

CalculerAB

(arrondir au dixième)D:ABCest un triangle rectangle enC P:D"après le théorème de Pythagore on a : C:AB

2=AC2+CB2←-On souligne la longueur qu"on veut calculer(pas obligatoire)

AB2= 32+ 52←-On remplace les longueurs connues

AB2= 34←-On calcule l"addition

AB=⎷34←-On "simpli?e" le carré en utilisant⎷ AB≈5,8cm.←-On calcule, on arrondit et on écrit l"unité Exemple(Calcul d"un des côté formant l"angle droit): C AB ? cm ? cm

CalculerAC

(arrondir au dixième)D:ABCest un triangle rectangle enA P:D"après le théorème de Pythagore on a :

C:BC2=AC

2+AB2←-On souligne la longueur qu"on veut calculer(pas obligatoire)

AC2= 72-52←-On "sort" la longueur à calculer de l"addition et le calcul devient : plus grande longueur

2-plus petite longueur2

AC2= 24←-On calcule la soustraction

AC=⎷24←-On "simpli?e" le carré en utilisant⎷ AC≈4,9cm.←-On calcule, on arrondit et on écrit l"unité

Exercice :

JEDIest un rectangle tel que

JE= 10cm etED= 6cm.

I DE J

CalculerJD(arrondir au dixième de cm).

Solution:JEDIest un rectangle doncJEDest un triangle rectangle enE.

D:JEDest un triangle rectangle enE

P:D"après le théorème de Pythagore on a : C:JD

2=JE2+IE2

JD

2= 102+ 62

JD

2= 136

JD=⎷

136

JD≈11,7cm.

Oral :

-En classe : -À la maison : ??, ??? p. ??? ?CHAPITRE ?. OUTILS POUR LE TRIANGLE RECTANGLE ?. Montrer qu"un triangle est rectangle Si dans un triangleABCl"égalitéAB2=AC2+BC2est vraie, alorsABCest rectangle enC.

Réciproque du théorème de Pythagore

Exemple :

M ON ??,? cm ?,? cm ? cmQuestion :Montrer que le triangleMNOest rectangle.

Réponse :

On donne le nom du plus grand côté

On élève ce plus grand côté au carré

On élève au carré puis additionne les

deux autres côtés On obtient le même résultat, donc on l"écrit

On cite la propriété

On conclut en précisant où est l"angle droit

D:Le plus grand côté est[NO].

NO

2= 11,62= 134,56

MN

2+MO2= 82+ 8,42= 134,56?

DoncNO2=MN2+MO2.

P:D"après la réciproque du théorème de Pythagore,

C:Le triangleMNOest rectangle enM.

Exercice :

A YN ? cm ? cm ?? cm

Question :Le triangleAYNest-il rectangle?

Solution:D:Le plus grand côté est[Y N]

NY

2= 102= 100

YA

2+AN2= 62+ 82= 100?

DoncNY2=YA2+AN2.

P:D"après la réciproque du théorème de Pythagore,

C:AY Nest rectangle enA.

Exemple :

A C B ? cm ? cm ? cm

Question :

Le triangleABCest-il rectangle?Réponse :

Il n"y a pas égalité, on l"écrit

On conclut

D:Le plus grand côté est[AC].

AC

2= 92= 81

BC

2+AB2= 62+ 52= 61?

DoncAC2?BC2+AB2.

P:D"après la contraposée du théorème de Pythagore

C:Le triangleABCn"est pas rectangle

Oral :

-En classe : -À la maison : ???, ??? p. ???

CHAPITRE ?. OUTILS POUR LE TRIANGLE RECTANGLE?

II-Trigonométrie

?. Vocabulaire et dé?nitions

Dans un triangle rectangle, chaque côté porte un nom spéci?que en fonction de l"angle marqué :

AB C hypoténusecôté opposé à l"angle?BCA côté adjacent à l"angle?BCA AB C hypoténusecôté adjacent à l"angle?CBA côté opposé à l"angle?CBA • l"hypoténuseest le côté "en face» de l"angle droit

• le

côté opposé à l"angleest le côté "en face» de l"angle.

• le

côté adjacent à l"angleest le côté "qui forme» l"angle avec l"hypoténuse.

Dé?nitions

• Ce vocabulaire n"existe que si le triangle est rectangle. • L"hypoténuse est le seul côté qui ne change pas quelque soitl"angle choisi.

Remarques

• Dans un triangle rectangle, lecosinus d"un angleaigu?Dest le rapport : cos ?D=longueur du cSSotße adjacentþa l?anglebD longueur de l?hypotßenuse

• Dans un triangle rectangle, le

sinus d"un angleaigu?Dest le rapport : sin ?D=longueur du cSSotße opposßeþa l?anglebD longueur de l?hypotßenuse

• Dans un triangle rectangle, la

tangente d"un angleaigu?Dest le rapport : tan ?D=longueur du cSSotße opposßeþa l?anglebD longueur du cSSotße adjacentþa l?anglebD

Dé?nitions

Exemple :

AB C hypoténusecôté opposé à l"angle?BCA côté adjacent à l"angle?BCA

Dans le triangleABCon a les relations :

cos ?BCA=AC BC sin ?BCA=AB BC tan ?BCA=AB AC ??CHAPITRE ?. OUTILS POUR LE TRIANGLE RECTANGLE

Exemple :

EFG hypoténuse côté opposé à l"angle?FGE côté adjacent à l"angle?FGE

Dans le triangleEFGon a les relations :

cos ?FGE=EG FG sin ?FGE=EF FG tan ?FGE=EF EG • Ces relations ne sont vraies que dans un triangle rectangle. • Il existe un moyen mnémotechnique pour retenir ses dé?nitions le " Soh-Cah-Toa » : Sinus opposé hypoténuse

Cosinusadjacenthypoténuse

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