[PDF] Analyse Numérique 1.2 Suite et sé





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Analyse Numérique

1.2 Suite et série de matrices. Définition 1.1. Convergence d'une suite de matrices. On dit qu'une suite de matrices (Am)m?0 converge vers la matrice A si.



SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES

convergente si les p suites dont les termes sont les p coefficients de U n. ( ) sont convergentes. La limite de cette suite est la matrice colonne dont les 



1 Introduction et rappels

le calcul de la puissance n-i`eme d'une matrice. Comme les él`eves de TES ne notion de convergence des suites de matrices : la suite An de coefficients.



suites de matrices_convergence_tsspé_cours

SUITE DE MATRICES ET CONVERGENCE. Cours. Terminale S. 1. Suite de matrices colonnes. 1) Exemples. ? Exemple 1 : La suite ( )n.



Problème 1 : puissances de matrices

Etablir que la suite (An)n?N est convergente et préciser sa limite. 5. Démontrer que les suites (xn)n?N et (yn)n?N convergent et déterminer les limites de 



1.4 Normes et conditionnement dune matrice

ce qui n'est possible que si



MATRICES (Partie 2)

convergente si les suites dont les termes sont les coefficients de ( ) sont convergentes. La limite de cette suite est la matrice colonne dont les 





Chapitre 5 Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres

Une méthode de calcul des valeurs propres d'une matrice est Ainsi il existe au moins une sous-suite Dnk convergente vers la matrice diagonale D. Or.



Matrice de Convergence - Voyant lintérêt partagé de mettre en

5Y8P Point 3: "Des mécanismes pluripartites fiables pour répondre aux besoins d'assistance et de protection des migrants en détresse notamment ceux.



suites de matrices convergence tsspé cours

La suite de variables aléatoires (X n) est appelée marche aléatoire sur l'ensemble des issues {H S} Dans une marche aléatoire l'état du processus à l'étape n + 1 ne dépend que de celui à l'état n mais non de ses états antérieurs 3) Matrice de transition On considère la loi de probabilité de X



Des exemples de suites - Univers TI-Nspire

n est la matrice colonne de taille (p;1) décrivant l'état probabiliste à l'étape n A est la matrice de transition de cette marche aléatoire ( A est une matrice carrée d'ordre p) On a donc X n+1 = AX n 8n 2N Dé nition : On dit qu'une marche aléatoire converge (ou est convergente ) si la suite de matrices (X n) converge



Suites 1 Convergence - univ-lillefr

n sont convergentes de mˆeme limite l il en est de mˆeme de (u n) n Exercice 2 Montrer que toute suite convergente est born´ee Exercice 3 Montrer que la suite (u n) n?N d´e?nie par u n = (?1)n + 1 n n’est pas convergente Exercice 4 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire a partir d’un certain rang



7 Suites convergentes

John von Neumann Ce chapitre est consacré à la deuxième partie de l’étude des suites réelles Plus précisé- ment on étudie ici la convergence d’une suite réelle et le comportement asymptotique des suites usuelles 7 1 Suites convergentes suites divergentes 7 1 1 Suites convergentes



1 Suites convergentes - univ-amufr

En e et il su t pour ">0 donn e de prendre "0tel que (1 + j j)"0 "pour avoir la conclusion d esir ee Th eor eme Soient (u n) n et (v n) n deux suites de r eels qui convergent vers ‘et ‘0 Alors la suite de terme g en eral (u nv n) n converge vers ‘‘0 Preuve On va prouver le lemme suivant : Lemme Soient (u n) n et (v n)



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Établir que la matrice de l’itération est la matrice B ? = I ??D?1A (I désigne la matrice identité) et montrer que si la suite (x(k)) est convergente sa limite est x? = A?1b I 2) Dans cette question on suppose que la matrice A est à diagonale strictement dominante sur les colonnes c’est-à-dire que a jj > Xn i=1i6= j a

Quelle est la suite de la suite convergente?

Décroissante et minorée, la suite est convergente. Elle converge vers un réel ?, qui est un point fixe de la fonction g. Il reste à résoudre l’équation x g x??? pour déterminer ?.

Quelle est la limite d’une suite convergente ?

La suite ((u_n)) est convergente. 2- Cette limite n’est même pas indéterminée ! En effet, ((v_n)) est la somme de (-3 × 2^n) dont la limite est (-- ?) et de ((-0,1)^n) dont la limite est 0 (voir la page sur les limites des suites de type (u_n = q^n)).

Qu'est-ce que la matrice congruente?

Deux matrices congruentes sont deux matrices qui représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes. Lorsque K est un corps de caractéristique différente de 2, toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale. L'algorithme utilisé s'appelle réduction de Gauss à ne pas confondre avec le pivot de Gauss .

Comment définir une suite de matrices?

SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES I. Suites de matrices colonnes 1) Exemples : a) La suite U n)définie pour tout entier naturel npar U n =n 2 3n+1 ? ? ? ? ? ? est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques

Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

Analyse Num´eriqueCorrig´e du TD 8

EXERCICE 1

Convergence de m´ethodes it´eratives lin´eaires

1.1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles

SoitAune matrice carr´ee d"ordren >0,A= (aij)i,j=1,...,n. norme vectorielle? ?pi.e. ?A?p= sup ?x?p=1?Ax?p= sup x ?=0?Ax?p ?x?p. a. Montrer que son rayon spectralρ(A)v´erifie Pour le corpsK=CouR, on noteMn(K) l"ensemble des matrices carr´ees d"ordren >0 `a valeurs dansK.

A? Mn(R) qui est plus subtil.

•CasA? Mn(C)

CommeA? Mn(C) est diagonalisable, il existe un vecteur proprex0?Cnassoci´e `a la plus grande valeur propre en module|λ|=ρ(A) :Ax0=ρ(A)x0. On en d´eduit d"o`u puisquex0?= 0.

•CasA? Mn(R)

Le probl`eme est que la matriceAn"a pas forc´ement ses valeurs propres dansRet donc ses vecteurs propres sont en toute g´en´eralit´e dansCn. Comme pourA? Mn(R), la norme matricielle? ?putilis´ee pour ´evaluer?A?pest calcul´ee `a partir de la norme vectorielle pi.e.du type?x?ppourx?Rn. De ce fait commex0, vecteur propre associ´e `a la plus grande valeur propre en module|λ|=ρ(A), peut ˆetre dansCn, la quantit´e?x0?ppeut ne pas avoir de sens. Pour contourner cette difficult´e, on peut proc´eder comme suit. 1 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 On choisit une norme vectorielleNsurCn. On noteNla norme matricielle calcul´ee sur M n(C) `a partir de la norme vectorielle. On note encoreNsa restriction surMn(R), qui est bien sˆur une norme. CommeMn(R) est de dimension finie, deux quelconques normes sont ´equivalentes : il surm?N, on a?

ρ(A)?

m ?A?p? m , et l"on obtient grˆace au r´esultat (1.1) la majoration suivante :

ρ(A)?

m ?A?p? m

Ce qui implique

En faisantm→+∞dans (1.2), et avec limm→+∞C1/m= 1, on obtient

D"o`u le r´esultat.

b. Soitε >0. Montrer qu"il existe une norme matricielle? ?d´ependant deεet

A, tel que

Il existe une matriceUinversible tel queT=U-1AUsoit une matrice triangulaire,

T=((((((((((((((λ

1t12···t1jt1n-1t1n

2t2n-1t2n......

itijtin 0 n-1tn-1n n)))))))))))))) 2 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 Pour toutδ, on d´efinit une matrice diagonaleDδ=diag(1,δ ,δ2,...,δn-1)i.e. D δ=(((((((((((((((1 0 0··· ··· ···0

0δ0......

0 ....0δi-1...... .............0 0 ...0δn-2

0··· ··· ···0 0δn-1)))))))))))))))

La matriceTδd´efinie par

T

δ= (UDδ)-1A(UDδ) =Dδ-1TDδ

v´erifie T

2δn-3t2n-1δn-2t2n......

iδj-itijδn-itin 0 n-1δtn-1n n)))))))))))))) Etant donn´eε >0, on peut choisirδsuffisamment petit pour que les ´el´ements extra- n j=i+1δ

Alors l"applicationB?→ ?(UDδ)-1B(UDδ)?∞est une norme matricielle, qui d´epend deε

etA, v´erifie

On v´erifieB?→ ?(UDδ)-1B(UDδ)?∞est la norme matricielle calcul´ee `a partir de la norme

vectoriellev?Kn?→ ?(UDδ)-1v?∞. c. Montrer que lim m→+∞?Am?1 m=ρ(A). 3 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

A la questiona.de 1.1, on a montr´e que

En appliquant la relation ci-dessus `a la matriceAm, on obtient

Par r´ecurrence surm?Non obtient

ρ(Am) =?

ρ(A)?

m

Ce qui entraˆıne

ρ(A)?

m ou bien encore p.(1.5) Pour la seconde partie in´egalit´e, on proc`ede comme suit.

Soitε >0, on poseAε=A

ρ(A) +ε.

On a

ρ(Aε) =ρ(A)

ρ(A) +ε

ρ(A) +ε

ρ(A) +ε

<1. Commeρ(Aε)<1, la suite puissance de matrices (Amε)m≥0converge vers la matrice nulle (la d´emonstration est faite dans l"exercice 1.2a.). Ce qui signifie que la suite des normes (?Amε?p)m≥0est de limite nulle. Donc c"est-`a-dire

En regroupant (1.5) et (1.6), on obtient

On faitε→0 dans (1.7), et on a

lim m→+∞?Am?1/mp=ρ(A).(1.8) 4 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

1.2 Suite et s´erie de matrices

D´efinition 1.1.Convergence d"une suite de matrices On dit qu"une suite de matrices(Am)m≥0converge vers la matriceAsi limm→+∞?Am-A?p= 0. a. Montrer que limm→+∞Am= 0??ρ(A)<1.

Montrons quelimm→+∞Am= 0 =?ρ(A)<1.

Supposons que lim

m→+∞Am= 0. Siρ(A)≥1 alors comme?Am?p≥?

ρ(A)?

m , on aurait ?Am?p≥1. Par suite la suite de nombres positifs (?Am?p)m≥0ne converge pas, et donc la suite de matrices (Am)m≥0ne converge pas. N´ecessairement on aρ(A)<1.

Montrons queρ(A)<1 =?limm→+∞Am= 0.

Commeρ(A)<1, il existeε >0 tel queρ(A)+ε <1 (il suffit de prendreε= (1-ρ(A))/2). La questionb.de l"exercice 1.1 dit qu"il existe une norme matricielle? ?(d´ependant de

εetA) telle que

Comme?A?<1, la suite de nombres positives (?A?m)m≥0converge vers le nombre r´eel 0. vers la matrice nulle : limm→+∞Am= 0. b. Monter que la s´erie m=0A mconverge??ρ(A)<1.

Montrer dans ce cas quelimm→+∞+∞?

m=0A m= (I-A)-1.

Montrons que la s´erie

m=0A mconverge=?ρ(A)<1.

Si la s´erie

m=0A mconverge alors la s´erie de nombres positifs+∞? m=0?Am?pconverge, donc la suite de nombres positifs (?Am?)m≥0tend vers 0. D"apr`es la questionb.ci-dessus,

ρ(A)<1.

5 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

Montrons queρ(A)<1 =?la s´erie+∞?

m=0A mconverge. Supposons que le rayon spectralρ(A)<1. Les valeurs propres de la matriceI-Asont

1-λ(A) o`uλ(A) sont les valeurs propres deA. Les valeurs propres deI-Asont non nuls

et donc la matriceI-Aest inversible.

Posons

B m=I+A+...+Am.(1.9) Alors AB m=A+A2+...+Am+1(1.10) La diff´erence des ´equations (1.9) et (1.10) donne (I-A)Bm=I-Am+1

En faisantm→+∞dans l"´equation ci-dessus, et en utilisant limm→+∞Am+1= 0, on obtient

(I-A) limm→+∞Bm=I , ou encore limm→+∞Bm= (I-A)-1, ou bien encore m=0A m= (I-A)-1.

EXERCICE 2

Un exemple de m´ethode it´erative

SoitAune matrice carr´ee d"ordren >0,A= (aij)i,j=1,...,nr´eguli`ere etb?Rn.

On veut r´esoudre le syst`eme lin´eaire

Ax=b. On noteDla matrice diagonale constitu´ee de la diagonale deA. Soitα?= 0, on

´etudie la m´ethode it´erative

x k+1= (I-αD-1A)xk+αD-1b.(2.1) a. Montrer que la m´ethode est consistantei.e.si(xk)k≥0converge versxalors xest solution.

On faitk→+∞dans (2.1) et on obtient

x= (I-αD-1A)x+αD-1b, 6 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 ou encore αD -1Ax=αD-1b. En multipliant `a gauche parDl"´equation ci-dessus, et en simplifiant parα?= 0 on a Ax=b. b. Exprimer les coefficients de la matriceD-1Aen fonction de ceux deA. Soienti,j? {1,...,n}. Alors le coefficient (D-1A)ijest donn´e par (D-1A)ij=n? k=1(D-1)ik(A)kj = (D-1)ii(A)ij =aij aii, ou encore (D-1A)ij=?1 sii=j ,aij aiisii?=j .(2.2) j=1 j?=i|aij|. Montrer que la m´ethode est bien d´efinie et ?I-αD-1A?∞<1.

La m´ethode est bien d´efinie??D-1existe,

j=1

D"o`u la m´ethode est bien d´efinie.

Calcul de?I-αD-1A?∞PosonsJα=I-αD-1A

Les coefficients deJαsont donn´es par

(Jα)ij= (I-D-1A)ij= (I)ij-(D-1A)ij. 7 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

En utilisant (2.2), on obtient

(Jα)ij=?1-αsii=j , -αaij aiisii?=j .

Maintenant fixonsidans{1,...,n}. Alors

n j=1|(Jα)ij|=|(Jα)ii|+n? j=1 j?=i|(Jα)ij| =|1-α|+n? j=1 j?=i|(Jα)ij| =|1-α|+|α|? n j=1 j?=i|aij| |aii| <|1-α|+|α| = 1-α|+α = 1 Donc max j=1|(Jα)ij|<1 c"est-`a-dire ?Jα?∞=?I-αD-1A?∞<1. La repr´esentation de chacune des matricesA,DetJαsous forme de tableaux s"´ecrit

A=((((((((((((a

11a12a1j···a1la1n-1a1n

a

21a22a2n-1a2n............

a

1iaijaiiailain............

a n-11an12an-1n-1an-1n a 8 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

D=(((((((((((((((a

110 0··· ··· ···0

0a220......

0 ....0aii0...... .............0 0 ...0an-1n-10

0··· ··· ···0 0ann)))))))))))))))

et J

α=((((((((((((((((((1-α-αa12

a11-αa1ja11··· -αa1la11-αa1n-1a11-αa1na11 -αa21 -αa1i -αan-11 -αan1 ann-αan2ann-αanjann··· -αanlann-αann-1ann1-α)))))))))))))))))) En d´eduire que la m´ethode est convergente. satisfaitρ(Jα)<1, qui montre que la m´ethode est convergente. RemarquePourα= 1, la m´ethode ci-dessus est celle de Jacobi.

EXERCICE 3

M´ethodes it´eratives classiques sur une matrice tridiagonale SoitA= (aij)i,j=1,...,nune matrice carr´ee d"ordren >0, du syst`eme lin´eaire

Ax=b, d´efinie par

a ii=i+ 1,i= 1,...,n;ai+1i= 1,i= 1,...,n-1 ;aii+1=-i,i= 1,...,n-1, les autres termes ´etant nuls. a. Calculer la matrice d"it´eration de Jacobi. Prouver que son rayon spectral est<1. 9 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

Calcul de la matrice d"it´eration de Jacobi

La m´ethode de Jacobi s"´ecrit

?x0donn´e, x k+1= (I-D-1A)xk+D-1b, o`uDest la matrice diagonale constitu´ee de la diagonale deAi.e. (D)ij=dij=?aiisii=j ,

0 sii?=j ,?i,j= 1,...,n.

La repr´esentation des matricesAetDsous forme de tableau sont les suivantes A=(((((((((((((((2-1 0··· ··· ···0

1 3-2...0

0 ....1i+ 1-i...... .............0 0 ...1n-(n-1)

0··· ··· ···0 1n+ 1)))))))))))))))

D=(((((((((((((((2 0 0··· ··· ···0 0 3 0 ...0 0 ....0i+ 1 0...... .............0 0 ...0n0

0··· ··· ···0 0n+ 1)))))))))))))))

La matrice d"it´eration de JacobiJest

J=I-D-1A.

Calculons en premier les coefficients de la matriceD-1Aen fonction de ceux deA.

Pouri,j? {1,...,n}, on a

(D-1A)ij=n? k=1(D-1)ik(A)kj= (D-1)ii(A)ij=aij aii, 10 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 d"o`u ?(D-1A)ii=aii aii=i+ 1i+ 1= 1, i= 1,...,n , (D-1A)i+1i=ai+1i ai+1i+1=-1i+ 2=-1i+ 2, i= 1,...,n-1, (D-1A)ii+1=aii+1 aii=-ii+ 1=-ii+ 1, i= 1,...,n-1, les autres termes sont nuls. Les coefficients de la matrice d"it´eration de Jacobi deJ=I-D-1Asont donn´es par ?J ii= (I-D-1A)ii= 1-(D-1A)ii= 0, i= 1,...,n , J i+1i= (I-D-1A)i+1i= 0-(D-1A)i+1i=1 i+ 2, i= 1,...,n-1, J ii+1= (I-D-1A)ii+1= 0-(D-1A)ii+1=i i+ 1, i= 1,...,n-1, les autres termes sont nuls. On peut repr´esenter la matrice d"it´eration de JacobiJsous la forme du tableau suivant J=(((((((((((((((0-1/2 0··· ··· ···0 -1/3 0-2/3...0 0 ....-1/(i+ 1) 0-i/(i+ 1)...... .............0 0 ...-1/n0-(n-1)/n

0··· ··· ···0-1/(n+ 1) 0)))))))))))))))

Majoration du rayon spectral

On a ?J?1= max i=2,...,n-1? |-1

3|,|-i-1i|+|-1i+ 2|,|-n-1n|?

<1 car1 3<1, n-1 n<1, i-1 i+1i+ 2=i2+ 2i-2i2+ 2i