Analyse Numérique
1.2 Suite et série de matrices. Définition 1.1. Convergence d'une suite de matrices. On dit qu'une suite de matrices (Am)m?0 converge vers la matrice A si.
SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES
convergente si les p suites dont les termes sont les p coefficients de U n. ( ) sont convergentes. La limite de cette suite est la matrice colonne dont les
1 Introduction et rappels
le calcul de la puissance n-i`eme d'une matrice. Comme les él`eves de TES ne notion de convergence des suites de matrices : la suite An de coefficients.
suites de matrices_convergence_tsspé_cours
SUITE DE MATRICES ET CONVERGENCE. Cours. Terminale S. 1. Suite de matrices colonnes. 1) Exemples. ? Exemple 1 : La suite ( )n.
Problème 1 : puissances de matrices
Etablir que la suite (An)n?N est convergente et préciser sa limite. 5. Démontrer que les suites (xn)n?N et (yn)n?N convergent et déterminer les limites de
1.4 Normes et conditionnement dune matrice
ce qui n'est possible que si
MATRICES (Partie 2)
convergente si les suites dont les termes sont les coefficients de ( ) sont convergentes. La limite de cette suite est la matrice colonne dont les
Agrégation interne Séries enti`eres de matrices Ce probl`eme est l
matrices nilpotentes valeurs propres
Chapitre 5 Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres
Une méthode de calcul des valeurs propres d'une matrice est Ainsi il existe au moins une sous-suite Dnk convergente vers la matrice diagonale D. Or.
Matrice de Convergence - Voyant lintérêt partagé de mettre en
5Y8P Point 3: "Des mécanismes pluripartites fiables pour répondre aux besoins d'assistance et de protection des migrants en détresse notamment ceux.
suites de matrices convergence tsspé cours
La suite de variables aléatoires (X n) est appelée marche aléatoire sur l'ensemble des issues {H S} Dans une marche aléatoire l'état du processus à l'étape n + 1 ne dépend que de celui à l'état n mais non de ses états antérieurs 3) Matrice de transition On considère la loi de probabilité de X
Des exemples de suites - Univers TI-Nspire
n est la matrice colonne de taille (p;1) décrivant l'état probabiliste à l'étape n A est la matrice de transition de cette marche aléatoire ( A est une matrice carrée d'ordre p) On a donc X n+1 = AX n 8n 2N Dé nition : On dit qu'une marche aléatoire converge (ou est convergente ) si la suite de matrices (X n) converge
Suites 1 Convergence - univ-lillefr
n sont convergentes de mˆeme limite l il en est de mˆeme de (u n) n Exercice 2 Montrer que toute suite convergente est born´ee Exercice 3 Montrer que la suite (u n) n?N d´e?nie par u n = (?1)n + 1 n n’est pas convergente Exercice 4 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire a partir d’un certain rang
7 Suites convergentes
John von Neumann Ce chapitre est consacré à la deuxième partie de l’étude des suites réelles Plus précisé- ment on étudie ici la convergence d’une suite réelle et le comportement asymptotique des suites usuelles 7 1 Suites convergentes suites divergentes 7 1 1 Suites convergentes
1 Suites convergentes - univ-amufr
En e et il su t pour ">0 donn e de prendre "0tel que (1 + j j)"0 "pour avoir la conclusion d esir ee Th eor eme Soient (u n) n et (v n) n deux suites de r eels qui convergent vers ‘et ‘0 Alors la suite de terme g en eral (u nv n) n converge vers ‘‘0 Preuve On va prouver le lemme suivant : Lemme Soient (u n) n et (v n)
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Établir que la matrice de l’itération est la matrice B ? = I ??D?1A (I désigne la matrice identité) et montrer que si la suite (x(k)) est convergente sa limite est x? = A?1b I 2) Dans cette question on suppose que la matrice A est à diagonale strictement dominante sur les colonnes c’est-à-dire que a jj > Xn i=1i6= j a
Quelle est la suite de la suite convergente?
Décroissante et minorée, la suite est convergente. Elle converge vers un réel ?, qui est un point fixe de la fonction g. Il reste à résoudre l’équation x g x??? pour déterminer ?.
Quelle est la limite d’une suite convergente ?
La suite ((u_n)) est convergente. 2- Cette limite n’est même pas indéterminée ! En effet, ((v_n)) est la somme de (-3 × 2^n) dont la limite est (-- ?) et de ((-0,1)^n) dont la limite est 0 (voir la page sur les limites des suites de type (u_n = q^n)).
Qu'est-ce que la matrice congruente?
Deux matrices congruentes sont deux matrices qui représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes. Lorsque K est un corps de caractéristique différente de 2, toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale. L'algorithme utilisé s'appelle réduction de Gauss à ne pas confondre avec le pivot de Gauss .
Comment définir une suite de matrices?
SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES I. Suites de matrices colonnes 1) Exemples : a) La suite U n)définie pour tout entier naturel npar U n =n 2 3n+1 ? ? ? ? ? ? est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques
C. Lainé
SUITE DE MATRICES ET CONVERGENCE
Cours Terminale S
1. Suite de matrices colonnes
1) Exemples
Exemple 1 : La suite ()nU définie pour tout entier naturel n par 313 5 nUn n est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques ()nu et ()nvdéfinies pour tout entier naturel n par 31= +nun et 3 5= +nvn un=n2 et vn=3n+1. Exemple 2 : Soit deux suites numériques ()nu et ()nv définies pour tout entier naturel n par :
00,05=u, 00,95=v et
111 10,054 3
3 10,054 3
n n n n n nu u v v u vOn pose pour tout entier naturel
n : ( )=( )( ) n n n Uu v, 1 1 4 3 3 1 4 3 A et 0,050,05C( )=( )( ) .
On a alors
00,05 0,95 U et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence :1 A C+= +nnU U.
En effet :
1 1 11 1 1 10,050,054 3 4 3 3 1 0,05 3 10,054 3 4 3A C
n n n nnn nnnn u v UU u v u u v v. Exemple 3 : Soit une suite numérique ()nu définie par : 0u, 1u et 2 13 2+ += -n n nu u u.On pose pour tout entier naturel
n : 1+ n n n Uu u et 0 12 3A( )=( )-( )
On a alors
0 0 1 Uu u et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence :1 A+=nnU U.
En effet,
1 211 11
0 1 2 32 3A+
n n nnnn nnn UUu u uuu u u.2) Expression de
Un en fonction de n lorsque 1nnU UA+=
Propriété 1 : Soit une suite de matrices colonnes ()nU de taille p telle que pour tout entier naturel n, on ait 1 A+=nnU U où A est une matrice carrée de taille p. Alors, pour tout entier naturel n, on a : 0 A=nnU U. 2C. Lainé
Démonstration : Soit ?(n) la proposition : " pour tout n de N, 0 A=nnU U » → Initialisation : 00 0 0 0 A A= = × =n
pU U U UI. Par suite, on a ?(0) qui est vraie. → Hérédité : Soit k ≥ 0. Supposons que ?(k) est vraie. Alors : 0 A=k kU U. 10 01A A A A+
+= × = × × = ×k k k kU U U U. On en déduit que ?(k + 1) est vraie.On a alors prouvé :
?(0) et pour tout k supérieur ou égal à 0, ?(k) ? ?(k + 1). → Du principe de raisonnement par récurrence, on déduit : pour tout n supérieur ou égal à 0, ?(n) est vraieC"est-à-dire : pour tout
n de N, 0 A=nnU U. Exemple : Reprenons le troisième exemple du 1). On souhaite calculer 5 6 et u u, sachant que00=u et 11=u.
5 5 6 Uu u et d"après la propriété précédente, 5 50A= ×U U.
Or 5 5 5 00 1 0 30 31 0 31
2 3 1 62 63 1 63A-( ) ( ) ( ) ( ) ( )= × = × = × =( ) ( ) ( ) ( ) ( )- -( ) ( ) ( ) ( ) ( )
U U, en utilisant la calculatrice.
Par conséquent,
531=u et 663=u.
2. Limite d"une suite de matrices
1) Définition
Définition 1 : Une suite de matrices colonnes ()nU de taille p congerge vers une matrice L si, et seulement si, les coefficients de ()nU (qui sont des suites réelles) convergent vers les coefficients de L correspondants.Dans les autres cas, la suite ()nU diverge.
Exemple : Reprenons l"exemple 1 du 1.
()lim 3 5 →+∞+ = +∞nn et ()3lim 1
→+∞+ = +∞nn. Donc la suite ()nU diverge.2) Propriété
Propriété 2 : Soit une suite de matrices colonnes ()nU de taille p telle que pour tout entier naturel n, on ait 1 A C+= +nnU U où A est une matrice carrée de taille p et C une matrice colonne à p lignes. Si la suite ()nU converge, alors sa limite L est une matrice colonne vérifiant l"égalitéL AL C= + .
Démonstration : limL
→+∞=nnUet lim A C AL C →+∞+ = +nnU.Par unité des limites, on obtient L AL C= +.
Exemple : Reprenons l"exemple 2 du 1.
Si la suite ()nU converge, alors sa limite L sera solution de l"équation matricielle L AL C= +.Résolvons cette équation :
L AL C= + équivaut à L AL C- =, soit à ()2A L C- =I. 3C. Lainé
Donc L AL C= + équivaut à ()
12L A C
-= -I. Or 21 1 3 1
1 04 3 4 3
0 1 3 1 3 2
4 3 4 3
AI, et, ( )
1 123 18 44 33 33 23 34 3A
-( )-( )( )( )( )- = =( )( )( )-( )( )( )IPar conséquent,
128 40,05 0,23 30,05 0,33 3L A C
-( )( ) ( )( )= - = × =( ) ( )( )( )( ) ( )( )IDonc la suite
()nU converge vers 0,20,3L( )=( )( )
3. Graphes et marches aléatoires
1) Graphe
Dans une localité, on suppose que chaque jour, il fait soit sec, soit humide.On fait l"hypothèse que :
S"il fait sec un jour, alors il fera encore sec le lendemain avec la probabilité 5 6. S"il fait humide un jour, alors il fera encore humide le lendemain avec la probabilité 2 3. Un certain dimanche (choisi pour jour 0), il fait sec. On s"intéresse à l"évolution météorologique des jours suivants. Pour visualiser la situation, on peut la représenter par le scéma suivant, appelé graphe.2) Marche aléatoire
On considère la variable aléatoire nX prenant les valeurs H (humide), S (sec) à l"étape n,
c"est-à-dire le jour n.H et S s"appellent les états de
nX.Par exemple,
10H=X signifie quil fera humide le 10ème jour.
La suite de variables aléatoires
()nX est appelée marche aléatoire sur l"ensemble des issues {},H S. Dans une marche aléatoire, l"état du processus à l"étape n + 1 ne dépend que de celui à l"état n, mais non de ses états antérieurs.3) Matrice de transition
On considère la loi de probabilité de nX, appelée probabilité de transition, qui donne la
probabilité qu"il fasse humide ou sec le jour n. 5 6 2quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] determiner lensemble des matrices qui commutent avec a
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