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Master M2 des Sciences de la Mati`ere - Parcours Physique Ecole Normale Sup´erieure de Lyon et Universit´e Claude Bernard Lyon 1 Master M2 de Physique de l"Universit´e de Savoie Sp´ecialit´e Champs, Particules et Mati`ere Condens´ee - CPMC Novembre `a d´ecembre 2013Introduction `a la relativit´e g´en´erale

Pierre Salati

1,2 1 Laboratoire d"Annecy-le-Vieux de Physique Th´eorique LAPTh,

9 Chemin de Bellevue, B.P. 110, 74941 Annecy-le-Vieux Cedex

2Universit´e de Savoie, B.P. 1104, 73011 Chamb´ery Cedex

salati@lapth.cnrs.fr & pierre.salati@univ-savoie.fr t´el´ephone 04.50.09.16.90 site web http://lapth.cnrs.fr/pg-nomin/salati/Plan du cours

Ce cours est une introduction `a la th´eorie de la relativit´e g´en´erale. Le principe d"´equivalence

y joue un rˆole essentiel et permet d"´elaborer une th´eorie g´eom´etrique de la gravitation. Les

outils permettant de sonder de mani`ere intrins`eque les propri´et´es d"un espace non-euclidien

sont d´evelopp´es pas `a pas. Ils sont ensuite utilis´es pour formuler la relativit´e g´en´erale dont

quelques applications importantes sont analys´ees en d´etail et confront´ees `a l"exp´erience. La

derni`ere partie, plus formelle, est consacr´ee `a une approche Lagrangienne des ´equations du champ gravitationnel.

•Vendredi 8 Novembre 2013 - Le chapitreIest consacr´e au principe d"´equivalence grˆace auquel

la relativit´e g´en´erale peut ˆetre formul´ee de mani`ere g´eom´etrique. Les exp´eriences de Galil´ee,

Newton, Bessel et E¨otv¨os sugg`erent que masse inerte et masse grave - autrement dit inertie et charge gravitationnelle - sont proportionnelles l"une `a l"autre, quels que soient les objets

consid´er´es. Une cons´equence cruciale de cette ´equivalence est l"existence d"un r´ef´erentiel en

chute libre dans lequel la gravitation est localement ´eradiqu´ee par les forces d"inertie. Les lois de

la Nature y sont identiques `a celles que l"on observe depuis un r´ef´erentiel galil´een. La similarit´e dei

cette formulation avec le principe de la g´eom´etrie non-euclidienne est frappante. Nous d´ecrirons

alors la chute d"un point mat´eriel au sein d"un champ gravitationnel faible et statique en nous aidant du principe d"´equivalence, et introduirons les symboles de Christoffel et les potentiels de gravitation. Nous montrerons que le temps se dilate au fur et `a mesure que l"on s"enfonce

dans un puits de potentiel et ´etablirons l"existence d"un d´ecalage gravitationnel des fr´equences

ou gravitational red-shift. L"exp´erience que Pound et Rebka r´ealis`erent en 1960 met justement

en ´evidence ce d´ecalage, et ´etaie le principe d"´equivalence. L"exp´erience de Sagnac sera trait´ee

en TD. Elle permet de mesurer des vitesses de rotation faibles grˆace au gyrolaser. Les sondes Sagnac sont d´esormais utilis´ees `a bord notamment des avions. •Vendredi 22 Novembre 2013 - Le chapitreIIest une introduction `a la g´eom´etrie non-

euclidienne et les outils de la g´eom´etrie diff´erentielle seront pr´esent´es de mani`ere intuitive. Une

param´ecie vivant sur une surface `a deux dimensions arpente son espace et aimerait savoir, par exemple, s"il est courbe. Ne pouvant concevoir une troisime dimension, elle doit d´evelopper

des m´ethodes intrins`eques afin d"explorer la structure g´eom´etrique de son univers. Ce chapitre

pr´esente les outils math´ematiques qu"elle doit utiliser. Nous discuterons les syst`emes de coor-

donn´ees, le tenseur m´etriquegμνet la notion d"espace tangent. Nous introduirons le calcul ten-

soriel et la notion de diff´eomorphisme. La connexion affine sera d´efinie de mani`ere g´eom´etrique

et le lien avec les symboles de Christoffel du chapitre pr´ec´edent sera d´emontr´e. Les notions de

d´eriv´ee covariante et de transport parall`ele seront discut´ees. Elles permettent de mesurer la

courbure de l"espace `a l"aide du tenseur de Riemann-Christoffel. Le tenseur de RicciRμνet le

tenseur g´eom´etriqueGμνseront d´efinis et les identit´es de Bianchi d´emontr´ees.

•Vendredi 29 Novembre 2013 - Le principe de covariance g´en´erale sera´enonc´e dans le chapitreIII.

Nous d´efinirons le tenseur impulsion-´energieTμνd"un ensemble de particules n"interagissant que

par chocs et montrerons qu"il se conserve. Nous plongerons alors ce gaz parfait dans un champ gravitationnel externe et analyserons comment son tenseur impulsion-´energie se comporte. Nous

´etablirons de mani`ere intuitive - et non d´eductive - les ´equations de la relativit´e g´en´erale.

•Vendredi 6 D´ecembre 2013 - Le chapitreIVest consacr´e `a l"´etude de quelques tests de

la relativit´e g´en´erale. Nous ´etablirons la m´etrique de Schwarzschild qui caract´erise le champ

de gravitation entourant une source sph´erique et statique. Nous calculerons la d´eviation d"un

rayon lumineux passant `a proximit´e du soleil et la comparerons avec la mesure effectu´ee par

Eddington `a l"occasion de l"´eclipse solaire de 1919. Quelques notions d"optique gravitationnelle

seront introduites. Le trou noir de Schwarzschild et son horizon seront discut´es. Le calcul de la

d´erive du p´erih´elie de Mercure sera trait´e en TD. Celui du retard gravitationnel de l"´echo radar

sur V´enus sera vivement conseill´e. Ce test a ´et´e r´ealis´e par I. Shapiro de 1968 `a 1971. Si nous

avons le temps, nous nous int´eresserons `a la structure des ´etoiles en relativit´e g´en´erale ainsi qu"`a

l"´equation de Tolman-Oppenheimer-Volkoff et au th´eor`eme de Birkhoff.ii •Vendredi 13 D´ecembre 2013 - Le chapitreVest une introduction aux ondes gravitationnelles.

Nous commencerons par lin´eariser les ´equations de la relativit´e g´en´erale afin d"obtenir une th´eorie

maxwellienne de la gravitation o`u le potentiel vecteurAμde l"´electromagn´etisme est remplac´e

par le potentiel tenseurhμνqui d´ecrit les perturbations infinit´esimales de la m´etrique. Dans

la jauge des coordonn´ees harmoniques - le pendant ´electromagn´etique de la jauge de Lorentz -

h μνv´erifie une ´equation de d"Alembert le liant au tenseur sourceSμνpar ?hμν=-16π G Sμν, qui est l"analogue gravitationnel de la relation bien connue en ´electromagn´etisme ?Aμ=Jμ.

La solution classique de ces deux ´equations est donn´ee par les potentiels retard´es de Lienard et

Wiechert. Finalement, nous nous concentrerons sur la structure des ondes planes gravitation-

nelles et sur le principe d"un interf´erom`etre tel que Virgo destin´e `a les observer directement.

Nous ´evoquerons ´eventuellement leur mise en ´evidence indirecte par la mesure de la variation

de la p´eriode du pulsar binaire PSR 1913+16. •Vendredi 20 D´ecembre 2013 - En fonction du temps disponible, nous aborderons dans le

chapitreVIl"analogie entre relativit´e g´en´erale et th´eorie de jauge. Nous construirons de mani`ere

lagrangienne le tenseur impulsion-´energieTμνd"un champ scalaire et d´emontrerons de mani`ere

covariante qu"il se conserve. Nous finirons par l"´etude de l"action de Einstein-Hilbert `a partir de

laquelle nous d´eriverons les ´equations de champ ´etablies dans le chapitreIII. iii iv

Plan succint du cours

ChapitreILe principe d"´equivalence

1) Masse inerte et masse pesante.

1.1)Galil´ee (1564-1642).

1.2)Newton (1642-1727) et Bessel (1784-1846).

1.3)E¨otv¨os et sa balance de torsion (1889).

Toutes ces exp´eriences sugg`erent que masse inerte et masse grave - autrement dit inertie et charge

gravitationnelle - sont proportionnelles l"une `a l"autre, quels que soient les objets consid´er´es.

Elles ont conduit Einstein `a formuler le principe d"´equivalence sur lequel repose la description

g´eom´etrique de la relativit´e g´en´erale.

2) Le principe d"´equivalence.

En tout pointMd"un champ de gravitation et `a tout instantt, on peut choisir un syst`eme de

coordonn´eesξα, r´ef´erentiel en chute libre, dans lequel les lois de la Nature sont localement -

dans le voisinage deM- identiques `a celles qui existent dans un r´ef´erentiel d"inertie en l"absence

de gravitation.

Pour un observateur en chute libre dans le r´ef´erentielξα, tout se passe comme si la gravitation

´etait ´eradiqu´ee dans le voisinage deM. Nous d´efinirons plus tard de mani`ere rigoureuse les

notions intuitives que sont l"´eradication de la gravit´e et le voisinage deM. Au juste, que sont

les lois de la Nature dans un r´ef´erentiel d"inertie - ´egalement qualifi´e de galil´een - en l"absence

de gravitation ? S"agit-il de la m´ecanique relativiste restreinte ? Le principe d"´equivalence

s"applique-t-il `a toutes les lois de la physique ? On distinguera le principe d"´equivalence faible,

fort et tr`es fort.

3) Analogie entre le principe d"´equivalence et le postulat de la g´eom´etrie non-

euclidienne.

3.1)Les fondements de la g´eom´etrie non-euclidienne et le postulat de Gauss (1777-1855).

3.2)En combinant le principe d"´equivalence avec la relativit´e restreinte, nous d´efinirons le

tenseur m´etriquegμνgrˆace `a la relation g

μ∂ξβ∂x

ν,(1)

o`uηαβest la m´etrique de Minkowski.

4) Champs et potentiels gravitationnels.

4.1)Le champ de gravitation.

Nous ´etablirons, `a partir du principe d"´equivalence, l"´equation du mouvement d"une particulev

soumise `a un champ de gravitation et nous montrerons que d

2xλdτ

2+ Γλμνdxμdτ

dx

νdτ

= 0 avec Γλμν=?∂xλ∂ξ ∂2ξα∂x

μ∂xν?

.(2)

4.2)Relation entre la connexion affine et le tenseur m´etrique.

αμν=12

4.3)Limite newtonienne et potentiel de gravitation.

Le champ de gravitation dans lequel ´evolue le point mat´eriel est faible et statique. Nous en

d´eduirons que la composanteg00du tenseur m´etrique est li´ee au potentiel Φ de la gravitation

classique de Newton par g

00= 1 + 2Φ.(4)

Un point mat´eriel de masseMengendre `a la distancerle potentiel

Φ =-GMrc

2.(5)

La connexion affine g´en´eralise alors la notion de champ gravitationnelgde la th´eorie classique

de Newton.

5) D´ecalage gravitationnel des fr´equences.

Nous analyserons le comportement d"une horloge immerg´ee dans un champ de gravitation. Nous

comparerons les indications donn´ees par deux horloges situ´ees `a des profondeurs diff´erentes au

sein d"un puits de potentiel Φ - par exemple `a des ´etages diff´erents du bˆatiment dans lequel

nous avons cours. Nous montrerons que le temps ne s"´ecoule pas de mani`ere identique. Les laps

de coordonn´ee temporelle Δt1et Δt2s´eparant deux signaux d"horloges identiques situ´ees aux

´etages 1 et 2 sont en effet reli´es par

Δt2Δt1=?g

00(1)g

Le d´ecalage gravitationnel des fr´equences est une cons´equence directe du principe d"´equivalence

et a ´et´e observ´e exp´erimentalement par Pound et Rebka en 1960, puis par Vessot et Levine en

1979.

6) Le paradoxe des jumeaux.

Le probl`eme sera ´evoqu´e en cours et r´esolu en TD en appliquant le principe d"´equivalence. On

traitera ´egalement l"exp´erience de Sagnac et de Michelson et Gale qui constitue la version optique

du pendule de Foucault.vi ChapitreIIIntroduction `a la g´eom´etrie non-euclidienne Gandalf, une param´ecie vivant sur une surfaceS`a deux dimensions, arpente son espace et aimerait savoir, par exemple, s"il est courbe. Ne pouvant concevoir une troisi`eme dimension,

Gandalf doit d´evelopper des m´ethodes intrins`eques afin d"explorer la structure g´eom´etrique de

son univers. Ce chapitre pr´esente les outils math´ematiques qu"il sera amen´e `a utiliser et qui sont

ceux de la g´eom´etrie diff´erentielle. Nous l"aiderons `a les forger grˆace `a notre vision extrins`eque

de la surface sur laquelle il vit et que nous plongerons dans l"espace euclidienR3.

1) Le tenseur m´etriquegμν(M).

ds

2=gμν(M)dxμdxν.(7)

2) L"espace tangent `a la surface enM.

Au voisinage de chacun de ses pointsM, la surfaceSse comporte comme un plan dont une base

est fournie par les vecteurs covariantseμattach´es au syst`eme de coordonn´eesxμ. Le tenseur

m´etrique s"exprime alors tr`es simplement en fonction de ces vecteurs puisque g

μν=eμ·eν.(8)

Nous nous exercerons avec la sph`ereS2et reviendrons sur la notion de syst`eme de coordonn´ees localement euclidien - ou minkowskien - enM. Nous verrons que deux conditions sont requises

pour que la m´etriquegμνsoit localement euclidienne - ou minkowskienne - au pointM, `a savoir

g μν(M)≡ημνet∂αgμν|M= 0.(9) Puis nous analyserons comment les composantes covariantesAμet contravariantesAμd"un

vecteurAse transforment lorsque le syst`eme des coordonn´eesxμest remplac´e par celui associ´e

aux coordonn´eesym. Nous introduirons le groupe des diff´eomorphismes ainsi que la notion de tenseur de rangn.

3) La connexion affine.

Comme son nom l"indique, la connexion affine Γ

αμνpermet de connecter la base des vecteurs e μ(M) du plan tangent `aSenM- que nous noterons ΠM- `a celle du plan tangent `aSen M ?≡M+dMavec e μ(M+dM) =eμ(M) + Γαμνdxνeα(M) +dη.(10) Les pointsMetM?ont respectivement comme coordonn´eesxνetxν+dxν. Notre vision ex-

trins`eque permet d"appr´ehender le vecteurdηqui est perpendiculaire `a ΠM. Cependant, Gandalf

n"y est pas sensible - il ne voit pas dansR3- et n"a `a sa disposition que la connexion Γαμν. Nous

l"aiderons `a exprimer celle-ci en fonction du tenseur m´etrique et `a retrouver ainsi la relation (3).vii

Nous prendrons comme exemple d"application la sph`ereS2. Nous montrerons surtout que la

connexion affine n"est pas un tenseur au sens des diff´eomorphismes donn´e pr´ec´edemment.

4) La d´eriv´ee covariante.

Consid´erons un champ de vecteurAsur la surfaceS. En chaque pointM, ce champ est d´ecrit par

ses composantes covariantesAνet contravariantesAν. Celles-ci d´ependent des coordonn´eesxμ

du pointMet se comportent d"ailleurs comme des fonctions des variablesxμ. Nous pouvons donc

les d´eriver de mani`ere partielle afin d"obtenir les fonctions∂μAνet∂μAν. La d´eriv´ee covariante

des composantesAνetAνtient compte non seulement de la variation des composantes du champAavec les coordonn´eesxμ, mais ´egalement de la variation de la base des vecteurseμ dans laquelle lesdites composantes sont exprim´ees. Nous montrerons dans ces conditions que la d´eriv´ee covariante est d´efinie par D

μAν=∂μAν+ ΓνμαAαet DμAν=∂μAν-ΓαμνAα.(11)

Une autre notation couramment utilis´ee fait intervenir la d´eriv´ee simple∂μ≡,μet la d´eriv´ee

covarianteDμ≡;μde sorte que A ν;μ=Aν,μ+ ΓνμαAαet Aν;μ=Aν ,μ-ΓαμνAα.(12)

Nous d´efinirons la d´eriv´ee covariante d"un tenseur quelconque de rangnet montrerons que la

d´eriv´ee covariante du tenseur m´etriquegμνest nulle. Nous ´etablirons surtout que siAνetAνsont

les composantes contravariantes et covariantes du vecteurA, alors les d´eriv´ees covariantesDμAν

etDμAνse comportent comme des tenseurs de rang 2 vis `a vis du groupe des diff´eomorphismes.

5) Le transport parall`ele.

Un vecteurAest transport´e de mani`ere parall`ele deM`aM?≡M+dMlorsque la diff´erence DA≡A(M+dM)-A(M) est perpendiculaire au plan ΠM. La diff´erentielle covariante deAα est donc nulle entreMetM?et il vient DA

α=dAα+ ΓαμνdxμAν= 0.(13)

La ligne g´eod´esique joignant les pointsAetBest la courbe le long de laquelle le vecteur tangent

T

μ≡dxμ/dpest transport´e de mani`ere parall`ele. La position des points de la g´eod´esique

est param´etr´ee par la variablep, proportionnelle `a la longueurs≡τle long de la courbe.

L"´equation de la g´eod´esique exprime tr`es simplement le transport parall`ele du vecteur tangent

T

μvia l"´egalit´eDTμDp

=TαDαTμ= 0.(14) Si nous prenons comme param`etre de positionpla longueurs≡τ, le vecteur tangentTμ

s"assimile compl`etement `a la quadri-vitesseUμ≡dxμ/dτet la relation pr´ec´edente se met sous

la formed2xμdτ

2+ Γμ

αβdxαdτ

dx

βdτ

= 0.(15)viii Nous retrouvons l"´equation (2) ´etablie dans le chapitreI. Nous montrerons en TD que la

g´eod´esique joignant les pointsAetBest ´egalement la courbe qui rend extrˆemale l"action

S(AB) =?

B A dp?

L ≡dτ2dp

2≡gμνxμxν?

.(16)

Le lagrangienLest une fonction des variables canoniquesxα- via le tenseur m´etriquegμν- et

de leurs d´eriv´ees xα≡dxα/dppar rapport `a la variable d"´evolutionp.

6) La courbure.

6.1)Le tenseur de Riemann-Christoffel.

Gandalf ne peut percevoir directement - de mani`ere extrins`eque comme nous - la courbure dequotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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